Jump to content

Вес (теория представлений)

В математической области теории представлений вес в алгебры A над полем F это гомоморфизм алгебры F из A или , самое, одномерное представление A F. над то же что Это алгебраический аналог характера группы мультипликативного . Однако важность этой концепции проистекает из ее применения к алгебр Ли , а следовательно, и к представлениям алгебраических представлениям групп и групп Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное пространство называется весовым пространством .

Мотивация и общая концепция

[ редактировать ]

Учитывая набор S из матриц над одним и тем же полем, каждая из которых диагонализуема и любые две из которых коммутируют , всегда возможно одновременно диагонализировать все элементы S . [примечание 1] Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых преобразований конечномерного , векторного пространства V существует базис V линейных состоящий из одновременных собственных векторов всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v V определяет линейный функционал на подалгебре U в End( V ), порожденный набором эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое сопоставляет каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентификатор в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры из U в основное поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.

Это понятие тесно связано с идеей мультипликативного характера в теории групп , который представляет собой х группы G в мультипликативную группу поля F. гомоморфизм Таким образом, χ : G F × удовлетворяет χ ( e ) = 1 (где единичный элемент G e ) и

для g , h в G. всех

Действительно, если G действует в векторном пространстве V над F , каждое одновременное собственное пространство для каждого элемента G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение в этом общем собственном пространстве каждого элемента группы.

Понятие мультипликативного характера можно распространить на любую алгебру A над F , заменив χ : G F × χ линейным отображением : A F с :

для a , b в A. всех Если алгебра A действует в векторном пространстве V над F в любом одновременном собственном пространстве, это соответствует гомоморфизму алгебры из A в F, присваивающему каждому элементу A его собственное значение.

Если A алгебра Ли (которая обычно не является ассоциативной алгеброй ), то вместо требования мультипликативности характера требуется, чтобы он отображал любую скобку Ли в соответствующий коммутатор ; но поскольку F коммутативно , это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль в скобках Ли: χ ([ a , b ]) = 0. Вес на алгебре Ли g над полем F является линейным отображением λ: g F с λ ([ x , y ]) = 0 для всех x , y в g . Любой вес на алгебре Ли g обращается в нуль на производной алгебре [ g , g ] и, следовательно, сводится к весу на абелевой алгебре Ли g /[ g , g ]. Таким образом, веса представляют в первую очередь интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.

Если G группа Ли или алгебраическая группа , то мультипликативный характер θ: G F × индуцирует вес χ = dθ: g F на своей алгебре Ли путем дифференцирования. (Для групп Ли это дифференцирование по единичному элементу группы G , а случай алгебраической группы представляет собой абстракцию с использованием понятия вывода.)

Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

[ редактировать ]

Позволять — комплексная полупростая алгебра Ли и Картана подалгебра . В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы о наибольшем весе», классифицирующей конечномерные представления . В частности, мы объясним понятие «доминирующего целостного элемента». Сами представления описаны в статье, указанной выше.

Вес представления

[ редактировать ]
Пример весов представления алгебры Ли sl(3,C)

Позволять быть представлением алгебры Ли в векторном пространстве V над полем характеристики 0, скажем , и пусть быть линейным функционалом на . Тогда Весовое пространство V λ с весом является подпространством данный

.

Вес . представления V (представление часто называют векторным пространством V, над которым действуют элементы алгебры Ли, а не отображением) ) — линейный функционал λ такой, что соответствующее весовое пространство не равно нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . То есть весовой вектор — это одновременный собственный вектор действия элементов , с соответствующими собственными значениями, заданными λ.

Если V является прямой суммой своих весовых пространств

тогда V называется весовой модуль ; это соответствует существованию общего собственного базиса (базиса одновременных собственных векторов) для всех представляемых элементов алгебры, т. е. существованию одновременно диагонализируемых матриц (см. Диагонализуемая матрица ).

Если G — группа с алгеброй Ли , каждое конечномерное представление G индуцирует представление . Тогда вес представления G — это просто вес ассоциированного представления группы G. . Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлениями алгебры Ли, заключающееся в том, что в этих двух случаях существует разное понятие условия целостности; см. ниже. (Условие целостности является более строгим в случае группы, поскольку не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы.)

Действие корневых векторов

[ редактировать ]

Для присоединенного представления из , пространство, в котором действует представление, является самой алгеброй Ли. Тогда ненулевые веса называются корнями , весовые пространства называются корневыми пространствами , а весовые векторы, которые, таким образом, являются элементами , называются корневыми векторами . В явном виде линейный функционал на называется корнем, если и существует ненулевое значение в такой, что

для всех в . Собрание корней образует корневую систему .

С точки зрения теории представлений значение корней и корневых векторов заключается в следующем элементарном, но важном результате: если является представлением , v — весовой вектор с весом и X — корневой вектор с корнем , затем

для всех H в . То есть, является либо нулевым вектором, либо весовым вектором с весом . Таким образом, действие отображает весовое пространство с весом в весовое пространство с весом .

Например, если , или комплексные, корневые векторы охватывать алгебру и иметь веса , , и соответственно. Подалгебра Картана натянута на , и действие классифицирует весовые пространства. Действие отображает весовое пространство веса к весовому пространству веса и действие отображает весовое пространство веса к весовому пространству веса , и действие отображает весовые пространства на себя. В фундаментальном представлении с весами и весовые помещения , карты до нуля и к , пока карты до нуля и к , и отображает каждое весовое пространство на себя.

