Методология поверхности реагирования

Спланированные эксперименты с полным факторным планом (слева), поверхность отклика с полиномом второй степени (справа)

В статистике методология поверхности отклика ( RSM ) исследует взаимосвязи между несколькими объясняющими переменными и одной или несколькими переменными отклика . RSM — это эмпирическая модель, в которой используются математические и статистические методы для связи входных переменных, также известных как факторы, с ответом. RSM стал очень полезным из-за того, что другие доступные методы, такие как теоретическая модель, могли быть очень громоздкими в использовании, отнимающими много времени, неэффективными, подверженными ошибкам и ненадежными. Этот метод был представлен Джорджем Э.П. Боксом и К.Б. Уилсоном в 1951 году. Основная идея RSM заключается в использовании последовательности запланированных экспериментов для получения оптимального ответа. Бокс и Уилсон предлагают использовать модель второй степени полиномиальную для этого . Они признают, что эта модель является лишь приближением, но используют ее, потому что такую ​​модель легко оценить и применить, даже если о процессе мало что известно.

Статистические подходы, такие как RSM, можно использовать для максимизации производства специального вещества за счет оптимизации эксплуатационных факторов. RSM с ​​использованием правильного планирования экспериментов ( DoE ). В последнее время для оптимизации формулировок стал широко использоваться В отличие от традиционных методов, взаимодействие между переменными процесса можно определить статистическими методами.

Базовый подход методологии поверхности отклика

Простой способ оценить полиномиальную модель первой степени — использовать факторный эксперимент или дробный факторный план . Этого достаточно, чтобы определить, какие объясняющие переменные влияют на интересующую(ые) переменную(и) отклика. Если есть подозрение, что остались только значимые объясняющие переменные, то можно реализовать более сложный план, такой как центральный составной план, для оценки полиномиальной модели второй степени, которая в лучшем случае все еще является лишь приближением. Однако модель второй степени может использоваться для оптимизации (максимизации, минимизации или достижения конкретной цели) интересующей переменной(-ых) отклика.

Важные свойства и особенности RSM

Ортогональность

Свойство, которое позволяет независимо оценивать отдельные эффекты k-факторов без (или с минимальным) искажений. Также ортогональность обеспечивает минимальные оценки дисперсии коэффициента модели, так что они не коррелируют.

Вращаемость

Свойство вращения точек конструкции вокруг центра факторного пространства. Моменты распределения расчетных точек постоянны.

Единообразие

Третьим свойством конструкций ПЗС, используемым для контроля количества центральных точек, является равномерная точность (или единообразие).

Специальная геометрия

Куб

Кубические конструкции обсуждаются Кифером, Аткинсоном, Доневым и Тобиасом, а также Хардином и Слоаном.

Сфера

Сферические конструкции обсуждаются Кифером, Хардином и Слоаном.

Симплексная геометрия и эксперименты по смесям

Эксперименты со смесями обсуждаются во многих книгах по планированию экспериментов , а также в учебниках по методологии поверхности отклика Бокса и Дрейпера, а также Аткинсона, Донева и Тобиаса. Подробное обсуждение и обзор можно найти в продвинутом учебнике Джона Корнелла.

Расширения

Множественные целевые функции

См. Также: Многокритериальная оптимизация и эффективность Парето.

Некоторые расширения методологии поверхности ответа касаются проблемы множественных ответов. Множественные переменные ответа создают трудности, поскольку то, что оптимально для одного ответа, может быть неоптимальным для других ответов. Другие расширения используются для уменьшения изменчивости одного ответа при нацеливании на определенное значение или достижении почти максимума или минимума, одновременно предотвращая слишком большую изменчивость этого ответа.

Практические проблемы

В методологии поверхности отклика используются статистические модели, и поэтому специалисты-практики должны осознавать, что даже самая лучшая статистическая модель является приближением к реальности. На практике и модели, и значения параметров неизвестны и подвержены неопределенности в дополнение к незнанию. Конечно, предполагаемая оптимальная точка не обязательно должна быть оптимальной в действительности из-за ошибок оценок и неадекватности модели.

Тем не менее, методология поверхности отклика эффективно помогает исследователям улучшать продукты и услуги: например, оригинальное моделирование поверхности отклика Бокса позволило инженерам-химикам улучшить процесс, который годами застревал в седловой точке. Инженеры не могли себе позволить использовать кубическую трехуровневую конструкцию для оценки квадратичной модели, и их смещенные линейные модели оценивали градиент равным нулю. Конструкция Бокса снизила затраты на эксперименты, так что можно было подобрать квадратичную модель, что привело к (давно искомому) направлению восхождения.

