Формула интегрирования Вейля

В математике Вейля , введенная Германом Вейлем , представляет собой формулу интегрирования компактной связной группы Ли G в терминах максимального тора T. формула интегрирования Именно, там сказано существует вещественная непрерывная функция u на T такая, что для каждой функции класса f на G :

$\int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}f(t)u(t)\,dt.$

Более того, $u$ явно задается как: $u=|\delta |^{2}/\#W$ где $W=N_{G}(T)/T$ — группа Вейля, определяемая T и

$\delta (t)=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right),$

произведение, пробегающее положительные корни G относительно T . В более общем смысле, если $f$ является лишь непрерывной функцией, то

$\int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}\left(\int _{G}f(gtg^{-1})\,dg\right)u(t)\,dt.$

Формулу можно использовать для вывода формулы характера Вейля . (Теория модулей Верма , с другой стороны, дает чисто алгебраический вывод формулы характера Вейля.)

Вывод

Рассмотрите карту

$q:G/T\times T\to G,\,(gT,t)\mapsto gtg^{-1}$.

Группа Вейля W действует на T сопряжением и на $G/T$ слева: для $nT\in W$,

$nT(gT)=gn^{-1}T.$

Позволять $G/T\times _{W}T$ — фактор-пространство по этому W -действию. Тогда, поскольку W -действие на $G/T$ бесплатно, фактор-карта

$p:G/T\times T\to G/T\times _{W}T$

является гладким покрытием со слоем W, если оно ограничено регулярными точками. Сейчас, $q$ является $p$ с последующим $G/T\times _{W}T\to G$ и последний является гомеоморфизмом в регулярных точках и, следовательно, имеет степень один. Следовательно, степень $q$ является $\#W$ и, заменив формулу переменной, получим:

$\#W\int _{G}f\,dg=\int _{G/T\times T}q^{*}(f\,dg).$

Здесь, $q^{*}(f\,dg)|_{(gT,t)}=f(t)q^{*}(dg)|_{(gT,t)}$ с $f$ это функция класса. Далее мы вычисляем $q^{*}(dg)|_{(gT,t)}$. Находим касательное пространство к $G/T\times T$ как ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}\oplus {\mathfrak {t}}$ где ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {t}}$ являются алгебрами Ли $G,T$. Для каждого $v\in T$,

$q(gv,t)=gvtv^{-1}g^{-1}$

и, таким образом, на ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}$, у нас есть:

$d(gT\mapsto q(gT,t))({\dot {v}})=gtg^{-1}(gt^{-1}{\dot {v}}tg^{-1}-g{\dot {v}}g^{-1})=(\operatorname {Ad} (g)\circ (\operatorname {Ad} (t^{-1})-I))({\dot {v}}).$

Аналогично мы видим, на ${\mathfrak {t}}$, $d(t\mapsto q(gT,t))=\operatorname {Ad} (g)$. Теперь мы можем рассматривать G как связную подгруппу ортогональной группы (поскольку она компактно связна) и, таким образом, $\det(\operatorname {Ad} (g))=1$. Следовательно,

$q^{*}(dg)=\det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})\,dg.$

Для вычисления определителя напомним, что ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }\oplus \oplus _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ где ${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }\mid \operatorname {Ad} (t)x=e^{\alpha (t)}x,t\in T\}$ и каждый ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ имеет размерность один. Следовательно, учитывая собственные значения $\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})$, мы получаем:

$\det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})=\prod _{\alpha >0}(e^{-\alpha (t)}-1)(e^{\alpha (t)}-1)=\delta (t){\overline {\delta (t)}},$

как каждый корень $\alpha$ имеет чистую мнимую стоимость.

Формула характера Вейля

Основная статья: Формула характера Вейля

Формула характера Вейля является следствием интегральной формулы Вейля следующим образом. Прежде всего отметим, что $W$ можно отнести к подгруппе $\operatorname {GL} ({\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }^{*})$; в частности, он действует на множестве корней, линейных функционалов на ${\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }$. Позволять

$A_{\mu }=\sum _{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\mu )}$

где $l(w)$ длина ​ w ​ . Позволять $\Lambda$ быть решеткой G T относительно . весов Тогда формула характера Вейля говорит, что: для каждого неприводимого характера $\chi$ из $G$, существует $\mu \in \Lambda$ такой, что

$\chi |T\cdot \delta =A_{\mu }$.

Чтобы увидеть это, сначала отметим

1. $\|\chi \|^{2}=\int _{G}|\chi |^{2}dg=1.$
2. $\chi |T\cdot \delta \in \mathbb {Z} [\Lambda ].$

Свойство (1) и есть (часть) отношений ортогональности на неприводимых характерах.

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (1982), Лекции по группам лжи , University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-00530-0
• Теодор Брёкер и Таммо Том Дик, Представления компактных групп Ли , Тексты для аспирантов по математике 98, Springer-Verlag, Берлин, 1995.