Интегральный элемент

[ редактировать ]
Алгебраически целые элементы (треугольная решетка), доминирующие целые элементы (черные точки) и фундаментальные веса для sl(3,C)

Позволять быть реальным подпространством порожденный корнями , где – пространство линейных функционалов , двойное пространство . Для вычислений удобно выбирать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, т. е. относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации с подпространством из . При такой идентификации корень связан с корнем дается как

где обозначает внутренний продукт векторов В дополнение к этому внутреннему произведению обычно используется обозначение угловых скобок. будет использоваться при обсуждении корневых систем , с угловой скобкой, определяемой как Угловая скобка здесь не является внутренним произведением, поскольку она не симметрична и линейна только по первому аргументу. Обозначение угловой скобки не следует путать с внутренним произведением.

Теперь мы определим два различных понятия целостности для элементов . Мотивация этих определений проста: веса конечномерных представлений удовлетворяют первому условию целостности, а если G — группа с алгеброй Ли , веса конечномерных представлений G удовлетворяют второму условию целочисленности.

Элемент является алгебраически целым, если

для всех корней . Мотивацией этого условия является то, что корень может быть отождествлен с элементом H в стандарте основу для -подалгебра . [1] По элементарным результатам для , собственные значения в любом конечномерном представлении должно быть целым числом. Приходим к выводу, что, как сказано выше, вес любого конечномерного представления является алгебраически целым. [2]

Основные веса определяются тем свойством, на основе которого они составляют двойственно множеству кокорней, связанных с простыми корнями . То есть фундаментальные веса определяются условием

где это простые корни. Элемент тогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда оно представляет собой целую комбинацию фундаментальных весов. [3] Набор всего -целые веса представляют собой решетку в называется решеткой весов для , обозначенный .

На рисунке показан пример алгебры Ли. , корневая система которого корневая система. Имеются два простых корня, и . Первый фундаментальный вес, , должно быть ортогонально и должен проектироваться ортогонально половине , и аналогично для . Решетка весов тогда является треугольной решеткой.

Предположим теперь, что алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли G . Тогда мы говорим, что является аналитически целым ( G-целым ), если для каждого t в такой, что у нас есть . Причина принятия этого определения состоит в том, что если представление возникает из представления G , то веса представления будут G -целыми. [4] Для полупростого G множество всех G -целых весов представляет собой подрешетку P ( G ) ⊂ P ( ). Если G односвязна P , то ( G ) = P ( ). Если G не односвязна, то решетка P ( G ) меньше P ( ) и их изоморфен фундаментальной группе G . фактор [5]

Частичное упорядочение в пространстве весов

[ редактировать ]
Если положительные корни , , и , заштрихованная область — это набор точек выше, чем

Теперь мы введем частичное упорядочение множества весов, которое будет использовано для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления . Напомним, что R — множество корней; сейчас мы исправим набор положительных корней .

Рассмотрим два элемента и из . Нас в основном будет интересовать случай, когда и являются целыми, но это предположение не является необходимым для определения, которое мы собираемся ввести. Мы тогда говорим, что выше , чем , который мы запишем как , если выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. [6] Грубо говоря, это означает, что «выше» означает направление положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что «ниже», чем , который мы запишем как .

Это лишь частичный порядок; это легко может случиться не выше и не ниже, чем .

Доминирующий вес

[ редактировать ]

Целочисленный элемент λ является доминантным , если для каждого положительного корня γ . Эквивалентно, λ является доминантным, если это неотрицательная целочисленная комбинация фундаментальных весов. В В этом случае доминирующие интегральные элементы живут в секторе 60 градусов. Понятие доминирования — это не то же самое, что быть выше нуля. Обратите внимание, что серая область на рисунке справа представляет собой сектор в 120 градусов, строго содержащий сектор в 60 градусов, соответствующий доминирующим целочисленным элементам.

Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что известна как фундаментальная камера Вейля, связанная с данным набором положительных корней.

Теорема о старшем весе

[ редактировать ]

Вес представительства из называется старшим весом, если любой другой вес ниже, чем .

Теория, классифицирующая конечномерные неприводимые представления осуществляется с помощью «теоремы наивысшего веса». Теорема гласит, что [7]

(1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет старший вес,
(2) старший вес всегда является доминирующим, алгебраически целым элементом,
(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны и
(4) каждый доминирующий, алгебраически целый элемент является старшим весом неприводимого представления.

Последний пункт самый трудный; представления могут быть построены с использованием модулей Верма .

Модуль с наибольшим весом

[ редактировать ]

конечномерное) V Представление (не обязательно называется модулем старшего веса , если он порождается весовым вектором v V , который аннулируется действием всех положительных корневых пространств в . Каждый неприводимый -модуль с наибольшим весом обязательно является модулем с наибольшим весом, но в бесконечномерном случае модуль с наибольшим весом не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого — не обязательно доминантный или целочисленный — существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой старший вес -модуль со старшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерен, если λ не является доминирующим целым. Можно показать, что каждый модуль старшего веса с наибольшим весом λ является фактором модуля Вермы M (λ). Это всего лишь повторение свойства универсальности в определении модуля Вермы.

Каждый конечномерный модуль со старшим весом неприводим. [8]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем , они одновременно триангуляризуемы , без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.
  1. ^ Холл, 2015 г. Теорема 7.19 и уравнение. (7,9)
  2. ^ Зал 2015 г., Предложение 9.2.
  3. ^ Зал 2015 г. , Предложение 8.36
  4. ^ Зал 2015 г. , Предложение 12.5
  5. ^ Холл 2015 Следствие 13.8 и Следствие 13.20
  6. ^ Холл 2015 г. Определение 8.39
  7. ^ Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.
  8. ^ Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Hall 2015 вместе с общим результатом о полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.
  • Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 . .
  • Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-66348-9 .
  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN  978-0-387-90053-7 .
  • Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90108-4 , МР   0396773
  • Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-4259-4 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 4893fa25875eab1772347deb2210ae96__1715779320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/48/96/4893fa25875eab1772347deb2210ae96.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Weight (representation theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)