Злоупотребление обозначениями

В математике происходит , злоупотребление обозначениями когда автор использует математические обозначения не совсем формально корректно, но это может помочь упростить изложение или подсказать правильную интуицию (возможно, одновременно сводя к минимуму ошибки и путаницу). Однако, поскольку концепция формальной/синтаксической правильности зависит как от времени, так и от контекста, определенные математические обозначения, которые помечены как злоупотребления в одном контексте, могут быть формально правильными в одном или нескольких других контекстах. Злоупотребления обозначениями, зависящие от времени, могут возникать, когда в теорию вводятся новые обозначения за некоторое время до того, как теория была впервые формализована; их можно формально исправить путем закрепления и/или иного улучшения теории. Злоупотребление обозначениями следует противопоставлять неправильному использованию обозначений, которое не имеет преимуществ, присущих первому, и его следует избегать (например, неправильное использование констант интегрирования ^[1]).

Связанное с этим понятие – это злоупотребление языком или злоупотребление терминологией, когда неправильно используется термин , а не обозначение. Злоупотребление языком — это почти синоним злоупотреблений, не носящих нотационного характера. Например, хотя слово « представление» обозначает групповой гомоморфизм группы G правильно в GL( V ) , где V — векторное пространство , принято называть V «представлением G ». Другое распространенное злоупотребление языком состоит в отождествлении двух различных, но канонически изоморфных математических объектов . ^[2] Другие примеры включают идентификацию постоянной функции по ее значению, идентификацию группы с помощью бинарной операции по имени ее базового набора или идентификацию $\mathbb {R} ^{3}$ Евклидово пространство размерности три, оснащенное декартовой системой координат . ^[3]

Примеры [ править ]

Структурированные математические объекты [ править ]

Многие математические объекты состоят из набора , часто называемого базовым набором, снабженного некоторой дополнительной структурой, например математической операцией или топологией . Использование одних и тех же обозначений для базового набора и структурированного объекта является распространенным злоупотреблением обозначениями (явление, известное как подавление параметров). ^[3]). Например, $\mathbb {Z}$ может обозначать набор целых чисел , группу целых чисел вместе со сложением или кольцо целых чисел со сложением и умножением . В общем, с этим нет проблем, если объект, о котором идет речь, хорошо понятен, и отказ от такого злоупотребления обозначениями может даже сделать математические тексты более педантическими и трудными для чтения. Когда такое злоупотребление обозначениями может сбить с толку, можно различать эти структуры, обозначая $(\mathbb {Z} ,+)$ группа целых чисел со сложением, и $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ кольцо целых чисел.

Точно так же топологическое пространство состоит из набора $X$ (основного набора) и топологии ${\mathcal {T}},$ характеризуется набором подмножеств X $которое$ ( открытыми множествами ). рассматривается только одна топология $Чаще всего на X$ , поэтому обычно не возникает проблем с упоминанием $X$ как базового набора, так и пары, состоящей из $X$ и его топологии. ${\mathcal {T}}$ — даже несмотря на то, что это технически разные математические объекты. Тем не менее, в некоторых случаях может случиться так, что в одном и том же наборе одновременно рассматриваются две разные топологии. В этом случае необходимо проявлять осторожность и использовать обозначения, такие как $(X,{\mathcal {T}})$ и $(X,{\mathcal {T}}')$ различать топологические пространства.

Обозначение функции [ править ]

Во многих учебниках можно встретить такие предложения, как «Пусть $f(x)$ быть функцией...». Это злоупотребление обозначениями, так как функции имя $f,$ и $f(x)$ обозначает значение $f$ для элемента $x$ своего домена. Более точно правильные формулировки включают: «Пусть $f$ быть функцией переменной $x$ ...» или «Пусть $x\mapsto f(x)$ быть функцией...» Такое злоупотребление обозначениями широко распространено, так как упрощает формулировку, а систематическое использование правильных обозначений быстро становится педантическим.

