Алгебра чудовищной лжи

В математике монстр- алгебра Ли — это бесконечномерная обобщенная алгебра Каца–Муди, на которую действует группа монстров , которая использовалась для доказательства чудовищных гипотез самогона .

Структура [ править ]

Монстр-алгебра Ли — это Z ²- градуированная алгебра Ли . Кусок степени ( m , n ) имеет размерность c _mn, если ( m , n ) ≠ (0, 0), и размерность 2, если ( m , n ) = (0, 0). Целые числа c _n являются коэффициентами при q ^н -инварианта j эллиптическая как модулярная функция

j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .

— Подалгебра Картана это двумерное подпространство степени (0, 0), поэтому монстр-алгебра Ли имеет ранг 2.

Алгебра Ли-монстра имеет только один действительный простой корень , заданный вектором (1, −1), а группа Вейля имеет порядок 2 и действует путем отображения ( m , n ) в ( n , m ). Мнимые простые корни — это векторы (1, n ) для n = 1, 2, 3, ..., и они имеют кратности c _n .

Формула знаменателя монструозной алгебры Ли представляет собой формулу произведения j -инварианта:

j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}.

Формула знаменателя (иногда называемая тождеством бесконечного произведения Койке-Нортона-Загира) была открыта в 1980-х годах. Несколько математиков, в том числе Масао Койке, Саймон П. Нортон и Дон Загер , независимо сделали это открытие. ^[1]

Строительство [ править ]

Есть два способа построить чудовищную алгебру Ли. ^{[ нужна ссылка ]} Поскольку это обобщенная алгебра Каца – Муди, простые корни которой известны, ее можно определить с помощью явных генераторов и отношений; однако в этой презентации не описывается действие группы монстров.

Его также можно построить из вершинной алгебры монстров с помощью теоремы Годдарда-Торна теории струн . Эта конструкция намного сложнее, но также доказывает, что группа монстров действует на нее естественно. ^[1]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.). «Что такое… монстр?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 49 (2): 1076–1077. (См. стр. 1077).

Борчердс, Ричард (1986). «Вертексные алгебры, алгебры Каца-Муди и монстр» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 83 (10): 3068–71. Бибкод : 1986PNAS...83.3068B . дои : 10.1073/pnas.83.10.3068 . ПМЦ 323452 . ПМИД 16593694 .
Френкель, Игорь; Леповски, Джеймс; Мерман, Арне (1988). Алгебры вершинных операторов и Монстр . Чистая и прикладная математика. Том. 134. Академическая пресса. ISBN 0-12-267065-5 .
Кац, Виктор (1996). Вертексные алгебры для начинающих . Серия университетских лекций. Том. 10. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0643-2 . ; Кац, Виктор Г (1998). переработанное и дополненное, 2-е издание . ISBN 0-8218-1396-Х .
- Кац, Виктор (1999). «Исправления к книге Виктора Каца «Вертексные алгебры для начинающих», второе издание». arXiv : математика/9901070 .
Картер, RW (2005). Алгебры Ли конечного и аффинного типа . Кембриджские исследования. Том. 96. ИСБН 0-521-85138-6 . (Вводный учебный текст с кратким описанием алгебры Борчердса в главе 21)

[WhatIs-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Борчердс, Ричард Э. (октябрь 2002 г.). «Что такое… монстр?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 49 (2): 1076–1077. (См. стр. 1077).

[1]