Характеристика (математика)
В математике характеристикой . объекта называется набор условий, которые хотя и отличаются от определения объекта, но логически ему эквивалентны [1] Сказать, что «свойство P характеризует объект X », — значит сказать, что не только X обладает свойством P , но и что X — единственная вещь, обладающая свойством P (т. е. P является определяющим свойством X ). Аналогично говорят, что набор свойств P характеризует X , если эти свойства отличают X от всех других объектов. Несмотря на то, что характеристика идентифицирует объект уникальным образом, для одного объекта может существовать несколько характеристик. Общие математические выражения для характеристики X через P включают « P необходимо и достаточно для X » и « X имеет место тогда и только тогда, когда P ».
Также часто можно встретить такие утверждения, как «Свойство Q характеризует Y с точностью до изоморфизма ». Первый тип утверждений разными словами говорит, что расширение P Q является одноэлементным что расширение множеством, а второй говорит , представляет собой единый класс эквивалентности (для изоморфизма в данном примере - в зависимости от того, как до используется , какое-то другое отношение эквивалентности может быть задействовано ).
В справочнике по математической терминологии отмечается, что характеристика происходит от греческого термина «харакс» , «острый кол»:
От греческого «харакс» произошел «харахтер» — инструмент, используемый для маркировки или гравировки объекта. Как только объект был помечен, он стал отличительным, поэтому характер чего-либо стал означать его отличительную природу. Позднегреческий суффикс -istikos преобразовал именной характер в прилагательную характеристику , которая, помимо сохранения своего прилагательного значения, впоследствии стала и существительным. [2]
Точно так же, как в химии характеристическое свойство материала будет служить для идентификации образца или при изучении материалов его структуры и свойства будут определять характеристики , в математике постоянно предпринимаются попытки выразить свойства, которые позволят выделить желаемую особенность в образце. теория или система. Характеристика не является уникальной особенностью математики, но, поскольку эта наука абстрактна, большую часть деятельности можно описать как «характеризацию». Например, в Mathematical Reviews по состоянию на 2018 год более 24 000 статей содержат это слово в названии статьи, а 93 600 — где-то в обзоре.
В произвольном контексте объектов и признаков характеристики выражались через гетерогенное отношение aRb , означающее, что объект a имеет признак b . Например, b может означать абстрактный или конкретный . Объекты можно считать продолжением мира, а особенности — выражением намерений . Продолжающаяся программа характеристики различных объектов приводит к их категоризации .
Примеры [ править ]
- Рациональное число , обычно определяемое как отношение двух целых чисел, можно охарактеризовать как число с конечным или повторяющимся десятичным разложением . [1]
- Параллелограмм противоположные – это четырехугольник, стороны которого параллельны. Одна из его характеристик состоит в том, что его диагонали делят друг друга пополам. Это означает, что диагонали во всех параллелограммах делят друг друга пополам, и наоборот, что любой четырехугольник, диагонали которого делят друг друга пополам, должен быть параллелограммом.
- «Среди вероятностных распределений на интервале от 0 до ∞ на действительной прямой безпамять характеризует экспоненциальные распределения ». Это утверждение означает, что экспоненциальные распределения являются единственными распределениями вероятностей, которые не имеют памяти, при условии, что распределение является непрерывным, как определено выше ( см. Характеристика вероятностных распределений ). подробнее
- «Согласно теореме Бора–Моллерапа , среди всех функций f таких, что f (1) = 1 и xf ( x ) = f ( x +1) при x > 0, логарифмическая выпуклость характеризует гамма-функцию ». Это означает, что среди всех таких функций гамма-функция — единственная, которая является лог-выпуклой . [3]
- Круг характеризуется как многообразие , будучи одномерным, компактным и связным ; здесь характеризация как гладкого многообразия осуществляется с точностью до диффеоморфизма .
См. также [ править ]
- Характеристики категории топологических пространств.
- Характеристики показательной функции . Математическое понятие.
- Характеристика (алгебра) - наименьшее целое число n, для которого n равно 0 в кольце.
- Характеристика (обозначение степени) — математическая функция.
- Классификационная теорема - описывает объекты данного типа с точностью до некоторой эквивалентности.
- Эйлерова характеристика - Топологический инвариант в математике
- Характер (математика)
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Характеристика» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 ноября 2019 г.
- ^ Стивен Шварцманн (1994) Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке , стр. 43, Математическая ассоциация Америки ISBN 0-88385-511-9
- ^ Функция f является лог-выпуклой тогда и только тогда, когда log( f ) является выпуклой функцией . Основание логарифма не имеет значения, если оно больше 1, но математики обычно используют «log» без нижнего индекса для обозначения натурального логарифма , основанием которого является e .