Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Корреляция Спирмена ${\textstyle 1}$ результат, когда две сравниваемые переменные монотонно связаны, даже если их связь не является линейной. Это означает, что все точки данных с большей ${\textstyle x}$ значения, чем у данной точки данных, будут иметь большее ${\textstyle y}$ ценности тоже. Напротив, это не дает идеальной корреляции Пирсона.

Когда данные распределены примерно эллиптически и нет заметных выбросов, корреляция Спирмена и корреляция Пирсона дают схожие значения.

Корреляция Спирмена менее чувствительна, чем корреляция Пирсона, к сильным выбросам, находящимся в хвостах обеих выборок. Спирмена Это связано с тем, что ρ ограничивает выброс значением его ранга.

В статистике — коэффициент ранговой корреляции Спирмена или Спирмена ρ , названный в честь Чарльза Спирмена. и часто обозначается греческой буквой $\rho$ (ро) или как $r_{s}$, является непараметрической мерой ранговой корреляции ( статистической зависимости между рейтингами двух переменных ). Он оценивает, насколько хорошо связь между двумя переменными может быть описана с помощью монотонной функции .

Корреляция Спирмена между двумя переменными равна корреляции Пирсона между ранговыми значениями этих двух переменных; в то время как корреляция Пирсона оценивает линейные отношения, корреляция Спирмена оценивает монотонные отношения (линейные или нет). Если нет повторяющихся значений данных, идеальная корреляция Спирмена +1 или -1 возникает, когда каждая из переменных является идеальной монотонной функцией другой.

Интуитивно понятно, что корреляция Спирмена между двумя переменными будет высокой, когда наблюдения имеют одинаковый (или идентичный для корреляции 1) ранг (т. е. метку относительного положения наблюдений внутри переменной: 1-е, 2-е, 3-е и т. д.) между двумя переменные и низкий, когда наблюдения имеют разный (или полностью противоположный при корреляции -1) ранг между двумя переменными.

Коэффициент Спирмена подходит как для непрерывных , так и для дискретных порядковых переменных . Оба Спирмена $\rho$ и Кендалл $\tau$ могут быть сформулированы как частные случаи более общего коэффициента корреляции .

Приложения

Коэффициент можно использовать для определения того, насколько хорошо данные соответствуют модели. или для определения сходства текстовых документов.

Определение и расчет

Коэффициент корреляции Спирмена определяется как коэффициент корреляции Пирсона между ранговыми переменными .

Для образца размером $\ n\ ,$ тот $\ n\$ пары необработанных оценок $\ \left(X_{i},Y_{i}\right)\$ конвертируются в ранги $\ \operatorname {R} [{X_{i}}],\operatorname {R} [{Y_{i}}]\ ,$ и $\ r_{s}\$ вычисляется как

$r_{s}=\operatorname {\rho } {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}={\frac {\ \operatorname {\mathsf {cov}} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\ }{\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\ }},$

где

$\operatorname {\rho } \$ обозначает обычный оператор коэффициента корреляции Пирсона , но применяется к переменным ранга,

$\operatorname {\mathsf {cov}} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X],\operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}\$ - ковариация ранговых переменных,

$\sigma _{\operatorname {R} [X]}\$ и $\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}\$ являются стандартными отклонениями ранговых переменных.

Только когда все $\ n\$ ранги представляют собой различные целые числа (без связей), их можно вычислить по популярной формуле

$r_{s}=1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{\ n\left(n^{2}-1\right)\ }}\ ,$

где

$d_{i}\equiv \operatorname {R} [X_{i}]-\operatorname {R} [Y_{i}]\$ - это разница между двумя рангами каждого наблюдения,

$\ n\$ это количество наблюдений.

