Вес (теория представлений)
В математической области теории представлений вес в алгебры — A над полем F это гомоморфизм алгебры F из A или , самое, одномерное представление A F. над то же что Это алгебраический аналог характера группы мультипликативного . Однако важность этой концепции проистекает из ее применения к алгебр Ли , а следовательно, и к представлениям алгебраических представлениям групп и групп Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное пространство называется весовым пространством .
Мотивация и общая концепция
[ редактировать ]Учитывая набор S из матриц над одним и тем же полем, каждая из которых диагонализуема и любые две из которых коммутируют , всегда возможно одновременно диагонализировать все элементы S . [примечание 1] Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых преобразований конечномерного , векторного пространства V существует базис V линейных состоящий из одновременных собственных векторов всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U в End( V ), порожденный набором эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое сопоставляет каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентификатор в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры из U в основное поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.
Это понятие тесно связано с идеей мультипликативного характера в теории групп , который представляет собой х группы G в мультипликативную группу поля F. гомоморфизм Таким образом, χ : G → F × удовлетворяет χ ( e ) = 1 (где — единичный элемент G e ) и
- для g , h в G. всех
Действительно, если G действует в векторном пространстве V над F , каждое одновременное собственное пространство для каждого элемента G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение в этом общем собственном пространстве каждого элемента группы.
Понятие мультипликативного характера можно распространить на любую алгебру A над F , заменив χ : G → F × χ линейным отображением : A → F с :
для a , b в A. всех Если алгебра A действует в векторном пространстве V над F в любом одновременном собственном пространстве, это соответствует гомоморфизму алгебры из A в F, присваивающему каждому элементу A его собственное значение.
Если A — алгебра Ли (которая обычно не является ассоциативной алгеброй ), то вместо требования мультипликативности характера требуется, чтобы он отображал любую скобку Ли в соответствующий коммутатор ; но поскольку F коммутативно , это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль в скобках Ли: χ ([ a , b ]) = 0. Вес на алгебре Ли g над полем F является линейным отображением λ: g → F с λ ([ x , y ]) = 0 для всех x , y в g . Любой вес на алгебре Ли g обращается в нуль на производной алгебре [ g , g ] и, следовательно, сводится к весу на абелевой алгебре Ли g /[ g , g ]. Таким образом, веса представляют в первую очередь интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.
Если G — группа Ли или алгебраическая группа , то мультипликативный характер θ: G → F × индуцирует вес χ = dθ: g → F на своей алгебре Ли путем дифференцирования. (Для групп Ли это дифференцирование по единичному элементу группы G , а случай алгебраической группы представляет собой абстракцию с использованием понятия вывода.)
Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
[ редактировать ]Позволять — комплексная полупростая алгебра Ли и Картана подалгебра . В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы о наибольшем весе», классифицирующей конечномерные представления . В частности, мы объясним понятие «доминирующего целостного элемента». Сами представления описаны в статье, указанной выше.
Вес представления
[ редактировать ]Позволять быть представлением алгебры Ли в векторном пространстве V над полем характеристики 0, скажем , и пусть быть линейным функционалом на . Тогда Весовое пространство V λ с весом является подпространством данный
- .
Вес . представления V (представление часто называют векторным пространством V, над которым действуют элементы алгебры Ли, а не отображением) ) — линейный функционал λ такой, что соответствующее весовое пространство не равно нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . То есть весовой вектор — это одновременный собственный вектор действия элементов , с соответствующими собственными значениями, заданными λ.
Если V является прямой суммой своих весовых пространств
тогда V называется весовой модуль ; это соответствует существованию общего собственного базиса (базиса одновременных собственных векторов) для всех представляемых элементов алгебры, т. е. существованию одновременно диагонализируемых матриц (см. Диагонализуемая матрица ).
Если G — группа с алгеброй Ли , каждое конечномерное представление G индуцирует представление . Тогда вес представления G — это просто вес ассоциированного представления группы G. . Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлениями алгебры Ли, заключающееся в том, что в этих двух случаях существует разное понятие условия целостности; см. ниже. (Условие целостности является более строгим в случае группы, поскольку не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы.)
Действие корневых векторов
[ редактировать ]Для присоединенного представления из , пространство, в котором действует представление, является самой алгеброй Ли. Тогда ненулевые веса называются корнями , весовые пространства называются корневыми пространствами , а весовые векторы, которые, таким образом, являются элементами , называются корневыми векторами . В явном виде линейный функционал на называется корнем, если и существует ненулевое значение в такой, что
для всех в . Собрание корней образует корневую систему .
С точки зрения теории представлений значение корней и корневых векторов заключается в следующем элементарном, но важном результате: если является представлением , v — весовой вектор с весом и X — корневой вектор с корнем , затем
для всех H в . То есть, является либо нулевым вектором, либо весовым вектором с весом . Таким образом, действие отображает весовое пространство с весом в весовое пространство с весом .
Например, если , или комплексные, корневые векторы охватывать алгебру и иметь веса , , и соответственно. Подалгебра Картана натянута на , и действие классифицирует весовые пространства. Действие отображает весовое пространство веса к весовому пространству веса и действие отображает весовое пространство веса к весовому пространству веса , и действие отображает весовые пространства на себя. В фундаментальном представлении с весами и весовые помещения , карты до нуля и к , пока карты до нуля и к , и отображает каждое весовое пространство на себя.
