Изоморфизм Хариш-Чандры

В математике изоморфизм Хариш -Чандры , введенный Хариш-Чандрой ( 1951 ),— изоморфизм коммутативных колец, построенный в теории алгебр Ли . Изоморфизм отображает центр ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ редуктивной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ к элементам $S({\mathfrak {h}})^{W}$ симметрической алгебры $S({\mathfrak {h}})$ Картана подалгебры ${\mathfrak {h}}$ инвариантные относительно группы Вейля $W$ .

Введение и настройка

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли , ${\mathfrak {h}}$ ее подалгебра Картана и $\lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ — два элемента весового пространства (где ${\mathfrak {h}}^{*}$ является двойником ${\mathfrak {h}}$ ) и предположим, что набор положительных корней $\Phi _{+}$ были исправлены. Позволять $V_{\lambda }$ и $V_{\mu }$ быть модулями с наибольшим весом с наибольшим весом $\lambda$ и $\mu$ соответственно.

Центральные персонажи

The ${\mathfrak {g}}$ -модули $V_{\lambda }$ и $V_{\mu }$ являются представлениями универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ а его центр действует на модули скалярным умножением (это следует из того, что модули порождаются вектором старшего веса). Итак, для $v\in V_{\lambda }$ и $x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ , $x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v$ и аналогично для $V_{\mu }$ , где функции $\chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }$ являются гомоморфизмами из ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ скалярам, называемым центральными персонажами .

Формулировка теоремы Хариш-Чандры

Для любого $\lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ , персонажи $\chi _{\lambda }=\chi _{\mu }$ тогда и только тогда, когда $\lambda +\delta$ и $\mu +\delta$ на одной орбите группы Вейля находятся ${\mathfrak {h}}^{*}$ , где $\delta$ представляет собой полусумму положительных корней , иногда называемую вектором Вейля . ^[1]

Другая тесно связанная формулировка состоит в том, что гомоморфизм Хариш-Чандры из центра универсальной обертывающей алгебры ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ к $S({\mathfrak {h}})^{W}$ (элементы симметрической алгебры подалгебры Картана, фиксированные группой Вейля) — изоморфизм .

Явный изоморфизм

Более явно, изоморфизм можно построить как композицию двух отображений, одного из ${\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ к $U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),$ и еще один из $S({\mathfrak {h}})$ самому себе.

Первое – это проекция $\gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ . Для выбора положительных корней $\Phi _{+}$ , определяя $n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ как соответствующие положительная нильпотентная подалгебра и отрицательная нильпотентная подалгебра соответственно, согласно теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта существует разложение $U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).$ Если $z\in {\mathfrak {Z}}$ является центральным, то фактически $z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).$ Ограничение проекции $U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})$ в центр есть $\gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ , и является гомоморфизмом алгебр. Это связано с центральными персонажами $\chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )$

Вторая карта — карта поворотов. $\tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ . На ${\mathfrak {h}}$ рассматривается как подпространство $U({\mathfrak {h}})$ это определено $\tau (h)=h-\delta (h)1$ с $\delta$ вектор Вейля.

Затем ${\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})$ является изоморфизмом. Причина, по которой вводится этот поворот, заключается в том, что $\chi _{\lambda }$ на самом деле не является инвариантом Вейля, но можно доказать, что искривленный характер ${\tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }$ является.

Приложения

Теорема была использована для получения простого алгебраического доказательства формулы Вейля для конечномерных неприводимых представлений. ^[2] Доказательство было дополнительно упрощено Виктором Кацем , так что требуется только квадратичный оператор Казимира; соответствующее упрощенное доказательство формулы характера имеется во втором издании Хамфриса (1978 , стр. 143–144).

Кроме того, это необходимое условие существования ненулевого гомоморфизма некоторых модулей старшего веса (гомоморфизм таких модулей сохраняет центральный характер). Простое следствие состоит в том, что для модулей Верма или обобщенных модулей Верма $V_{\lambda }$ с наибольшим весом $\lambda$ , существует лишь конечное число весов $\mu$ для которого ненулевой гомоморфизм $V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }$ существует.

Фундаментальные инварианты

Для ${\mathfrak {g}}$ простая алгебра Ли, пусть $r$ быть ее рангом , то есть размерностью любой подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ из ${\mathfrak {g}}$ . HSM Коксетер заметил, что $S({\mathfrak {h}})^{W}$ изоморфна алгебре полиномов в $r$ переменные ( см. в теореме Шевалле – Шепарда – Тодда более общее утверждение ). Следовательно, центр универсальной обертывающей простой алгебры Ли изоморфен полиномиальной алгебре. Степени образующих алгебры — это степени фундаментальных инвариантов, приведенных в следующей таблице.