показывать

[Доказательство]

Consider a bivariate sample $\ (X_{i},Y_{i})\ ,\ i=1,\ldots \ n\$ with corresponding rank pairs $\ \left(\operatorname {R} [X_{i}],\operatorname {R} [Y_{i}]\right)=(R_{i},S_{i})~.$ Then the Spearman correlation coefficient of $\ (X,Y)\$ is

$r_{s}={\frac {{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}\ S_{i}-{\overline {R}}\ {\overline {S}}}{\sigma _{R}\sigma _{S}}}\ ,$

where, as usual,

${\overline {R}}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}\ ,$

${\overline {S}}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}\ ,$

$\sigma _{R}^{2}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(R_{i}-{\overline {R}}\right)^{2}\ ,$

and

$\sigma _{S}^{2}=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(S_{i}-{\overline {S}}\right)^{2}~.$

We shall show that $\ r_{s}\$ can be expressed purely in terms of $\ d_{i}\equiv R_{i}-S_{i}\ ,$ provided we assume that there be no ties within each sample.

Under this assumption, we have that $\ R,S\$ can be viewed as random variables distributed like a uniformly distributed discrete random variable, $\ U\ ,$ on $\ \{\ 1,2,\ \ldots ,\ n\ \}~.$ Hence $\ {\overline {R}}={\overline {S}}=\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]\$ and $\ \sigma _{R}^{2}=\sigma _{S}^{2}=\operatorname {\mathsf {Var}} \left[\ U\ \right]=\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U^{2}\ \right]-\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]^{2}\ ,$ where

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U\ \right]=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}i=\textstyle {\frac {\ n+1\ }{2}}\ ,$

$\operatorname {\mathbb {E} } \left[\ U^{2}\ \right]=\textstyle {\frac {\ 1\ }{n}}\ \textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=\textstyle {\frac {\ \left(n+1\right)\left(2n+1\right)\ }{6}}\ ,$

and thus

$\operatorname {\mathsf {var}} \left[\ U\right]=\textstyle {\frac {\ \left(n+1\right)\ \left(2n+1\right)\ }{6}}-\left(\textstyle {\frac {\ n+1\ }{2}}\right)^{2}=\textstyle {\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}~.$

(These sums can be computed using the formulas for the triangular numbers and square pyramidal numbers, or basic summation results from umbral calculus.)

Observe now that

${\begin{aligned}{\frac {\ 1\ }{n}}\ &\sum _{i=1}^{n}R_{i}S_{i}-{\overline {R}}{\overline {S}}\\&={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ 1\ }{2}}\left(R_{i}^{2}+S_{i}^{2}-d_{i}^{2}\right)-{\overline {R}}^{2}\\&={\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}+{\frac {\ 1\ }{2}}{\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\\&=\left({\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}R_{i}^{2}-{\overline {R}}^{2}\right)-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}^{2}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\&=\sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\\end{aligned}}$

Putting this all together thus yields

${\begin{aligned}r_{s}&={\frac {\ \sigma _{R}\ \sigma _{S}-{\frac {\ 1\ }{2n}}\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{\sigma _{R}\ \sigma _{S}}}\\&=1-{\frac {\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\ }{2n\cdot {\frac {\ n^{2}-1\ }{12}}}}\\&=1-{\frac {\ 6\ \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{\ n(n^{2}-1)\ }}~.\end{aligned}}$

Обычно одинаковые значения каждому присвоены дробные ранги, равные среднему значению их позиций в порядке возрастания значений, что эквивалентно усреднению по всем возможным перестановкам.

Если в наборе данных присутствуют связи, приведенная выше упрощенная формула дает неверные результаты: только если в обеих переменных все ранги различны, тогда $\ \sigma _{\operatorname {R} [X]}\ \sigma _{\operatorname {R} [Y]}=$$\ \operatorname {{\mathsf {v}}ar} {\bigl [}\ \operatorname {R} [X]\ {\bigr ]}=$$\ \operatorname {{\mathsf {v}}ar} {\bigl [}\ \operatorname {R} [Y]\ {\bigr ]}=$$\ {\tfrac {\ 1\ }{12}}\left(n^{2}-1\right)\$ (рассчитано по смещенной дисперсии). Первое уравнение — нормализация по стандартному отклонению — может использоваться даже тогда, когда ранги нормализованы до [0, 1] («относительные ранги»), поскольку оно нечувствительно ни к сдвигу, ни к линейному масштабированию.

