Когерентная алгебра

Когерентная алгебра — это алгебра комплексных квадратных матриц, замкнутая относительно обычного матричного умножения , произведения Шура , транспонирования и содержащая как единичную матрицу, так и $I$ и матрица «все единицы» $J$ . ^[1]

Определения

Подпространство ${\mathcal {A}}$ из $\mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )$ называется когерентной алгеброй порядка $n$ если:

$I,J\in {\mathcal {A}}$ .
$M^{T}\in {\mathcal {A}}$ для всех $M\in {\mathcal {A}}$ .
$MN\in {\mathcal {A}}$ и $M\circ N\in {\mathcal {A}}$ для всех $M,N\in {\mathcal {A}}$ .

Когерентная алгебра ${\mathcal {A}}$ говорят, что это:

Однородна , если каждая матрица из ${\mathcal {A}}$ имеет постоянную диагональ.
Коммутативный, если ${\mathcal {A}}$ коммутативен относительно обычного матричного умножения.
Симметрично, если каждая матрица из ${\mathcal {A}}$ является симметричным.

Набор $\Gamma ({\mathcal {A}})$ шур -примитивных матриц в когерентной алгебре ${\mathcal {A}}$ определяется как $\Gamma ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M\circ M=M,M\circ N\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ for all }}N\in {\mathcal {A}}\}$ .

Двойственно, набор $\Lambda ({\mathcal {A}})$ примитивных матриц в когерентной алгебре ${\mathcal {A}}$ определяется как $\Lambda ({\mathcal {A}}):=\{M\in {\mathcal {A}}:M^{2}=M,MN\in \operatorname {span} \{M\}{\text{ for all }}N\in {\mathcal {A}}\}$ .

Примеры

Централизатор . группы матриц перестановок является когерентной алгеброй, т. е ${\mathcal {W}}$ является когерентной алгеброй порядка $n$ если ${\mathcal {W}}:=\{M\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} ):MP=PM{\text{ for all }}P\in S\}$ для группы $S$ из $n\times n$ матрицы перестановок. Кроме того, централизатор группы матриц перестановок, представляющих группу автоморфизмов графа $G$ является однородным тогда и только тогда, когда $G$ является вершинно-транзитивным . ^[2]
Оболочка множества матриц, связывающих пары элементов, лежащих на одной орбите диагонального действия конечной группы на конечном множестве, является когерентной алгеброй, т. е. ${\mathcal {W}}:=\operatorname {span} \{A(u,v):u,v\in V\}$ где $A(u,v)\in \operatorname {Mat} _{V\times V}(\mathbb {C} )$ определяется как $(A(u,v))_{x,y}:={\begin{cases}1\ {\text{if }}(x,y)=(u^{g},v^{g}){\text{ for some }}g\in G\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}$ для всех $u,v\in V$ конечного множества $V$ действует конечная группа $G$ .
Область регулярного представления конечной группы как группы матриц перестановок над $\mathbb {C}$ является когерентной алгеброй.

Характеристики

Пересечение порядка множества когерентных алгебр $n$ является когерентной алгеброй.
Тензорное произведение когерентных алгебр является когерентной алгеброй, т.е. ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}:=\{M\otimes N:M\in {\mathcal {A}}{\text{ and }}N\in {\mathcal {B}}\}$ если ${\mathcal {A}}\in \operatorname {Mat} _{m\times m}(\mathbb {C} )$ и ${\mathcal {B}}\in \mathrm {Mat} _{n\times n}(\mathbb {C} )$ являются когерентными алгебрами.
Симметризация ${\widehat {\mathcal {A}}}:=\operatorname {span} \{M+M^{T}:M\in {\mathcal {A}}\}$ коммутативной когерентной алгебры ${\mathcal {A}}$ является когерентной алгеброй.
Если ${\mathcal {A}}$ является когерентной алгеброй, то $M^{T}\in \Gamma ({\mathcal {A}})$ для всех $M\in {\mathcal {A}}$ , ${\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Gamma ({\mathcal {A}}\right))$ , и $I\in \Gamma ({\mathcal {A}})$ если ${\mathcal {A}}$ является однородным.
Двойственно, если ${\mathcal {A}}$ является коммутативной когерентной алгеброй (порядка $n$ ), затем $E^{T},E^{*}\in \Lambda ({\mathcal {A}})$ для всех $E\in {\mathcal {A}}$ , ${\frac {1}{n}}J\in \Lambda ({\mathcal {A}})$ , и ${\mathcal {A}}=\operatorname {span} \left(\Lambda ({\mathcal {A}}\right))$ также.
Всякая симметрическая когерентная алгебра коммутативна, и каждая коммутативная когерентная алгебра однородна.
Когерентная алгебра коммутативна тогда и только тогда, когда она является алгеброй Бозе–Меснера (коммутативной) схемы ассоциации . ^[1]
Когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов при произведении Шура; более того, коммутативная когерентная алгебра образует кольцо главных идеалов и при обычном умножении матриц.