Бесконечно малый символ
 | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения ) |
В математике бесконечно малый характер неприводимого представления ρ полупростой группы Ли G в векторном пространстве V — это, грубо говоря, отображение в скаляры, которое кодирует процесс сначала дифференцирования, а затем диагонализации представления. Таким образом, это способ извлечь что-то существенное из представления ρ посредством двух последовательных линеаризаций.
Формулировка
[ редактировать ]Инфинитезимальный характер — это линейная форма в центре Z универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли группы G, которую индуцирует представление. Эта конструкция опирается на некоторую расширенную версию леммы Шура , показывающую, что любой z в Z действует на V как скаляр, который, злоупотребляя обозначениями, можно записать ρ( z ).
Говоря более классическим языком, z — дифференциальный оператор , построенный на основе бесконечно малых преобразований индуцированных на V алгеброй Ли группы G. , Эффект леммы Шура состоит в том, чтобы заставить все v в V быть одновременными собственными векторами z , действующими на V . Вызов соответствующего собственного значения
- λ = λ( z ),
бесконечно малый характер по определению является отображением
- z → λ( z ).
Есть простор для дальнейших формулировок. По изоморфизму Хариш-Чандры центр Z можно отождествить с подалгеброй элементов симметричной алгебры a подалгебры Картана , инвариантными относительно группы Вейля, поэтому инфинитезимальный характер можно отождествить с элементом из
- а * ⊗ С / Вт ,
орбиты под группой Вейля W пространства a * ⊗ C комплексных линейных функций на подалгебре Картана.
Ссылки
[ редактировать ]- Кнапп, Энтони В. и Энтони Уильям Кнапп. Группы лжи за пределами введения. Том. 140. Бостон: Биркхойзер, 1996.