Характеристика (математика)
В математике характеристикой . объекта называется совокупность условий, которые хотя и отличаются от определения объекта, но логически ему эквивалентны [1] Сказать, что «свойство P характеризует объект X », — значит сказать, что не только X обладает свойством P , но и что X — единственная вещь, обладающая свойством P (т. е. P является определяющим свойством X ). , что набор свойств P Аналогично говорят характеризует X , если эти свойства отличают X от всех других объектов. Несмотря на то, что характеристика идентифицирует объект уникальным образом, для одного объекта может существовать несколько характеристик. Общие математические выражения для характеристики X через P включают « P необходимо и достаточно для X » и « X имеет место тогда и только тогда, когда P ».
Также часто можно встретить такие утверждения, как «Свойство Q характеризует Y с точностью до изоморфизма ». Первый тип утверждений разными словами говорит, что расширение P множество, а второй говорит , представляет собой одноэлементное что расширение Q представляет собой единый класс эквивалентности (для изоморфизма в данном примере — в зависимости от того, как до используется , может быть задействовано какое-то другое отношение эквивалентности ).
В справочнике по математической терминологии отмечается, что характеристика происходит от греческого термина «харакс» , «острый кол»:
От греческого «харакс» произошел «харахтер» — инструмент, используемый для маркировки или гравировки объекта. Как только объект был помечен, он стал отличительным, поэтому характер чего-либо стал означать его отличительную природу. Позднегреческий суффикс -istikos преобразовал именной характер в прилагательную характеристику , которая, помимо сохранения своего прилагательного значения, впоследствии стала и существительным. [2]
Точно так же, как в химии характеристическое свойство материала будет служить для идентификации образца или при изучении материалов его структуры и свойства будут определять характеристики , в математике постоянно предпринимаются попытки выразить свойства, которые позволят выделить желаемую особенность в образце. теория или система. Характеристика не является уникальной особенностью математики, но, поскольку наука абстрактна, большую часть деятельности можно описать как «характеризацию». Например, в Mathematical Reviews по состоянию на 2018 год более 24 000 статей содержат это слово в заголовке статьи, а 93 600 — где-то в обзоре.
В произвольном контексте объектов и признаков характеристики выражались через гетерогенное отношение aRb , означающее, что объект a имеет признак b . Например, b может означать абстрактный или конкретный . Объекты можно считать продолжением мира, а особенности — выражением намерений . Продолжающаяся программа характеристики различных объектов приводит к их категоризации .
Примеры [ править ]
- , Рациональное число обычно определяемое как отношение двух целых чисел, можно охарактеризовать как число с конечным или повторяющимся десятичным разложением . [1]
- Параллелограмм , – это четырехугольник противоположные стороны которого параллельны. Одна из его характеристик состоит в том, что его диагонали делят друг друга пополам. Это означает, что диагонали во всех параллелограммах делят друг друга пополам, и наоборот, что любой четырехугольник, диагонали которого делят друг друга пополам, должен быть параллелограммом.
- «Среди вероятностных распределений на интервале от 0 до ∞ на действительной прямой безпамять характеризует экспоненциальные распределения ». Это утверждение означает, что экспоненциальные распределения являются единственными распределениями вероятностей, которые не имеют памяти, при условии, что распределение является непрерывным, как определено выше (подробнее см. Характеристика вероятностных распределений ).
- «Согласно теореме Бора–Моллерупа , среди всех функций f таких, что f (1) = 1 и xf ( x ) = f ( x +1) при x > 0, логарифмическая выпуклость характеризует гамма-функцию ». Это означает, что среди всех таких функций гамма-функция — единственная , которая является лог-выпуклой . [3]
- Круг характеризуется как многообразие , будучи одномерным, компактным и связным ; здесь характеризация как гладкого многообразия осуществляется с точностью до диффеоморфизма .
См. также [ править ]
- Характеристики категории топологических пространств.
- Характеристики показательной функции . Математическое понятие.
- Характеристика (алгебра) - наименьшее целое число n, для которого n равно 0 в кольце.
- Характеристика (обозначение степени) — математическая функция.
- Теорема классификации - описывает объекты данного типа с точностью до некоторой эквивалентности.
- Эйлерова характеристика - Топологический инвариант в математике
- Характер (математика)
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Характеристика» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 ноября 2019 г.
- ^ Стивен Шварцманн (1994) Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке , стр. 43, Математическая ассоциация Америки ISBN 0-88385-511-9
- ^ Функция f является лог-выпуклой тогда и только тогда, когда log( f ) является выпуклой функцией . Основание логарифма не имеет значения, если оно больше 1, но математики обычно используют «log» без индекса для обозначения натурального логарифма , основанием которого является e .