Обобщенная алгебра Каца – Муди

В математике обобщенная алгебра Каца–Муди — это алгебра Ли , похожая на алгебру Каца–Муди , за исключением того, что ей разрешено иметь мнимые простые корни . Обобщенные алгебры Каца–Муди также иногда называют алгебрами GKM , алгебрами Борчердса–Каца–Муди , алгебрами BKM или алгебрами Борчердса . Самый известный пример — чудовищная алгебра Ли .

Мотивация

Конечномерные полупростые алгебры Ли обладают следующими свойствами:

• Они имеют невырожденную симметричную инвариантную билинейную форму (,).
• Они имеют такую ​​градуировку, что кусок нулевой степени ( подалгебра Картана ) абелев.
• Они имеют (Картановскую) инволюцию w .
• ( a , w(a) ) положительна, если a не равно нулю.

Например, для алгебр размером n на n матриц нулевого следа билинейная форма равна ( a , b ) = Trace( ab ), инволюция Картана задается минусом транспонирования, а градуировка может быть задана как «расстояние от диагональ», так что подалгебра Картана является диагональными элементами.

И наоборот, можно попытаться найти все алгебры Ли, обладающие этими свойствами (и удовлетворяющие некоторым другим техническим условиям). Ответ заключается в том, что получаются суммы конечномерных и аффинных алгебр Ли .

Алгебра Ли-монстра удовлетворяет несколько более слабой версии приведенных выше условий: ( a , w(a) ) положителен, если a ненулевой и имеет ненулевую степень , но может быть отрицательным, если a имеет нулевую степень. Алгебры Ли, удовлетворяющие этим более слабым условиям, являются более или менее обобщенными алгебрами Каца–Муди. По сути, это то же самое, что и алгебры, заданные определенными генераторами и отношениями (описанными ниже).

Неформально обобщенные алгебры Каца – Муди — это алгебры Ли, которые ведут себя как конечномерные полупростые алгебры Ли. В частности, у них есть группа Вейля , формула характера Вейля , подалгебра Картана , корни, веса и так далее.

Определение

Симметризованная матрица Картана — это (возможно, бесконечная) квадратная матрица с элементами $c_{ij}$ такой, что

• $c_{ij}=c_{ji}\$
• $c_{ij}\leq 0\$ если $i\neq j\$
• $2c_{ij}/c_{ii}\$ является целым числом, если $c_{ii}>0.\$

Универсальная обобщенная алгебра Каца–Муди с заданной симметризованной матрицей Картана определяется генераторами $e_{i}$ и $f_{i}$ и $h_{i}$ и отношения

• $[e_{i},f_{j}]=h_{i}\$ если $i=j$, 0 иначе
• $[h_{i},e_{j}]=c_{ij}e_{j}\$, $[h_{i},f_{j}]=-c_{ij}f_{j}\$
• $[e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]=0\$ для $1-2c_{ij}/c_{ii}\$ применения $e_{i}\$ или $f_{i}\$ если $c_{ii}>0\$
• $[e_{i},e_{j}]=[f_{i},f_{j}]=0\$ если $c_{ij}=0.\$

Они отличаются от отношений (симметризуемой) алгебры Каца – Муди главным образом тем, что позволяют диагональным элементам матрицы Картана быть неположительными. Другими словами, мы позволяем простым корням быть мнимыми, тогда как в алгебре Каца – Муди простые корни всегда действительны.

Обобщенная алгебра Каца–Муди получается из универсальной путем изменения матрицы Картана, операциями убийства чего-либо в центре, или взятия центрального расширения , или добавления внешних дифференцирований .

Некоторые авторы дают более общее определение, снимая условие симметричности матрицы Картана. Об этих несимметризуемых обобщенных алгебрах Каца–Муди известно немного, и интересных примеров, похоже, нет.

Также возможно распространить это определение на супералгебры.

Структура

Обобщенную алгебру Каца–Муди можно градуировать, присвоив ei _{степень 1} , f _i степень −1 и h _i степень 0.

Кусочек нулевой степени представляет собой абелеву подалгебру, натянутую на элементы h _i, и называется подалгеброй Картана .

Характеристики

Большинство свойств обобщенных алгебр Каца–Муди являются прямым расширением обычных свойств (симметризуемых) алгебр Каца–Муди.

• Обобщенная алгебра Каца – Муди имеет инвариантную симметрическую билинейную форму такую, что $(e_{i},f_{i})=1$.
• Существует формула характера для модулей старшего веса , аналогичная формуле характера Вейля-Каца для алгебр Каца-Муди, за исключением того, что она имеет корректирующие члены для мнимых простых корней.

Примеры

Считается, что большинство обобщенных алгебр Каца – Муди не имеют отличительных особенностей. Интересные бывают трех типов:

• Конечномерные полупростые алгебры Ли .
• Аффинные алгебры Каца–Муди
• Алгебры с лоренцевой подалгеброй Картана , функция знаменателя которой является автоморфной формой сингулярного веса.

По-видимому, существует лишь конечное число примеров третьего типа. Двумя примерами являются чудовищная алгебра Ли , на которую воздействует группа монстров и которая используется в чудовищных самогонных гипотезах, и фальшивая чудовищная алгебра Ли . Есть аналогичные примеры, связанные с некоторыми другими спорадическими простыми группами .

Можно найти множество примеров обобщенных алгебр Каца–Муди, используя следующий принцип: все, что выглядит как обобщенная алгебра Каца–Муди, является обобщенной алгеброй Каца–Муди. Точнее, если алгебра Ли градуирована лоренцевой решеткой, имеет инвариантную билинейную форму и удовлетворяет нескольким другим легко проверяемым техническим условиям, то она является обобщенной алгеброй Каца–Муди. В частности, можно использовать вершинные алгебры для построения алгебры Ли из любой четной решетки . Если решетка положительно определена, она дает конечномерную полупростую алгебру Ли, если она положительно полуопределена, то она дает аффинную алгебру Ли, а если она лоренцева, то она дает алгебру, удовлетворяющую указанным выше условиям, которая, следовательно, является обобщенной алгеброй Каца – Муди. . Когда решетка представляет собой четную 26-мерную унимодулярную лоренцеву решетку, конструкция дает фальшивую алгебру Ли-монстра; все остальные лоренцевы решетки, похоже, дают неинтересные алгебры.

Ссылки

• Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8 .
• Вакимото, Минору (2001). Бесконечномерные алгебры Ли . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2654-9 .
• Рэй, Урми (2006). Автоморфные формы и супералгебры Ли . Дордрехт: Спрингер. ISBN  1-4020-5009-7 .