Высшая весовая категория

В математической области теории представлений категорией со старшим весом является k -линейная категория C (здесь k — поле ), которая

B\cap \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)=\bigcup _{\alpha }\left(B\cap A_{\alpha }\right)

для всех подобъектов B и каждого семейства подобъектов { A _α } каждого объекта X

такое, что существует локально конечное частично упорядоченное множество Λ (элементы которого называются весами C и ), удовлетворяющее следующим условиям: ^[2]

ЧУ-множество Λ индексирует исчерпывающий набор неизоморфных простых объектов { S ( λ )} в C .
Λ также индексирует набор объектов { A ( λ )} объектов C таких, что существуют вложения S ( λ ) → A ( λ ) такие, что все композиционные факторы S ( µ ) из A ( λ )/ S ( λ ) удовлетворять μ < λ . ^[3]
Для всех µ , λ из Λ,

\dim _{k}\operatorname {Hom} _{k}(A(\lambda ),A(\mu ))

конечна, а кратность ^[4]

[A(\lambda ):S(\mu )]

также конечно.

Каждое S ( λ ) имеет инъективную оболочку I ( λ ) в C, снабженную возрастающей фильтрацией

0=F_{0}(\lambda )\subseteq F_{1}(\lambda )\subseteq \dots \subseteq I(\lambda )

такой, что

$F_{1}(\lambda )=A(\lambda )$
для n > 1, $F_{n}(\lambda )/F_{n-1}(\lambda )\cong A(\mu )$ для некоторого µ = λ ( n ) > λ
для каждого µ в Λ, λ ( n ) = µ только для конечного числа n
$\bigcup _{i}F_{i}(\lambda )=I(\lambda ).$

Примеры

Категория модуля $k$ -алгебра верхнего треугольника $n\times n$ матрицы над $k$ .
Это понятие названо в честь категории модулей старшего веса алгебр Ли.
Конечномерный $k$ -алгебра $A$ является квазинаследственной тогда и только тогда, когда его категория модуля является категорией с наивысшим весом. В частности, все категории модулей над полупростыми и наследственными алгебрами являются категориями старшего веса.
над Клеточная алгебра полем является квазинаследственной (и, следовательно, ее категория модулей является категорией старшего веса) тогда и только тогда, когда ее определитель Картана равен 1.

^ том смысле, что он допускает произвольные прямые пределы подобъектов В и каждый объект представляет собой объединение своих подобъектов конечной длины .
^ Клайн, Паршалл и Скотт 1988 , §3
^ Здесь фактор композиции объекта A в C по определению является фактором композиции одного из его подобъектов конечной длины.
^ Здесь, если A — объект в C , а S — простой объект в C , кратность [A:S] по определению является верхней границей кратности S во всех подобъектах конечной A. длины