Клеточная алгебра

Эта статья о клеточных алгебрах Грэма и Лерера. Для клеточных алгебр Вейсфейлера и Лемана см. когерентную алгебру .

В абстрактной алгебре клеточная алгебра — это конечномерная ассоциативная алгебра A выделенным клеточным базисом которая особенно хорошо адаптирована к изучению теории представлений A. , с

История

Клеточные алгебры, обсуждаемые в этой статье, были представлены в статье Грэма и Лерера 1996 года. Однако эта терминология ранее использовалась Вейсфейлером и Леманом в Советском Союзе в 1960-х годах для описания того, что также известно как когерентные алгебры .

Определения

Позволять $R$ — фиксированное коммутативное кольцо с единицей. В большинстве приложений это поле , но для определений оно не требуется. Пусть также $A$ быть $R$- алгебра .

Конкретное определение

ячейки Данные для $A$ это кортеж $(\Lambda ,i,M,C)$ состоящий из

• Конечное частично упорядоченное множество $\Lambda$.
• А $R$- линейный антиавтоморфизм $i:A\to A$ с $i^{2}=\operatorname {id} _{A}$.
• Для каждого $\lambda \in \Lambda$ непустое конечное множество $M(\lambda )$ индексов.
• Инъективная ​ карта

$C:{\dot {\bigcup }}_{\lambda \in \Lambda }M(\lambda )\times M(\lambda )\to A$

Изображения под этой картой отмечены верхним индексом. $\lambda \in \Lambda$ и два нижних индекса ${\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )$ так что типичный элемент изображения записывается как $C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }$.

и удовлетворяющий следующим условиям:

1. Образ $C$ это $R$- основа ​ $A$.
2. $i(C_{\mathfrak {st}}^{\lambda })=C_{\mathfrak {ts}}^{\lambda }$ для всех элементов основы.
3. Для каждого $\lambda \in \Lambda$, ${\mathfrak {s}},{\mathfrak {t}}\in M(\lambda )$ и каждый $a\in A$ уравнение

$aC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }\equiv \sum _{{\mathfrak {u}}\in M(\lambda )}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {ut}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )$

с коэффициентами $r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})\in R$ в зависимости только от $a$, ${\mathfrak {u}}$ и ${\mathfrak {s}}$ но не на ${\mathfrak {t}}$. Здесь $A(<\lambda )$ обозначает $R$-объем всех базисных элементов с верхним индексом строго меньшим, чем $\lambda$.

Первоначально это определение было дано Грэмом и Лерером, которые изобрели клеточные алгебры.

Более абстрактное определение

Позволять $i:A\to A$ быть антиавтоморфизмом $R$-алгебры с $i^{2}=\operatorname {id}$ называется просто « инволюция ( с этого момента »).

Клеточный идеал ​ $A$ относительно $i$ это двусторонний идеал $J\subseteq A$ такие, что выполняются следующие условия:

1. $i(J)=J$.
2. Существует левый идеал $\Delta \subseteq J$ это бесплатно как $R$- модуль и изоморфизм

$\alpha :\Delta \otimes _{R}i(\Delta )\to J$

из $A$- $A$- бимодули такие, что $\alpha$ и $i$ совместимы в том смысле, что

$\forall x,y\in \Delta :i(\alpha (x\otimes i(y)))=\alpha (y\otimes i(x))$

Цепь клеток для $A$ относительно $i$ определяется как прямое разложение

$A=\bigoplus _{k=1}^{m}U_{k}$

в бесплатный $R$-подмодули такие, что

1. $i(U_{k})=U_{k}$
2. $J_{k}:=\bigoplus _{j=1}^{k}U_{j}$ представляет собой двусторонний идеал $A$
3. $J_{k}/J_{k-1}$ представляет собой клеточный идеал $A/J_{k-1}$ относительно индуцированной инволюции.

Сейчас $(A,i)$ называется клеточной алгеброй, если она имеет цепочку ячеек. Можно показать, что эти два определения эквивалентны. Каждый базис порождает цепочки ячеек (по одной на каждый топологический порядок $\Lambda$) и выбирая базис каждого левого идеала $\Delta /J_{k-1}\subseteq J_{k}/J_{k-1}$ можно построить соответствующий базис ячеек для $A$.

