Функция класса

В математике , особенно в области теории групп и теории представлений групп , классовая функция — это функция группы , G является постоянной на классах сопряженности группы G. которая Другими словами, оно инвариантно относительно отображения сопряжения на G . Такие функции играют основную роль в теории представлений .

Персонажи

Характер в линейного представления G над полем K всегда является функцией класса со значениями K . Функции класса образуют центр группового кольца K [ G ]. Здесь функция класса f отождествляется с элементом $\sum _{g\in G}f(g)g$ .

Внутренние продукты

Множество функций класса группы G со значениями в поле K образует K - векторное пространство . Если G конечна и характеристика поля не делит порядок G , то существует скалярный продукт, определенный в этом пространстве, определяемый формулой $\langle \phi ,\psi \rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g){\overline {\psi (g)}}$ где | г | обозначает порядок G а bar — сопряжение в поле K. , Множество неприводимых характеров группы G образует ортогональный базис , и если K — поле разложения для G , например, если K , алгебраически замкнуто то неприводимые характеры образуют ортонормированный базис .

В случае компактной группы и K = C поле комплексных чисел понятие меры Хаара позволяет заменить приведенную выше конечную сумму интегралом: $\langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}\,dt.$

Когда K — действительные числа или комплексные числа, скалярный продукт представляет собой невырожденную эрмитову билинейную форму .

См. также

Теорема Брауэра об индуцированных характерах

Ссылки

Жан-Пьер Серр , Линейные представления конечных групп , Тексты для аспирантов по математике 42 , Springer-Verlag, Берлин, 1977.