Алгебра Бозе – Меснера

В математике алгебра Бозе -Меснера представляет собой специальный набор матриц , которые возникают из комбинаторной структуры, известной как схема ассоциации , вместе с обычным набором правил объединения (формирования произведений) этих матриц, так что они образуют ассоциативную матрицу. алгебра , или, точнее, унитарная коммутативная алгебра . Среди этих правил:

• результат продукта также находится в наборе матриц,
• в наборе имеется единичная матрица, и
• взятие произведений коммутативно .

Алгебры Бозе-Меснера находят применение в физике для моделей вращения и в статистике для планирования экспериментов . Они названы в честь Р. К. Бозе и Дейла Марша Меснера.

Определение

Пусть X — набор из v элементов. Рассмотрим разбиение 2-элементных подмножеств X на n непустых подмножеств R ₁ , ..., R _n такое, что:

• учитывая $x\in X$, количество $y\in X$ такой, что $\{x,y\}\in R_{i}$ зависит только от i (а не от x ). Это число будет обозначаться v _i , а
• данный $x,y\in X$ с $\{x,y\}\in R_{k}$, количество $z\in X$ такой, что $\{x,z\}\in R_{i}$ и $\{z,y\}\in R_{j}$ зависит только от i , j и k (а не от x и y ). Это число будет обозначаться $p_{ij}^{k}$.

Эта структура улучшается за счет добавления всех пар повторяющихся элементов X и сбора их в подмножество R ₀ . Это усовершенствование позволяет параметрам i , j и k принимать нулевое значение и позволяет некоторым из x , y или z быть равными.

Набор с таким расширенным разделом называется схемой ассоциации . Схему ассоциации можно рассматривать как разбиение ребер полного графа (с множеством вершин X ) на n классов, которые часто называют классами цветов. В этом представлении в каждой вершине есть цикл, и все циклы получают один и тот же нулевой цвет.

Схему ассоциации можно представить и алгебраически. Рассмотрим матрицы D _i, определяемые следующим образом:

$(D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{if }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Позволять ${\mathcal {A}}$ — векторное пространство, состоящее из всех матриц $\sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}$, с $a_{i}$ сложный.

Определение схемы ассоциации эквивалентно утверждению, что $D_{i}$ являются v × v (0,1) -матрицами , удовлетворяющими

1. $D_{i}$ симметричен,
2. $\sum _{i=0}^{n}D_{i}=J$ (матрица «все единицы»),
3. $D_{0}=I,$
4. $D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.$

( x , y )-я запись в левой части числа 4. — это количество двух цветных путей длиной два, соединяющих x и y (с использованием «цветов» i и j ) в графе. Обратите внимание, что строки и столбцы $D_{i}$ содержать $v_{i}$ 1с:

$D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)$

1., эти матрицы симметричны Начиная с . С 2., $D_{0},\ldots ,D_{n}$ , линейно независимы а размерность ${\mathcal {A}}$ является $n+1$. С 4., ${\mathcal {A}}$ замкнуто относительно умножения, а умножение всегда ассоциативно. Эта ассоциативная коммутативная алгебра ${\mathcal {A}}$ называется алгеброй Бозе–Меснера ассоциации схемы . Поскольку матрицы в ${\mathcal {A}}$ симметричны и коммутируют друг с другом, то их можно одновременно диагонализировать. Это означает, что существует матрица $S$ такой, что каждому $A\in {\mathcal {A}}$ есть диагональная матрица $\Lambda _{A}$ с $S^{-1}AS=\Lambda _{A}$. Это означает, что ${\mathcal {A}}$ полупрост и имеет единственный базис примитивных идемпотентов $J_{0},\ldots ,J_{n}$. Это комплексные матрицы размера n × n, удовлетворяющие

$J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)$

$J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)$

$\sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)$

Алгебра Бозе–Меснера имеет два выделенных базиса: базис, состоящий из матриц смежности $D_{i}$, а базис состоит из неприводимых идемпотентных матриц $E_{k}$. По определению существуют корректно определенные комплексные числа такие, что

$D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)E_{k},\qquad (6)$

и

$|X|E_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)$

P-числа $p_{i}(k)$, а q-числа $q_{k}(i)$играют важную роль в теории. Они удовлетворяют четко определенным отношениям ортогональности. P-числа являются собственными значениями матрицы смежности. $D_{i}$.