Примеры

Полиномиальные примеры

$R[x]/(x^{n})$ является сотовым. Данные ячейки задаются выражением $i=\operatorname {id}$ и

• $\Lambda :=\lbrace 0,\ldots ,n-1\rbrace$ с обратным естественным порядком.
• $M(\lambda ):=\lbrace 1\rbrace$
• $C_{11}^{\lambda }:=x^{\lambda }$

Цепь клеток в смысле второго, абстрактного определения дается формулой

$0\subseteq (x^{n-1})\subseteq (x^{n-2})\subseteq \ldots \subseteq (x^{1})\subseteq (x^{0})=R[x]/(x^{n})$

Примеры матриц

$R^{\,d\times d}$ является сотовым. Данные ячейки задаются выражением $i(A)=A^{T}$ и

• $\Lambda :=\lbrace 1\rbrace$
• $M(1):=\lbrace 1,\dots ,d\rbrace$
• За основу выбирают $C_{st}^{1}:=E_{st}$ стандартные матричные единицы , т.е. $C_{st}^{1}$ — матрица, все элементы которой равны нулю, кроме ( s , t )-й записи, которая равна 1.

Клеточная цепь (и фактически единственная клеточная цепь) определяется выражением

$0\subseteq R^{\!d\times d}$

В некотором смысле все клеточные алгебры «интерполируют» между этими двумя крайностями, располагая части, подобные матричной алгебре, в соответствии с частично упорядоченным набором. $\Lambda$.

Дальнейшие примеры

По модулю незначительных технических подробностей все алгебры Ивахори–Гекке конечного типа являются клеточными относительно инволюции, которая отображает стандартный базис как $T_{w}\mapsto T_{w^{-1}}$. Сюда входит, например, целая групповая алгебра симметрических групп , а также все другие конечные группы Вейля .

Базовая древесная алгебра Брауэра над полем является клеточной тогда и только тогда, когда дерево Брауэра представляет собой прямую линию (с произвольным числом исключительных вершин).

Дальнейшие примеры включают q- алгебры Шура , алгебру Брауэра , алгебру Темперли–Либа , алгебру Бирмана–Мураками–Венцля , блоки категории Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда. ${\mathcal {O}}$ полупростой алгебры Ли .

Представительства

Клеточные модули и инвариантная билинейная форма

Предполагать $A$ является клеточным и $(\Lambda ,i,M,C)$ является базой данных ячейки для $A$. Затем определяется модуль ячейки $W(\lambda )$ как бесплатный $R$-модуль с базой $\lbrace C_{\mathfrak {s}}\mid {\mathfrak {s}}\in M(\lambda )\rbrace$ и умножение

$aC_{\mathfrak {s}}:=\sum _{\mathfrak {u}}r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})C_{\mathfrak {u}}$

где коэффициенты $r_{a}({\mathfrak {u}},{\mathfrak {s}})$ такие же, как указано выше. Затем $W(\lambda )$ становится $A$-левый модуль.

Эти модули обобщают модули Шпехта для симметрической группы и алгебр Гекке типа A.

Существует каноническая билинейная форма $\phi _{\lambda }:W(\lambda )\times W(\lambda )\to R$ который удовлетворяет

$C_{\mathfrak {st}}^{\lambda }C_{\mathfrak {uv}}^{\lambda }\equiv \phi _{\lambda }(C_{\mathfrak {t}},C_{\mathfrak {u}})C_{\mathfrak {sv}}^{\lambda }\mod A(<\lambda )$

для всех индексов $s,t,u,v\in M(\lambda )$.

Это можно проверить $\phi _{\lambda }$ симметричен в том смысле, что

$\phi _{\lambda }(x,y)=\phi _{\lambda }(y,x)$

для всех $x,y\in W(\lambda )$ а также $A$-инвариант в том смысле, что

$\phi _{\lambda }(i(a)x,y)=\phi _{\lambda }(x,ay)$

для всех $a\in A$, $x,y\in W(\lambda )$.

Простые модули

В оставшейся части этого раздела предположим, что кольцо $R$ это поле. Имея информацию, содержащуюся в инвариантных билинейных формах, можно легко перечислить все простые $A$-модули:

Позволять $\Lambda _{0}:=\lbrace \lambda \in \Lambda \mid \phi _{\lambda }\neq 0\rbrace$ и определить $L(\lambda ):=W(\lambda )/\operatorname {rad} (\phi _{\lambda })$ для всех $\lambda \in \Lambda _{0}$. Тогда все $L(\lambda )$ абсолютно просты $A$-модули и все простое $A$-модуль является одним из них.