Алгебра Ли	Номер Кокстера h	Двойной номер Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
Р	0	0	1
н	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
Б _н	2 н	2n − 1	2, 4, 6, ..., 2 н
С _н	2 н	п + 1	2, 4, 6, ..., 2 н
Д _н	2n 2 −	2n 2 −	п ; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E_Е6	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E ₇	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E₈	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F_F4	12	9	2, 6, 8, 12
Г ₂	6	4	2, 6

Число фундаментальных инвариантов группы Ли равно ее рангу. Фундаментальные инварианты также связаны с кольцом когомологий группы Ли. В частности, если фундаментальные инварианты имеют степени $d_{1},\cdots ,d_{r}$ , то образующие кольца когомологий имеют степени $2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1$ . Благодаря этому степени фундаментальных инвариантов можно вычислять по числам Бетти группы Ли и наоборот. В другом направлении фундаментальные инварианты связаны с когомологиями классифицирующего пространства . Кольцо когомологий $H^{*}(BG,\mathbb {R} )$ изоморфна алгебре полиномов от образующих со степенями $2d_{1},\cdots ,2d_{r}$ . ^[3]

Примеры

Если ${\mathfrak {g}}$ это алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ , то центр универсальной обертывающей алгебры порождается инвариантом Казимира степени 2, а группа Вейля действует на подалгебре Картана, изоморфной $\mathbb {R}$ , путем отрицания, поэтому инвариантом группы Вейля является квадрат генератора подалгебры Картана, который также имеет степень 2.
Для ${\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )$ , изоморфизм Хариш-Чандры говорит ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ изоморфна алгебре полиномов инвариантных по Вейлю многочленов от двух переменных $h_{1},h_{2}$ (так как подалгебра Картана двумерна). Для $A_{2}$ , группа Вейля $S_{3}\cong D_{6}$ который действует на CSA в стандартном представлении. Поскольку группа Вейля действует посредством отражений, они являются изометриями, и поэтому полином степени 2 $f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}$ является Вейлевинвариантом. Контуры полинома, инвариантного по Вейлю степени 3 (для конкретного выбора стандартного представления, когда одно из отражений происходит поперек оси x), показаны ниже. Эти два полинома порождают алгебру полиномов и являются фундаментальными инвариантами для $A_{2}$ .
Для всех алгебр Ли в классификации существует фундаментальный инвариант степени 2 — квадратичный Казимира . В изоморфизме они соответствуют полиному степени 2 на CSA. Поскольку группа Вейля действует посредством отражений от CSA, они являются изометриями, поэтому инвариантный полином степени 2 равен $f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}$ где $r$ размерность CSA ${\mathfrak {h}}$ , также известный как ранг алгебры Ли.
Для ${\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ , подалгебра Картана одномерна, а изоморфизм Хариш-Чандры гласит: ${\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))$ изоморфна алгебре полиномов, инвариантных по Вейлю от одной переменной $h$ . Группа Вейля – это $S_{2}$ действует как отражение, с нетривиальным элементом, действующим на полиномы посредством $h\mapsto -h$ . Подалгебра полиномов, инвариантных по Вейлю, в полной алгебре полиномов $K[h]$ следовательно, это только четные полиномы, порожденные $f_{2}(h)=h^{2}$ .

Вейлевская кубика для A ₂ , соответствующая фундаментальному инварианту степени 3

Для ${\mathfrak {g}}=B_{2}={\mathfrak {so}}(5)={\mathfrak {sp}}(4)$ , группа Вейля $D_{8}$ , действующий по двум координатам $h_{1},h_{2}$ , и генерируется (неминимально) четырьмя отражениями, которые действуют на координаты как $(h_{1}\mapsto -h_{1},h_{2}\mapsto h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{1},h_{2}\mapsto -h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{2},h_{2}\mapsto h_{1}),(h_{1}\mapsto -h_{2},h_{2}\mapsto h_{1})$ . Любая инвариантная квартика должна быть четной в обоих $h_{1}$ и $h_{2}$ , а инвариантность относительно обмена координат означает, что любую инвариантную квартику можно записать $f_{4}(h_{1},h_{2})=ah_{1}^{4}+bh_{1}^{2}h_{2}^{2}+ah_{2}^{4}.$ Несмотря на то, что это двумерное векторное пространство, оно дает только один новый фундаментальный инвариант: $f_{2}(h_{1},h_{2})^{2}$ лежит в пространстве. В этом случае не существует однозначного выбора инварианта четвертой степени, как любого многочлена с $b\neq 2a$ (и $a,b$ не оба нуля) хватает.

