Четность перестановки

Перестановки 4 элементов

Нечетные перестановки имеют зеленый или оранжевый фон. Числа в правом столбце — это числа инверсий (последовательность A034968 в OEIS ), которые имеют ту же четность , что и перестановка.

В математике , когда X — конечное множество , состоящее как минимум из двух элементов, перестановки X ( т.е. биективные функции от X до X ) делятся на два класса одинакового размера: четные перестановки и нечетные перестановки . Если какой-либо порядок X общий фиксирован, четность ( четность или нечетность ) перестановки $\sigma$ X для четность числа инверсий x σ , т. е. пар элементов x , y из X таких, что x < y и σ ( можно определить как ) > σ ( y ) .

Знак σ , сигнатура или сигнум перестановки σ обозначается sn( σ ) и определяется как +1, если четное , и -1, если σ нечетное. Сигнатура знакопеременный характер симметрической группы Sn _. определяет Другое обозначение знака перестановки дается более общим символом Леви-Чивита ( ε _σ ), который определен для всех карт от X до X и имеет нулевое значение для небиективных карт .

Знак перестановки можно явно выразить как

знак( σ ) = (−1) ^{Н ( п )}

где N ( σ ) — количество инверсий в σ .

Альтернативно, знак перестановки σ можно определить путем ее разложения на произведение транспозиций как

знак( σ ) = (−1) ^м

где m — количество транспозиций в разложении. Хотя такое разложение не уникально, четность числа транспозиций во всех разложениях одинакова, а это означает, что знак перестановки четко определен .

Пример

Рассмотрим перестановку σ множества {1, 2, 3, 4, 5}, определенную формулой $\sigma (1)=3,$ $\sigma (2)=4,$ $\sigma (3)=5,$ $\sigma (4)=2,$ и $\sigma (5)=1.$ В однострочной записи эта перестановка обозначается 34521. Ее можно получить из тождественной перестановки 12345 тремя транспозициями: сначала поменяйте местами числа 2 и 4, затем поменяйте местами 3 и 5 и, наконец, поменяйте местами 1 и 3. Это показывает, что данная перестановка σ нечетна. Следуя методу статьи с циклической записью , это можно было бы записать, складывая справа налево, как

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}.$

Есть много других способов записи σ как композиции транспозиций, например

σ знак равно (1 5)(3 4)(2 4)(1 2)(2 3) ,

но невозможно записать его в виде произведения четного числа транспозиций.

Характеристики

Тождественная перестановка является четной перестановкой. Четная перестановка может быть получена как композиция четного числа (и только четного числа) обменов (называемых транспозициями ) двух элементов, тогда как нечетная перестановка может быть получена (только) нечетным числом транспозиций.

Следующие правила следуют непосредственно из соответствующих правил сложения целых чисел:

• композиция двух четных перестановок четна
• композиция двух нечетных перестановок четна
• композиция нечетной и четной перестановки нечетна

Из них следует, что

• обратная каждой четной перестановке четна
• обратная каждой нечетной перестановке нечетна

Рассматривая симметрическую группу S _n всех перестановок множества {1, ..., n }, можно заключить, что отображение

знак: S _n → {−1, 1}

который присваивает каждой перестановке ее сигнатуру, является групповым гомоморфизмом .

, мы видим, что четные перестановки образуют подгруппу Sn _{Более того} . Это чередующаяся группа из n букв, обозначаемая _An . Это ядро ​​гомоморфизма Sign. Нечетные перестановки не могут образовывать подгруппу, поскольку композиция двух нечетных перестановок четна, но они образуют смежный класс A _n (в S _n ).

Если n > 1 столько же четных перестановок, _{, то в Sn} сколько и нечетных; следовательно, _An содержит n ! /2 перестановки. (Причина в том, что если σ четно, то (1 2) σ нечетно, а если σ нечетно, то (1 2) σ четно, и эти два отображения обратны друг другу.)

Цикл четен тогда и только тогда , когда его длина нечетна. Это следует из формул типа

$(a\ b\ c\ d\ e)=(d\ e)(c\ e)(b\ e)(a\ e){\text{ or }}(a\ b)(b\ c)(c\ d)(d\ e).$

На практике, чтобы определить, является ли данная перестановка четной или нечетной, ее записывают как произведение непересекающихся циклов. Перестановка является нечетной тогда и только тогда, когда эта факторизация содержит нечетное количество циклов четной длины.

