Характер (математика)

В математике символ (чаще всего) представляет собой особый вид функции от группы к полю (например, комплексные числа ). Есть как минимум два различных, но пересекающихся значения. ^[1] Другие варианты использования слова «характер» почти всегда ограничены.

Мультипликативный характер

Мультипликативный характер (или линейный характер , или просто характер ) на группе G — это групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля ( Артин, 1966 ), обычно поля комплексных чисел . Если G — любая группа, то множество Ch( G ) этих морфизмов образует абелеву группу при поточечном умножении.

называется группой символов G. группа Эта Иногда только унитарные рассматриваются символы (при этом изображение находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы тогда называются квазихарактерами . Персонажи Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные символы линейно независимы , т.е. если $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ это разные персонажи в группе G, то из $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0$ отсюда следует, что $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0$ .

Характер представления

Персонаж $\chi :G\to F$ представительства $\phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ группы G в конечномерном векторном пространстве V над полем F является следом представления $\phi$ ( Серр 1977 ), т.е.

\chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))

для

g\in G

В общем случае след не является групповым гомоморфизмом, и множество следов не образует группу. Символы одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому приведенное выше понятие мультипликативного характера можно рассматривать как частный случай многомерных символов. Изучение представлений с использованием символов называется « теорией персонажей », а одномерные персонажи в этом контексте также называются «линейными персонажами».

Альтернативное определение

Если ограничиться конечной абелевой группой с $1\times 1$ представительство в $\mathbb {C}$ (т.е. $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )$ ), следующее альтернативное определение будет эквивалентно приведенному выше (Для абелевых групп каждое матричное представление разлагается в прямую сумму $1\times 1$ представления. Для неабелевых групп исходное определение было бы более общим, чем это):

Персонаж $\chi$ группы $(G,\cdot )$ является групповым гомоморфизмом $\chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}$ т.е. $\chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)$ для всех $x,y\in G.$

Если $G$ — конечная абелева группа, характеры играют роль гармоник. Для бесконечных абелевых групп вышеизложенное будет заменено на $\chi :G\to \mathbb {T}$ где $\mathbb {T}$ это группа кругов .

См. также

Ссылки

^ «персонаж в nLab» . ncatlab.org . Проверено 31 октября 2017 г.

Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа , Математические лекции Нотр-Дама, номер 2, Артур Нортон Милгрэм (перепечатанные Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в Университете Нотр-Дам
Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 42, Перевод второго французского издания Леонарда Л. Скотта, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9458-7 , ISBN 0-387-90190-6 , МР 0450380

Внешние ссылки

«Характер группы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] «персонаж в nLab» . ncatlab.org . Проверено 31 октября 2017 г.

[1]