Аналогичное злоупотребление обозначениями встречается в таких предложениях, как «Давайте рассмотрим функцию $x^{2}+x+1$ ...", хотя на самом деле $x^{2}+x+1$ является полиномиальным выражением, а не функцией как таковой. Функция, которая связывает $x^{2}+x+1$ к $x$ можно обозначить $x\mapsto x^{2}+x+1.$ Тем не менее, такое злоупотребление обозначениями широко используется, поскольку оно более краткое, но в целом не сбивает с толку.

Равенство изоморфизма против

Многие математические структуры определяются посредством характеризующего свойства (часто универсального свойства ). Как только это желаемое свойство определено, могут существовать различные способы построения структуры, и соответствующие результаты будут формально разными объектами, но имеющими точно такие же свойства (т. е. изоморфными ). Поскольку нет возможности отличить эти изоморфные объекты по их свойствам, принято считать их равными, даже если это формально неверно. ^[2]

Одним из примеров этого является декартово произведение , которое часто рассматривается как ассоциативное:

(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G

.

Но это, строго говоря, неверно: если $x\in E$ , $y\in F$ и $z\in G$ , личность $((x,y),z)=(x,(y,z))$ подразумевало бы, что $(x,y)=x$ и $z=(y,z)$ , и так $((x,y),z)=(x,y,z)$ ничего бы не значило. Однако эти равенства можно узаконить и сделать строгими в теории категорий — используя идею естественного изоморфизма .

Другой пример подобных злоупотреблений встречается в таких утверждениях, как «существуют две неабелевы группы порядка 8», что, более строго говоря, означает «существует два класса изоморфизма неабелевых групп порядка 8».

Классы эквивалентности [ править ]

Ссылка на класс эквивалентности отношения эквивалентности с помощью x вместо [ x ] является злоупотреблением обозначениями. если множество X разбито | отношением эквивалентности ~, то для каждого x ∈ X класс эквивалентности { y ∈ X Формально , y ~ x } обозначается [ x ]. Но на практике, если остальная часть обсуждения сосредоточена на классах эквивалентности, а не на отдельных элементах базового набора, то квадратные скобки в обсуждении обычно опускаются.

Например, в модульной арифметике конечная группа порядка x n может быть сформирована путем разделения целых чисел с помощью отношения эквивалентности « x ~ y тогда и только тогда, когда ≡ y ( mod n )». Тогда элементами этой группы будут [0], [1], ..., [ n - 1], но на практике они обычно обозначаются просто как 0, 1, ..., n - 1.

Другой пример — пространство (классов) измеримых функций над пространством с мерой или классы интегрируемых по Лебегу функций, где отношением эквивалентности является равенство « почти всюду ».

Субъективность [ править ]

Термины «злоупотребление языком» и «злоупотребление обозначениями» зависят от контекста. Написание « $f : A \to B$ » для частичной функции от $A$ до $B$ почти всегда является злоупотреблением обозначениями, но не в контексте теории категорий , где $f$ можно рассматривать как морфизм в категории множеств и частичных функций.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Распространенные ошибки в математике в колледже» . math.vanderbilt.edu . Проверено 3 ноября 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Глоссарий — Злоупотребление обозначениями» . www.abstractmath.org . Проверено 3 ноября 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Подробнее о языках математики — Подавление параметров» . www.abstractmath.org . Проверено 3 ноября 2019 г.

[1] «Распространенные ошибки в математике в колледже» . math.vanderbilt.edu . Проверено 3 ноября 2019 г.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б «Глоссарий — Злоупотребление обозначениями» . www.abstractmath.org . Проверено 3 ноября 2019 г.

[:2-3] Перейти обратно: ^а ^б «Подробнее о языках математики — Подавление параметров» . www.abstractmath.org . Проверено 3 ноября 2019 г.

[1]

[2]

[3]