См. также

• Дизайн коробки – Бенкена
• Центральная композитная конструкция
• Градиентный кригинг (GEK)
• Метод IOSO , основанный на методологии поверхности отклика
• Оптимальные конструкции
• Дизайн Плакетта-Бермана
• Полиномиальное и рациональное функциональное моделирование
• Полиномиальная регрессия
• Вероятностный дизайн
• Суррогатная модель
• Байесовская оптимизация

Ссылки

• Коробка, ГЭП; Уилсон, КБ (1951). «Об экспериментальном достижении оптимальных условий». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 13 (1): 1–45. дои : 10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x .
• Бокс, GEP и Дрейпер, Норман. 2007. Поверхности отклика, смеси и анализ гребней , второе издание [ построения эмпирических моделей и поверхностей отклика , 1987], Wiley.
• Аткинсон, AC; Донев А.Н.; Тобиас, Р.Д. (2007). Оптимальные экспериментальные планы с использованием SAS . Издательство Оксфордского университета. стр. 511+xvi. ISBN  978-0-19-929660-6 .
• Корнелл, Джон (2002). Эксперименты со смесями: конструкции, модели и анализ данных о смесях (третье изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-07916-3 .

• Гус, Питер] (2002). Оптимальный план экспериментов с блокированными и разделенными графиками . Конспект лекций по статистике . Том. 164. Спрингер. ISBN  978-0-387-95515-5 . {{cite book}}: Внешняя ссылка в |series= ( помощь )
• Кифер, Джек Карл (1985). Л. Д. Браун ; и др. (ред.). Джек Карл Кифер Сборник статей III План экспериментов . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-96004-3 .
• Пукельсхайм, Фридрих (2006). Оптимальный план экспериментов . СИАМ . ISBN  978-0-89871-604-7 .
• Хардин, Р.Х.; Слоан, Нью-Джерси (1993). «Новый подход к построению оптимальных проектов» (PDF) . Журнал статистического планирования и выводов . 37 (3): 339–369. дои : 10.1016/0378-3758(93)90112-J .
• Хардин, Р.Х.; Слоан, NJA «Сгенерированные компьютером конструкции поверхностей с минимальным (и более крупным) откликом: (I) Сфера» (PDF) .
• Хардин, Р.Х.; Слоан, NJA «Сгенерированные компьютером конструкции поверхностей с минимальным (и более крупным) откликом: (II) Куб» (PDF) .
• Гош, С.; Рао, ЧР , ред. (1996). Планирование и анализ экспериментов . Справочник по статистике. Том. 13. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82061-7 .
  • Дрейпер, Норман; Лин, Деннис К.Дж. (1996). «11 конструкций поверхностей реагирования» . Конструкции поверхности отклика . Справочник по статистике. Том. 13. С. 343–375. дои : 10.1016/S0169-7161(96)13013-3 . ISBN  9780444820617 .
  • Гаффке, Норберт; Хейлигерс, Бертольд (1996). «30 Приблизительных планов полиномиальной регрессии: инвариантность, допустимость и оптимальность» . Приближенные планы полиномиальной регрессии: инвариантность, допустимость и оптимальность . Справочник по статистике. Том. 13. С. 1149–99. дои : 10.1016/S0169-7161(96)13032-7 . ISBN  9780444820617 .

Исторический

• Жергонн, JD (1974) [1815]. «Применение метода наименьших квадратов к интерполяции последовательностей» . История Математики . 1 (4) (Перевод Ральфа Сент-Джона и С.М. Стиглера из французского издания 1815 г.): 439–447. дои : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
• Стиглер, Стивен М. (1974). «Документ Жергонна 1815 года о планировании и анализе экспериментов по полиномиальной регрессии» . История Математики . 1 (4): 431–9. дои : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .

• Пирс, CS (1876 г.). «Записка по теории экономики исследований» (PDF) . Отчет береговой съемки . Приложение № 14: 197–201.
  • Перепечатано в Сборник статей Чарльза Сандерса Пирса . Том. 7. 1958 г., абзацы 139–157,
  • и в Пирс, CS (июль – август 1967 г.). «Записка по теории экономики исследований». Исследование операций . 15 (4): 643–8. дои : 10.1287/опре.15.4.643 . JSTOR   168276 .
• Смит, Кирстин (1918). «О стандартных отклонениях скорректированных и интерполированных значений наблюдаемой полиномиальной функции и ее констант, а также о рекомендациях, которые они дают для правильного выбора распределения наблюдений» . Биометрика . 12 (1/2): 1–85. дои : 10.2307/2331929 . JSTOR   2331929 . {{cite journal}}: Внешняя ссылка в |author= ( помощь )

Внешние ссылки

• Конструкции поверхности отклика