Другой метод определения того, является ли данная перестановка четной или нечетной, заключается в построении соответствующей матрицы перестановок и вычислении ее определителя. Значение определителя такое же, как и четность перестановки.

Любая перестановка нечетного порядка должна быть четной. Перестановка (1 2)(3 4) в A ₄ показывает, что обратное, вообще говоря, неверно.

Эквивалентность двух определений

В этом разделе представлены доказательства того, что четность перестановки σ можно определить двумя эквивалентными способами:

• как четность числа инверсий в σ (при любом порядке); или
• как четность числа транспозиций, на которые можно разложить σ (как бы мы ни решили его разложить).

показывать

Доказательство 1

Let σ be a permutation on a ranked domain S. Every permutation can be produced by a sequence of transpositions (2-element exchanges). Let the following be one such decomposition

σ = T₁ T₂ ... T_k

We want to show that the parity of k is equal to the parity of the number of inversions of σ.

Every transposition can be written as a product of an odd number of transpositions of adjacent elements, e.g.

(2 5) = (2 3) (3 4) (4 5) (4 3) (3 2).

Generally, we can write the transposition (i i+d) on the set {1,...,i,...,i+d,...} as the composition of 2d−1 adjacent transpositions by recursion on d:

• The base case d=1 is trivial.

• In the recursive case, first rewrite (i, i+d) as (i, i+1) (i+1, i+d) (i, i+1). Then recursively rewrite (i+1, i+d) as adjacent transpositions.

If we decompose in this way each of the transpositions T₁ ... T_k above, we get the new decomposition:

σ = A₁ A₂ ... A_m

where all of the A₁...A_m are adjacent. Also, the parity of m is the same as that of k.

This is a fact: for all permutation τ and adjacent transposition a, aτ either has one less or one more inversion than τ. In other words, the parity of the number of inversions of a permutation is switched when composed with an adjacent transposition.

Therefore, the parity of the number of inversions of σ is precisely the parity of m, which is also the parity of k. This is what we set out to prove.

We can thus define the parity of σ to be that of its number of constituent transpositions in any decomposition. And this must agree with the parity of the number of inversions under any ordering, as seen above. Therefore, the definitions are indeed well-defined and equivalent.

показывать

Доказательство 2

An alternative proof uses the Vandermonde polynomial

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}).$

So for instance in the case n = 3, we have

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}).$

Now for a given permutation σ of the numbers {1, ..., n}, we define

$\operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}.$

Since the polynomial $P(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$ has the same factors as $P(x_{1},\dots ,x_{n})$ except for their signs, it follows that sgn(σ) is either +1 or −1. Furthermore, if σ and τ are two permutations, we see that

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sigma \tau )&={\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\\[4pt]&={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\cdot {\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}}\\[4pt]&=\operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \operatorname {sgn}(\tau ).\end{aligned}}$

Since with this definition it is furthermore clear that any transposition of two elements has signature −1, we do indeed recover the signature as defined earlier.

показывать

Доказательство 3

A third approach uses the presentation of the group S_n in terms of generators τ₁, ..., τ_n−1 and relations

• $\tau _{i}^{2}=1$  for all i
• $\tau _{i}^{}\tau _{i+1}\tau _{i}=\tau _{i+1}\tau _{i}\tau _{i+1}$   for all i < n − 1
• $\tau _{i}^{}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}$   if $|i-j|\geq 2.$

[Here the generator $\tau _{i}$ represents the transposition (i, i + 1).] All relations keep the length of a word the same or change it by two. Starting with an even-length word will thus always result in an even-length word after using the relations, and similarly for odd-length words. It is therefore unambiguous to call the elements of S_n represented by even-length words "even", and the elements represented by odd-length words "odd".

показывать

Доказательство 4

Recall that a pair x, y such that x < y and σ(x) > σ(y) is called an inversion. We want to show that the count of inversions has the same parity as the count of 2-element swaps. To do that, we can show that every swap changes the parity of the count of inversions, no matter which two elements are being swapped and what permutation has already been applied. Suppose we want to swap the ith and the jth element. Clearly, inversions formed by i or j with an element outside of [i, j] will not be affected. For the n = j − i − 1 elements within the interval (i, j), assume v_i of them form inversions with i and v_j of them form inversions with j. If i and j are swapped, those v_i inversions with i are gone, but n − v_i inversions are formed. The count of inversions i gained is thus n − 2v_i, which has the same parity as n.