Теорема

Собственные значения ​ $p_{i}(k)$ и $q_{k}(i)$, удовлетворяют условиям ортогональности:

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)$

$\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)$

Также

$\mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)$

В матричной записи это

$P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)$

$Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)$

где $\Delta _{v}=\operatorname {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\},\qquad \Delta _{\mu }=\operatorname {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}.$

Доказательство теоремы

Собственные значения ​ $D_{i}D_{\ell }$ являются $p_{i}(k)p_{\ell }(k)$ с кратностями $\mu _{k}$. Это означает, что

$vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {trace} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)$

что доказывает уравнение $\left(8\right)$ и уравнение $\left(11\right)$,

$Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)$

что дает уравнения $(9)$, $(10)$ и $(12)$. $\Box$

Существует аналогия между расширениями ассоциативных схем и расширениями конечных полей . Нас больше всего интересуют случаи, когда расширенные схемы определяются на $n$-я декартова степень $X={\mathcal {F}}^{n}$ из набора ${\mathcal {F}}$ на которой базовая схема ассоциации $\left({\mathcal {F}},K\right)$ определяется. Первая схема ассоциации, определенная на $X={\mathcal {F}}^{n}$ называется $n$-я степень Кронекера $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$ из $\left({\mathcal {F}},K\right)$. Затем расширение определяется в том же наборе. $X={\mathcal {F}}^{n}$ собирая классы $\left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}$. Степень Кронекера соответствует кольцу многочленов $F\left[X\right]$ сначала определено в поле $\mathbb {F}$, а схема расширения соответствует полю расширения, полученному как частное. Примером такой расширенной схемы является схема Хэмминга .

Схемы ассоциаций могут быть объединены, но их объединение приводит к несимметричным схемам ассоциаций , тогда как все обычные коды являются подгруппами в симметричных абелевых схемах .

См. также

• Схема ассоциации

Ссылки

• Бейли, Розмари А. (2004), Схемы ассоциаций: спланированные эксперименты, алгебра и комбинаторика , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 84, Издательство Кембриджского университета, стр. 84. 387, ISBN  978-0-521-82446-0 , МР   2047311
• Баннаи, Эйичи; Ито, Тацуро (1984), Алгебраическая комбинаторика I: Схемы ассоциаций , Менло-Парк, Калифорния: The Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., стр. xxiv+425, ISBN  0-8053-0490-8 , МР   0882540
• Баннаи, Эцуко (2001), «Алгебры Бозе – Меснера, связанные с моделями спина с четырьмя весами», Graphs and Combinatorics , 17 (4): 589–598, doi : 10.1007/PL00007251 , S2CID   41255028
• Бозе, Р.К .; Меснер, Д.М. (1959), «О линейных ассоциативных алгебрах, соответствующих схемам ассоциации частично сбалансированных планов» , Annals of Mathematical Статистика , 30 (1): 21–38, doi : 10.1214/aoms/1177706356 , JSTOR   2237117 , MR   0102157
• Кэмерон, Пи Джей; ван Линт, Дж. Х. (1991), Проекты, графики, коды и их связи , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN  0-521-42385-6
• Камион, П. (1998), «Коды и схемы ассоциации: основные свойства схем ассоциации, имеющие отношение к кодированию», в Плесс, В.С .; Хаффман, У.К. (ред.), Справочник по теории кодирования , Нидерланды: Elsevier.
• Дельсарт, П.; Левенштейн, В.И. (1998), «Схемы ассоциации и теория кодирования», IEEE Transactions on Information Theory , 44 (6): 2477–2504, doi : 10.1109/18.720545
• МакВильямс, Ф.Дж.; Слоан, Нью-Джерси (1978), Теория кодов, исправляющих ошибки , Нью-Йорк: Elsevier.
• Номура, К. (1997), «Алгебра, связанная со спиновой моделью», Журнал алгебраической комбинаторики , 6 (1): 53–58, doi : 10.1023/A:1008644201287