Интегральный элемент
[ редактировать ]Позволять быть реальным подпространством порожденный корнями , где – пространство линейных функционалов , двойное пространство . Для вычислений удобно выбирать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, т. е. относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации с подпространством из . При такой идентификации корень связан с корнем дается как
где обозначает внутренний продукт векторов В дополнение к этому внутреннему произведению обычно используется обозначение угловых скобок. будет использоваться при обсуждении корневых систем , с угловой скобкой, определяемой как Угловая скобка здесь не является внутренним произведением, поскольку она не симметрична и линейна только по первому аргументу. Обозначение угловой скобки не следует путать с внутренним произведением.
Теперь мы определим два различных понятия целостности для элементов . Мотивация этих определений проста: веса конечномерных представлений удовлетворяют первому условию целостности, а если G — группа с алгеброй Ли , веса конечномерных представлений G удовлетворяют второму условию целочисленности.
Элемент является алгебраически целым, если
для всех корней . Мотивацией этого условия является то, что корень может быть отождествлен с элементом H в стандарте основу для -подалгебра . [1] По элементарным результатам для , собственные значения в любом конечномерном представлении должно быть целым числом. Приходим к выводу, что, как сказано выше, вес любого конечномерного представления является алгебраически целым. [2]
Основные веса определяются тем свойством, на основе которого они составляют двойственно множеству кокорней, связанных с простыми корнями . То есть фундаментальные веса определяются условием
где это простые корни. Элемент тогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда оно представляет собой целую комбинацию фундаментальных весов. [3] Набор всего -целые веса представляют собой решетку в называется решеткой весов для , обозначенный .
На рисунке показан пример алгебры Ли. , корневая система которого корневая система. Имеются два простых корня, и . Первый фундаментальный вес, , должно быть ортогонально и должен проектироваться ортогонально половине , и аналогично для . Решетка весов тогда является треугольной решеткой.
Предположим теперь, что алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли G . Тогда мы говорим, что является аналитически целым ( G-целым ), если для каждого t в такой, что у нас есть . Причина принятия этого определения состоит в том, что если представление возникает из представления G , то веса представления будут G -целыми. [4] Для полупростого G множество всех G -целых весов представляет собой подрешетку P ( G ) ⊂ P ( ). Если G односвязна P , то ( G ) = P ( ). Если G не односвязна, то решетка P ( G ) меньше P ( ) и их изоморфен фундаментальной группе G . фактор [5]
Частичное упорядочение в пространстве весов
[ редактировать ]Теперь мы введем частичное упорядочение множества весов, которое будет использовано для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления . Напомним, что R — множество корней; сейчас мы исправим набор положительных корней .
Рассмотрим два элемента и из . Нас в основном будет интересовать случай, когда и являются целыми, но это предположение не является необходимым для определения, которое мы собираемся ввести. Мы тогда говорим, что выше , чем , который мы запишем как , если выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. [6] Грубо говоря, это означает, что «выше» означает направление положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что «ниже», чем , который мы запишем как .
Это лишь частичный порядок; это легко может случиться не выше и не ниже, чем .
Доминирующий вес
[ редактировать ]Целочисленный элемент λ является доминантным , если для каждого положительного корня γ . Эквивалентно, λ является доминантным, если это неотрицательная целочисленная комбинация фундаментальных весов. В В этом случае доминирующие интегральные элементы живут в секторе 60 градусов. Понятие доминирования — это не то же самое, что быть выше нуля. Обратите внимание, что серая область на рисунке справа представляет собой сектор в 120 градусов, строго содержащий сектор в 60 градусов, соответствующий доминирующим целочисленным элементам.
Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что известна как фундаментальная камера Вейля, связанная с данным набором положительных корней.
Теорема о старшем весе
[ редактировать ]Вес представительства из называется старшим весом, если любой другой вес ниже, чем .
Теория, классифицирующая конечномерные неприводимые представления осуществляется с помощью «теоремы наивысшего веса». Теорема гласит, что [7]
- (1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет старший вес,
- (2) старший вес всегда является доминирующим, алгебраически целым элементом,
- (3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны и
- (4) каждый доминирующий, алгебраически целый элемент является старшим весом неприводимого представления.
Последний пункт самый трудный; представления могут быть построены с использованием модулей Верма .
Модуль с наибольшим весом
[ редактировать ]конечномерное) V Представление (не обязательно называется модулем старшего веса , если он порождается весовым вектором v ∈ V , который аннулируется действием всех положительных корневых пространств в . Каждый неприводимый -модуль с наибольшим весом обязательно является модулем с наибольшим весом, но в бесконечномерном случае модуль с наибольшим весом не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого — не обязательно доминантный или целочисленный — существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой старший вес -модуль со старшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерен, если λ не является доминирующим целым. Можно показать, что каждый модуль старшего веса с наибольшим весом λ является фактором модуля Вермы M (λ). Это всего лишь повторение свойства универсальности в определении модуля Вермы.
Каждый конечномерный модуль со старшим весом неприводим. [8]
См. также
[ редактировать ]- Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
- Теория представлений связной компактной группы Ли
- Высшая весовая категория
- Корневая система
Примечания
[ редактировать ]- ^ Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем , они одновременно триангуляризуемы , без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Холл, 2015 г. Теорема 7.19 и уравнение. (7,9)
- ^ Зал 2015 г., Предложение 9.2.
- ^ Зал 2015 г. , Предложение 8.36
- ^ Зал 2015 г. , Предложение 12.5
- ^ Холл 2015 Следствие 13.8 и Следствие 13.20
- ^ Холл 2015 г. Определение 8.39
- ^ Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.
- ^ Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Hall 2015 вместе с общим результатом о полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . .
- Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7 .
- Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4 , МР 0396773
- Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4 .