Similarly, the count of inversions j gained also has the same parity as n. Therefore, the count of inversions gained by both combined has the same parity as 2n or 0. Now if we count the inversions gained (or lost) by swapping the ith and the jth element, we can see that this swap changes the parity of the count of inversions, since we also add (or subtract) 1 to the number of inversions gained (or lost) for the pair (i,j).

Note that initially when no swap is applied, the count of inversions is 0. Now we obtain equivalence of the two definitions of parity of a permutation.

показывать

Доказательство 5

Consider the elements that are sandwiched by the two elements of a transposition. Each one lies completely above, completely below, or in between the two transposition elements.

An element that is either completely above or completely below contributes nothing to the inversion count when the transposition is applied. Elements in-between contribute $2$.

As the transposition itself supplies $\pm 1$ inversion, and all others supply 0 (mod 2) inversions, a transposition changes the parity of the number of inversions.

Другие определения и доказательства

Четность перестановки $n$ точки также закодированы в его структуре цикла .

Пусть σ = ( я ₁ я ₂ ... я _{р +1} )( j ₁ j ₂ ... j _{s +1} )... ( ℓ ₁ ℓ ₂ ... ℓ _{u +1} ) будет уникальным разложением σ на непересекающиеся циклы , которые можно составлять в любом порядке, поскольку они коммутируют. Цикл ( a b c ... x y z ), включающий k + 1 точку, всегда можно получить составлением k транспозиций (2-циклов):

$(a\ b\ c\dots x\ y\ z)=(a\ b)(b\ c)\dots (x\ y)(y\ z),$

поэтому назовем k размером m цикла и заметим, что согласно этому определению транспозиции представляют собой циклы размера 1. Из разложения на непересекающихся циклов мы можем получить разложение σ на k ₁ + k ₂ + ... + k _m транспозиций, где k _i — размер i- го цикла. Число N ( σ ) = k ₁ + k ₂ + ... + k _m называется дискриминантом σ и также может быть вычислено как

$n{\text{ minus the number of disjoint cycles in the decomposition of }}\sigma$

если мы позаботимся о том, чтобы включить неподвижные точки σ как 1-циклы.

Предположим, что транспозиция ( a b ) применяется после перестановки σ . Когда a и b находятся в разных циклах σ, тогда

$(a\ b)(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$,

и если a и b находятся в одном цикле σ , то

$(a\ b)(ac_{1}c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$.

В любом случае можно видеть, что N (( a b ) σ ) = N ( σ ) ± 1 , поэтому четность N (( a b ) σ ) будет отличаться от четности N ( σ ).

Если σ = t ₁ t ₂ ... t _r — произвольное разложение перестановки σ на транспозиции, применяя r транспозиций $t_{1}$ после t ₂ после ... после t _r после тождества (чье N равно нулю) обратите внимание, что N ( σ ) и r имеют одинаковую четность. Определив четность σ как четность N ( σ ), перестановка, имеющая разложение четной длины, является четной перестановкой, а перестановка, имеющая одно разложение нечетной длины, является нечетной перестановкой.

Примечания

• Тщательное рассмотрение приведенного выше аргумента показывает, что r ≥ N ( σ ) , и поскольку любое разложение σ на циклы, сумма размеров которых равна r, может быть выражена как композиция r транспозиций, число N ( σ ) является минимально возможной суммой размеров циклов в разложении σ , включая случаи, когда все циклы являются транспозициями.
• Это доказательство не вводит (возможно, произвольного) порядка в множество точек, на которых действует σ .

Обобщения

Четность можно обобщить на группы Кокстера : определяется функция длины ℓ( v ), которая зависит от выбора образующих (для симметричной группы - смежные транспозиции ), а затем функция v ↦ (−1) ^{ℓ( v )} дает обобщенную карту знаков.

См. также

• Головоломка «Пятнадцать» — классическое приложение.
• Zolotarev's lemma

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Четная перестановка» . Математический мир .
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47189-1 .
• Ротман, Джей Джей (1995). Введение в теорию групп . Дипломные тексты по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-94285-8 .
• Гудман, Фредерик М. Алгебра: абстрактное и конкретное . ISBN  978-0-9799142-0-1 .
• Мейер, Пауль Герман Эрнст; Бауэр, Эдмонд (2004). Теория групп: приложение к квантовой механике . Дуврская классика науки и математики. Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-43798-9 .