Обобщенный модуль Верма

В математике обобщенные модули Вермы представляют собой обобщение (истинного) модуля Верма , ^[1] и являются объектами теории представлений алгебр Ли . Первоначально их изучал Джеймс Леповски в 1970-х годах. Мотивацией их изучения является то, что их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам над многообразиями обобщенных флагов . Исследование этих операторов является важной частью теории параболических геометрий.

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли и ${\mathfrak {p}}$ параболическая подалгебра ${\mathfrak {g}}$ . Для любого неприводимого конечномерного представления $V$ из ${\mathfrak {p}}$ мы определяем обобщенный модуль Верма как относительное тензорное произведение

M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V

.

Действие ${\mathfrak {g}}$ это левое умножение в ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ .

Если λ — старший вес V, мы иногда обозначаем модуль Вермы через $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Обратите внимание, что $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ имеет смысл только для ${\mathfrak {p}}$ -доминантный и ${\mathfrak {p}}$ -целые веса (см. вес ) $\lambda$ .

Хорошо известно, что параболическая подалгебра ${\mathfrak {p}}$ из ${\mathfrak {g}}$ определяет уникальную оценку ${\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}$ так что ${\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}$ .Позволять ${\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}$ . следует Из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта , что как векторное пространство (и даже как ${\mathfrak {g}}_{-}$ - модуль и как ${\mathfrak {g}}_{0}$ -модуль),

M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes V

.

В дальнейшем тексте мы будем обозначать обобщенный модуль Вермы просто GVM.

Свойства GVM

GVM являются модулями старшего веса , а их наибольший вес λ является наибольшим весом представления V. Если $v_{\lambda }$ вектор с наибольшим весом в V, тогда $1\otimes v_{\lambda }$ вектор с наибольшим весом в $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

GVM являются весовыми модулями , т.е. они представляют собой прямую сумму своих весовых пространств , и эти весовые пространства конечномерны.

Как и все модули с наибольшим весом , GVM являются частными модулями Verma. Ядро проекции $M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ является

(1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }

где $S\subset \Delta$ - это набор тех простых корней α, что пространства отрицательных корней корня $-\alpha$ находятся в ${\mathfrak {p}}$ (множество S однозначно определяет подалгебру ${\mathfrak {p}}$ ), $s_{\alpha }$ – корневое отражение относительно корня α и $s_{\alpha }\cdot \lambda$ это действие аффинное $s_{\alpha }$ по λ. Из теории (истинных) модулей Верма следует , что $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ изоморфен единственному подмодулю модуля $M_{\lambda }$ . В (1) мы определили $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }$ . Сумма в (1) не является прямой .

В частном случае, когда $S=\emptyset$ , параболическая подалгебра ${\mathfrak {p}}$ является подалгеброй Бореля , а GVM совпадает с (истинным) модулем Верма. В другом крайнем случае, когда $S=\Delta$ , ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}$ и GVM изоморфна индуцирующему представлению V.

ГВМ $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ называется регулярным , если его старший вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминантного веса ${\tilde {\lambda }}$ . Другими словами, существует элемент w группы Вейля W такой, что

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}

где $\cdot$ — аффинное действие группы Вейля.

Модуль Верма $M_{\lambda }$ называется сингулярным , если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес ${\tilde {\lambda }}$ так что ${\tilde {\lambda }}+\delta$ находится на стенке фундаментальной камеры Вейля (δ — сумма всех фундаментальных весов ).

Гомоморфизмы GVM.

Под гомоморфизмом GVM мы понимаем ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизм.

Для любых двух весов $\lambda ,\mu$ гомоморфизм

M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )

может существовать только в том случае, если $\mu$ и $\lambda$ связаны с аффинным действием группы Вейля $W$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ . Это легко следует из теоремы Хариш-Чандры о бесконечно малых центральных характерах .

В отличие от случая (истинных) модулей Верма , гомоморфизмы GVM, вообще говоря, не инъективны, и размерность

dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))

в некоторых конкретных случаях может быть больше единицы.

Если $f:M_{\mu }\to M_{\lambda }$ является гомоморфизмом (истинных) модулей Верма, $K_{\mu }$ соотв. $K_{\lambda }$ — ядра проекции $M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )$ , соотв. $M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ , то существует гомоморфизм $K_{\mu }\to K_{\lambda }$ и f факторы к гомоморфизму обобщенных модулей Верма $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ . Такой гомоморфизм (т. е. фактор гомоморфизма модулей Верма) называется стандартным . Однако в некоторых случаях стандартный гомоморфизм может быть равен нулю.