Упрощенный метод также не следует использовать в случаях, когда набор данных усечен; то есть, когда коэффициент корреляции Спирмена требуется для X верхних записей (будь то по рангу до изменения или по рангу после изменения, или по обоим), пользователь должен использовать формулу коэффициента корреляции Пирсона, приведенную выше.

Сопутствующие количества

Основная статья: Корреляция и зависимость

Есть несколько других числовых показателей, которые количественно определяют степень статистической зависимости между парами наблюдений. Наиболее распространенным из них является коэффициент корреляции момента произведения Пирсона , который представляет собой метод корреляции, аналогичный методу ранга Спирмена, который измеряет «линейные» отношения между необработанными числами, а не между их рангами.

Альтернативное название ранговой корреляции Спирмена — «корреляция оценок»; при этом «ранг» наблюдения заменяется «оценкой». В непрерывных распределениях уровень наблюдения, по соглашению, всегда на половину меньше ранга, и, следовательно, уровень и ранговые корреляции в этом случае одинаковы. В более общем смысле, «оценка» наблюдения пропорциональна оценке доли популяции, меньшей заданного значения, с поправкой половины наблюдения на наблюдаемые значения. Таким образом, это соответствует одной из возможных трактовок связанных рангов. Несмотря на необычность термина «корреляция оценок», он все еще используется.

Интерпретация

Положительные и отрицательные ранговые корреляции Спирмена

соответствует возрастающей монотонной тенденции между X и Y. Положительный коэффициент корреляции Спирмена

Отрицательный коэффициент корреляции Спирмена соответствует монотонной тенденции к уменьшению X и Y. между

Знак корреляции Спирмена указывает направление связи между X (независимой переменной) и Y (зависимой переменной). Если Y имеет тенденцию увеличиваться с увеличением X , коэффициент корреляции Спирмена положителен. Если Y имеет тенденцию уменьшаться при увеличении X , коэффициент корреляции Спирмена отрицательный. Нулевая корреляция Спирмена указывает на то, что Y не имеет тенденции к увеличению или уменьшению при X. увеличении Корреляция Спирмена увеличивается по величине по мере того, как X и Y становятся почти монотонными функциями друг друга. Когда X и Y связаны совершенно монотонно, коэффициент корреляции Спирмена становится равным 1. Совершенно монотонная возрастающая связь подразумевает, что для любых двух пар значений данных X _i , Y _i и X _j , Y _j , что X _i − X _j и Y _i − Y _j всегда имеют один и тот же знак. Совершенно монотонная убывающая зависимость предполагает, что эти различия всегда имеют противоположные знаки.

Коэффициент корреляции Спирмена часто называют «непараметрическим». Это может иметь два значения. Во-первых, идеальная корреляция Спирмена возникает, когда X и Y связаны какой-либо монотонной функцией . Сравните это с корреляцией Пирсона, которая дает идеальное значение только тогда, когда X и Y связаны линейной функцией. Другой смысл, в котором корреляция Спирмена является непараметрической, заключается в том, что ее точное выборочное распределение может быть получено без необходимости знания (т. е. знания параметров) совместного распределения вероятностей X и Y .

Пример

В этом примере произвольные необработанные данные из таблицы ниже используются для расчета корреляции между IQ человека и количеством часов, проведенных перед телевизором в неделю [использованы вымышленные значения].

IQ , $X_{i}$	Часов телевидения в неделю, $Y_{i}$
106	7
100	27
86	2
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Во-первых, оцените $d_{i}^{2}$. Для этого выполните следующие действия, отраженные в таблице ниже.

1. Отсортируйте данные по первому столбцу ( $X_{i}$). Создать новый столбец $x_{i}$ и присвойте ему ранжированные значения 1, 2, 3, ..., n .
2. Далее отсортируйте дополненные (с $x_{i}$) данные по второму столбцу ( $Y_{i}$). Создайте четвертый столбец $y_{i}$ и аналогичным образом присвойте ему ранжированные значения 1, 2, 3, ..., n .
3. Создать пятую колонну $d_{i}$ для хранения различий между двумя столбцами рангов ( $x_{i}$ и $y_{i}$).
4. Создайте один последний столбец $d_{i}^{2}$ хранить значение столбца $d_{i}$ в квадрате.

