Центральная композитная конструкция

В статистике центральный составной план — это экспериментальный план, полезный в методологии поверхности отклика для построения модели второго порядка (квадратичной) для переменной отклика без необходимости использования полного трехуровневого факторного эксперимента .

После проведения запланированного эксперимента линейная регрессия для получения результатов используется , иногда итеративно. При построении этого проекта часто используются кодированные переменные.

Выполнение

Проект состоит из трех отдельных наборов экспериментальных запусков:

1. Факторный ; (возможно, дробный ) план изучаемых факторов, каждый из которых имеет два уровня
2. Набор центральных точек — экспериментальные серии, значения каждого фактора которых являются медианами значений, используемых в факториальной части. Этот момент часто повторяют, чтобы повысить точность эксперимента;
3. Набор осевых точек , экспериментальные прогоны идентичны центральным точкам, за исключением одного фактора, который будет принимать значения как ниже, так и выше медианы двух факториальных уровней, и обычно оба вне их диапазона. Таким образом, все факторы варьируются.

Матрица проектирования

Матрица планирования для центрального эксперимента по составному планированию, включающего k факторов, получается из матрицы d , содержащей следующие три различные части, соответствующие трем типам экспериментальных запусков:

1. Матрица F получена в результате факторного эксперимента. Уровни фактора масштабируются так, что его записи кодируются как +1 и -1.
2. Матрица C из центральных точек, обозначенная в кодированных переменных как (0,0,0,...,0), где имеется k нулей.
3. Матрица E из осевых точек, состоящая из 2 k строк. Каждый фактор последовательно помещается в ±α, а все остальные факторы — в ноль. Значение α определяется проектировщиком; хотя некоторые значения произвольны, они могут придать конструкции желаемые свойства. Эта часть будет выглядеть так:

$\mathbf {E} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{-\alpha }&0&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&\alpha &0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\0&{-\alpha }&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\\vdots &{}&{}&{}&{}&{}&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &\alpha \\0&0&0&0&\cdots &\cdots &{-\alpha }\\\end{bmatrix}}.$

Тогда d — вертикальная конкатенация:

$\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}\mathbf {F} \\\mathbf {C} \\\mathbf {E} \end{bmatrix}}.$

Матрица планирования X, используемая в линейной регрессии, представляет собой горизонтальную конкатенацию столбца 1s (перехват), d и всех поэлементных произведений пары столбцов d :

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {1} &\mathbf {d} &\mathbf {d} (1)\times \mathbf {d} (2)&\mathbf {d} (1)\times \mathbf {d} (3)&\cdots &\mathbf {d} (k-1)\times \mathbf {d} (k)&\mathbf {d} (1)^{2}&\mathbf {d} (2)^{2}&\cdots &\mathbf {d} (k)^{2}\end{bmatrix}},$

где d ( i ) представляет i- й столбец в d .

Выбор α

Существует много различных методов выбора полезного значения α. Пусть F — количество точек, полученных в результате факторного плана, а T = 2 k + n — количество дополнительных точек, где n — количество центральных точек в плане. Общие ценности следующие (Myers, 1971):

1. Ортогональный дизайн: : $\alpha =(Q\times F/4)^{1/4}\,\!$, где $Q=({\sqrt {F+T}}-{\sqrt {F}})^{2}$;
2. Поворотная конструкция : α = F ^1/4 (проект, реализованный ) MATLAB функцией ccdesign .

Применение центральных композитных конструкций для оптимизации

Статистические подходы, такие как методология поверхности отклика, могут использоваться для максимизации производства специального вещества за счет оптимизации эксплуатационных факторов. В отличие от традиционных методов, взаимодействие между переменными процесса можно определить статистическими методами. Например, в исследовании была использована центральная композитная конструкция для изучения влияния критических параметров предварительной обработки органосольвентной соломы, включая температуру, время и концентрацию этанола. Остаточное твердое вещество, извлечение лигнина и выход водорода были выбраны в качестве переменных отклика.

Ссылки

Майерс, Рэймонд Х. Методология поверхности отклика . Бостон: Allyn and Bacon, Inc., 1971.