Стандартный

Предположим, что существует нетривиальный гомоморфизм истинных модулей Верма $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ .Позволять $S\subset \Delta$ — набор таких простых корней α, что пространства отрицательных корней корня $-\alpha$ находятся в ${\mathfrak {p}}$ (как в разделе «Свойства» ).Следующая теорема доказана Леповским : ^[2]

Стандартный гомоморфизм $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ равен нулю тогда и только тогда, когда существует $\alpha \in S$ такой, что $M_{\mu }$ изоморфен подмодулю $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ ( $s_{\alpha }$ – соответствующее корневое отражение и $\cdot$ – аффинное действие ).

Структура ГВМ на аффинной орбите ${\mathfrak {g}}$ -доминантный и ${\mathfrak {g}}$ -целый вес ${\tilde {\lambda }}$ можно описать явно. Если W — Вейля группа ${\mathfrak {g}}$ , существует подмножество $W^{\mathfrak {p}}\subset W$ таких элементов, так что $w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})$ является ${\mathfrak {p}}$ -доминантный. Можно показать, что $W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W$ где $W_{\mathfrak {p}}$ это группа Вейля ${\mathfrak {p}}$ (в частности, $W^{\mathfrak {p}}$ не зависит от выбора ${\tilde {\lambda }}$ ). Карта $w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})$ является биекцией между $W^{\mathfrak {p}}$ и набор GVM с наибольшим весом на орбите аффинной ${\tilde {\lambda }}$ . Предположим, что $\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$ , $\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$ и $w\leq w'$ в порядке Брюа (в противном случае не существует гомоморфизма (истинных) модулей Верма $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ и стандартный гомоморфизм не имеет смысла, см. Гомоморфизмы модулей Верма ).

Следующие утверждения следуют из приведенной выше теоремы и структуры $W^{\mathfrak {p}}$ :

Теорема. Если $w'=s_{\gamma }w$ для некоторого положительного корня $\gamma$ и длину (см. порядок Брюа ) l(w')=l(w)+1, то существует ненулевой стандартный гомоморфизм $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Теорема . Стандартный гомоморфизм $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ равен нулю тогда и только тогда, когда существует $w''\in W$ такой, что $w\leq w''\leq w'$ и $w''\notin W^{\mathfrak {p}}$ .

Однако, если ${\tilde {\lambda }}$ является лишь доминирующим, но не неотъемлемым, все еще могут существовать ${\mathfrak {p}}$ -доминантный и ${\mathfrak {p}}$ -целые веса на его аффинной орбите.

Ситуация еще более усложняется, если ГВМ имеют сингулярный характер, т.е. $\mu$ и $\lambda$ находятся на аффинной орбите некоторого ${\tilde {\lambda }}$ такой, что ${\tilde {\lambda }}+\delta$ находится на стене фундаментальной камеры Вейля .

Нестандартный

Гомоморфизм $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ называется нестандартным , если он нестандартен. Может случиться так, что стандартный гомоморфизм ОМГ равен нулю, но все же существует нестандартный гомоморфизм.

Резолюция Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда.

Примеры

Поля конформной теории поля принадлежат обобщенным модулям Верма конформной алгебры . ^[3]

См. также

Внешние ссылки

Код для построения БГГ-резольвенты модулей алгебры Ли и вычисления ее когомологий

Ссылки

^ Назван в честь Дая-Нанда Вермы .
^ Леповски Дж., Обобщение резолюции Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.
^ Пенедонес, Жуан; Тревизани, Эмилио; Ямадзаки, Масахито (2016). «Рекурсивные отношения для конформных блоков» . Журнал физики высоких энергий . 2016 (9). дои : 10.1007/JHEP09(2016)070 . hdl : 11449/173478 . ISSN 1029-8479 .

[1] Назван в честь Дая-Нанда Вермы .

[2] Леповски Дж., Обобщение резолюции Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.

[pty16-3] Пенедонес, Жуан; Тревизани, Эмилио; Ямадзаки, Масахито (2016). «Рекурсивные отношения для конформных блоков» . Журнал физики высоких энергий . 2016 (9). дои : 10.1007/JHEP09(2016)070 . hdl : 11449/173478 . ISSN 1029-8479 .

[1]

[2]

[3]