Эти теоремы появляются уже в оригинальной статье Грэма и Лерера.

Свойства клеточных алгебр

Свойства устойчивости

• Тензорные произведения конечного числа клеточных $R$-алгебры клеточны.
• А $R$-алгебра $A$ является клеточной тогда и только тогда, когда ее противоположная алгебра $A^{\text{op}}$ является.
• Если $A$ является сотовым с клеточной базой данных $(\Lambda ,i,M,C)$ и $\Phi \subseteq \Lambda$ является идеалом (замкнутым вниз подмножеством) частичного множества $\Lambda$ затем $A(\Phi ):=\sum RC_{\mathfrak {st}}^{\lambda }$ (где сумма превышает $\lambda \in \Lambda$ и $s,t\in M(\lambda )$) является двусторонним, $i$-инвариантный идеал $A$ и частное $A/A(\Phi )$ является сотовым с клеточной базой данных $(\Lambda \setminus \Phi ,i,M,C)$ (где i обозначает индуцированную инволюцию, а M , C обозначают ограниченные отображения).
• Если $A$ это сотовая связь $R$-алгебра и $R\to S$ является унитарным гомоморфизмом коммутативных колец, то расширение скаляров $S\otimes _{R}A$ это сотовая связь $S$-алгебра.
• Прямые произведения конечного числа клеточных $R$-алгебры клеточны.

Если $R$ является областью целостности , то к этому последнему пункту имеется обратное :

• Если $(A,i)$ является конечномерным $R$-алгебра с инволюцией и $A=A_{1}\oplus A_{2}$ разложение на две стороны, $i$-инвариантные идеалы, то следующие условия эквивалентны:

1. $(A,i)$ является сотовым.
2. $(A_{1},i)$ и $(A_{2},i)$ являются сотовыми.

• Поскольку, в частности, блоки все $A$ являются $i$-инвариант, если $(A,i)$ является клеточным, непосредственным следствием является то, что конечномерная $R$-алгебра является клеточной по отношению к $i$ тогда и только тогда, когда все блоки $i$-инвариантный и клеточный относительно $i$.
• Теорема Титса о деформации клеточных алгебр: пусть $A$ быть сотовым $R$-алгебра. Также пусть $R\to k$ — унитарный гомоморфизм в поле $k$ и $K:=\operatorname {Quot} (R)$ поле частных ​ $R$. Тогда справедливо следующее: если $kA$ полупросто, то $KA$ также является полупростым.

Если еще предположить $R$ быть локальным доменом , то дополнительно выполняется следующее:

• Если $A$ сотовая связь по сравнению с $i$ и $e\in A$ является идемпотентом таким, что $i(e)=e$, то алгебра $eAe$ является сотовым.

Другие объекты недвижимости

Предполагая, что $R$ является полем (хотя многое из этого можно обобщить на произвольные кольца, области целостности , локальные кольца или, по крайней мере, кольца дискретного нормирования ) и $A$ является клеточным по отношению к инволюции $i$. Тогда имеют место следующие утверждения

• $A$ расщеплен, т. е. все простые модули абсолютно неприводимы .
• Следующие действия эквивалентны:

1. $A$ является полупростым .
2. $A$ является полупростым.
3. $\forall \lambda \in \Lambda :W(\lambda )$ это просто.
4. $\forall \lambda \in \Lambda :\phi _{\lambda }$ является невырожденным .

• Матрица Картана $C_{A}$ из $A$ симметричен и . положительно определен
• Следующие действия эквивалентны:

1. $A$ является квазинаследственной (т.е. его категория модуля является категорией с наивысшим весом ).
2. $\Lambda =\Lambda _{0}$.
3. Все клеточные цепи $(A,i)$ иметь одинаковую длину.
4. Все клеточные цепи $(A,j)$ иметь одинаковую длину, где $j:A\to A$ является произвольной инволюцией, относительно которой $A$ является сотовым.
5. $\det(C_{A})=1$.

• Если $A$ ли Морита эквивалентен $B$ и характеристика ​ $R$ не два, тогда $B$ также является клеточной относительно подходящей инволюции. В частности $A$ является клеточной (до некоторой инволюции) тогда и только тогда, когда ее базовая алгебра является клеточной.
• Каждый идемпотент $e\in A$ эквивалентно $i(e)$, то есть $Ae\cong Ai(e)$. Если $\operatorname {char} (R)\neq 2$ то на самом деле каждый класс эквивалентности содержит $i$-инвариантный идемпотент.