Обобщение на аффинные алгебры Ли

Приведенный выше результат справедлив для редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли . Существует обобщение на аффинные алгебры Ли, показанное Фейгиным и Френкелем, показывающее, что алгебра, известная как центр Фейгина – Френкеля, изоморфна W-алгебре, ассоциированной с двойственной к Ленглендсу алгебре Ли. $^{L}{\mathfrak {g}}$ . ^[4]^[5]

Центр Фейгина–Френкеля аффинной алгебры Ли ${\hat {\mathfrak {g}}}$ не совсем центр универсальной обертывающей алгебры ${\mathcal {Z}}(U({\hat {\mathfrak {g}}}))$ . Они являются элементами $S$ вакуумной аффинной вершинной алгебры на критическом уровне $k=-h^{\vee }$ , где $h^{\vee }$ – двойное число Кокстера для ${\mathfrak {g}}$ которые аннулируются положительной алгеброй петель ${\mathfrak {g}}[t]$ часть ${\hat {\mathfrak {g}}}$ , то есть, ${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}}):=\{S\in V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})|{\mathfrak {g}}[t]S=0\}$ где $V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})$ — аффинная вершинная алгебра на критическом уровне. Элементы этого центра также известны как сингулярные векторы или векторы Сигала–Сугавары .

Изоморфизмом в этом случае является изоморфизм между центром Фейгина–Френкеля и W-алгеброй, построенной и связанной с двойственной к Ленглендсу алгеброй Ли редукцией Дринфельда–Соколова : ${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})\cong {\mathcal {W}}(^{L}{\mathfrak {g}}).$ Также есть описание ${\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})$ как алгебра полиномов от конечного числа счетно бесконечных семейств образующих, $\partial ^{n}S_{i},i=1,\cdots ,l,n\geq 0$ , где $S_{i},i=1,\cdots ,l$ иметь ученые степени $d_{i}+1,i=1,\cdots ,l$ и $\partial$ является (отрицательным) оператором естественной производной в алгебре петель.

См. также

Примечания

^ Хамфрис 1978 , с. 130.
^ Хамфрис 1978 , стр. 135–141.
^ Борель, Арманд (апрель 1954 г.). «О когомологиях однородных пространств компактных групп Ли». Американский журнал математики . 76 (2): 273–342.
^ Молев, Александр (19 января 2021 г.). «О векторах Сигала–Сугавары и элементах Казимира для классических алгебр Ли». Письма по математической физике . 111 (8). arXiv : 2008.05256 . дои : 10.1007/s11005-020-01344-3 . S2CID 254795180 .
^ Фейгин, Борис; Френкель, Эдвард; Решетихин, Николай (3 апреля 1994 г.). «Модель Годена, анзац Бете и критический уровень». Коммун. Математика. Физ . 166 : 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . дои : 10.1007/BF02099300 . S2CID 17099900 .

Внешние ресурсы

Замечания об изоморфизме Хариш-Чандры

Ссылки

Хариш-Чандра (1951), «О некоторых применениях универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли», Труды Американского математического общества , 70 (1): 28–96, doi : 10.2307/1990524 , JSTOR 1990524 , MR 0044515
Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (Второе исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90053-5 . МР 0499562 . (Содержит улучшенное доказательство формулы характера Вейля.)
Хамфрис, Джеймс Э. (2008), Представления полупростых алгебр Ли в категории BGG O , AMS, с. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
Кнапп, Энтони В.; Воган, Дэвид А. (1995), Когомологическая индукция и унитарные представления , Princeton Mathematical Series, vol. 45, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-03756-1 , МР 1330919
Кнапп, Энтони В. (2013) [1996], «V. Конечномерные представления §5. Изоморфизм Хариш-Чандры» , Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140, Спрингер, стр. 246–258, ISBN. 978-1-4757-2453-0

[FOOTNOTEHumphreys1978130-1] Хамфрис 1978 , с. 130.

[FOOTNOTEHumphreys1978135–141-2] Хамфрис 1978 , стр. 135–141.

[borel_sur_la_cohomologie-3] Борель, Арманд (апрель 1954 г.). «О когомологиях однородных пространств компактных групп Ли». Американский журнал математики . 76 (2): 273–342.

[molev-4] Молев, Александр (19 января 2021 г.). «О векторах Сигала–Сугавары и элементах Казимира для классических алгебр Ли». Письма по математической физике . 111 (8). arXiv : 2008.05256 . дои : 10.1007/s11005-020-01344-3 . S2CID 254795180 .

[ffr-5] Фейгин, Борис; Френкель, Эдвард; Решетихин, Николай (3 апреля 1994 г.). «Модель Годена, анзац Бете и критический уровень». Коммун. Математика. Физ . 166 : 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . дои : 10.1007/BF02099300 . S2CID 17099900 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]