Характеристика вероятностных распределений

В математике вообще теорема о характеризации гласит, что конкретный объект — функция, пространство и т. д. — единственный, обладающий свойствами, указанными в теореме. Соответственно, характеристика распределения вероятностей утверждает, что это единственное распределение вероятностей , которое удовлетворяет заданным условиям. Точнее, модель характеристикиРаспределение вероятностей описал В.М. Золотарев. таким образом. В вероятностном пространстве определим пространство ${\mathcal {X}}=\{X\}$ случайных величин со значениями в измеримом метрическом пространстве $(U,d_{u})$ и пространство ${\mathcal {Y}}=\{Y\}$ случайных величин со значениями в измеримом метрическом пространстве $(V,d_{v})$. Под характеризациями вероятностных распределений понимаются общие задачи описания некоторого множества. ${\mathcal {C}}$ в космосе ${\mathcal {X}}$ путем извлечения наборов ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}$ и ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}$ которые описывают свойства случайных величин $X\in {\mathcal {A}}$ и их изображения $Y=\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}$, полученное с помощью специально подобранного отображения $\mathbf {F} :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$.
Описание свойств случайных величин $X$ и их изображения $Y=\mathbf {F} X$ эквивалентно указанию множества ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {X}}$ откуда $X$ надо брать и из набора ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {Y}}$ в который должен попасть его образ. Итак, интересующее нас множество предстает поэтому в следующем виде:

$X\in {\mathcal {A}},\mathbf {F} X\in {\mathcal {B}}\Leftrightarrow X\in {\mathcal {C}},i.e.{\mathcal {C}}=\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}},$

где $\mathbf {F} ^{-1}{\mathcal {B}}$ обозначает полный прообраз ${\mathcal {B}}$ в ${\mathcal {A}}$. Это общая модель характеристики распределения вероятностей. Некоторые примеры характеристических теорем:

• Предположение о том, что две линейные (или нелинейные) статистические данные одинаково распределены (или независимы, или имеют постоянную регрессию и т. д.), можно использовать для характеристики различных популяций. Например, по мнению Джорджа Полиа характеристическая теорема, если $X_{1}$ и $X_{2}$ являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с конечной дисперсией , то статистика $S_{1}=X_{1}$ и $S_{2}={\cfrac {X_{1}+X_{2}}{\sqrt {2}}}$ одинаково распределены тогда и только тогда, когда $X_{1}$ и $X_{2}$ имеют нормальное распределение с нулевым средним значением. В этом случае

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}$,

${\mathcal {A}}$ представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными компонентами, ${\mathcal {B}}$ представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с одинаково распределенными компонентами и ${\mathcal {C}}$ представляет собой набор двумерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными нормальными компонентами.

• Согласно обобщенной характеризационной теореме Джорджа Пойа (без условия конечности дисперсии ) если $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ являются невырожденными независимыми одинаково распределенными случайными величинами, статистикой $X_{1}$ и $a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{n}X_{n}$ одинаково распределены и $\left|a_{j}\right\vert <1,a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=1$, затем $X_{j}$ является нормальной случайной величиной для любого $j,j=1,2,\dots ,n$. В этом случае

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}$,

${\mathcal {A}}$ представляет собой набор случайных n -мерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными компонентами, ${\mathcal {B}}$ представляет собой набор случайных двумерных векторов-столбцов с одинаково распределенными компонентами и ${\mathcal {C}}$ представляет собой набор n -мерных векторов-столбцов с независимыми одинаково распределенными нормальными компонентами.

• Все распределения вероятностей на полупрямой $\left[0,\infty \right)$ которые не имеют памяти, являются экспоненциальными распределениями . «Без памяти» означает, что если $X$ — случайная величина с таким распределением, то для любых чисел $0<y<x$ ,

$\Pr(X>x\mid X>y)=\Pr(X>x-y)$.

Проверка условий характеристических теорем на практике возможна лишь с некоторой погрешностью. $\epsilon$, т. е. только с определенной степенью точности. Такая ситуация наблюдается, например, в тех случаях, когда рассматривается выборка конечного размера. Поэтому возникает следующий закономерный вопрос. Предположим, что условия характеризационной теоремы выполняются не точно, а лишь приближенно. Можем ли мы утверждать, что заключение теоремы выполняется также приближенно? Теоремы, в которых рассматриваются задачи такого рода, называются характеризациями устойчивости вероятностных распределений.

См. также

• Характеристика (математика)