IQ , $X_{i}$	Часов телевидения в неделю, $Y_{i}$	классифицировать $x_{i}$	классифицировать $y_{i}$	$d_{i}$	$d_{i}^{2}$
86	2	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

С $d_{i}^{2}$ нашли, добавьте их, чтобы найти $\sum d_{i}^{2}=194$. Значение n равно 10. Теперь эти значения можно подставить обратно в уравнение

$\rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}$

дать

$\rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},$

который оценивается как ρ = -29/165 = -0,175757575... со p значением = 0,627188 (с использованием t -распределения ).

График представленных данных. Видно, что может быть отрицательная корреляция, но взаимосвязь не является окончательной.

То, что значение близко к нулю, показывает, что корреляция между IQ и часами, проведенными за просмотром телевизора, очень низкая, хотя отрицательное значение предполагает, что чем дольше время, проведенное за просмотром телевизора, тем ниже IQ. В случае связи исходных значений эту формулу использовать не следует; вместо этого на основе рангов следует рассчитывать коэффициент корреляции Пирсона (где связям присваиваются ранги, как описано выше).

Доверительные интервалы

Спирмена Доверительные интервалы для ρ можно легко получить, используя подход евклидова правдоподобия Джекнайфа в de Carvalho and Marques (2012). Доверительный интервал с уровнем $\alpha$ основано на теореме Уилкса, приведенной в последней статье, и имеет вид

$\left\{\theta :{\frac {\{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )\}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(Z_{i}-\theta )^{2}}}\leq \chi _{1,\alpha }^{2}\right\},$

где $\chi _{1,\alpha }^{2}$ это $\alpha$ квантиль распределения хи-квадрат с одной степенью свободы, а $Z_{i}$ являются псевдозначениями складного ножа. Этот подход реализован в пакете R spearmanCI .

Определение значимости

Один из подходов к проверке того, значительно ли наблюдаемое значение ρ отличается от нуля ( r всегда будет поддерживать −1 ≤ r ≤ 1 ), заключается в вычислении вероятности того, что оно будет больше или равно наблюдаемому r , учитывая нулевую гипотезу : с помощью теста перестановки . Преимущество этого подхода заключается в том, что он автоматически учитывает количество связанных значений данных в выборке и способ их обработки при вычислении ранговой корреляции.

Другой подход аналогичен использованию преобразования Фишера в случае коэффициента корреляции произведения-момента Пирсона. То есть доверительные интервалы и проверка гипотез, касающихся значения совокупности ρ, могут быть выполнены с использованием преобразования Фишера:

$F(r)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}=\operatorname {arctanh} r.$

Если F ( r ) преобразование Фишера r , выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, а n размер выборки, затем

$z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)$

— это z -показатель для r , который приблизительно соответствует стандартному нормальному распределению при нулевой гипотезе статистической независимости ( ρ = 0 ).

Можно также проверить значимость, используя

$t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}},$

которое распределяется примерно как Стьюдента t -распределение с n − 2 степенями свободы при нулевой гипотезе . Обоснование этого результата основано на аргументе перестановки.

Обобщение коэффициента Спирмена полезно в ситуации, когда имеется три или более условий, в каждом из них наблюдается несколько субъектов и прогнозируется, что наблюдения будут иметь определенный порядок. Например, каждому из нескольких испытуемых можно дать по три попытки выполнить одно и то же задание, и прогнозируется, что производительность будет улучшаться от попытки к попытке. Тест значимости тенденции между условиями в этой ситуации был разработан Э.Б. Пейджем. и обычно его называют тестом тенденции Пейджа для упорядоченных альтернатив.

Спирмена Анализ соответствия на основе ρ

Классический анализ соответствия — это статистический метод, который присваивает оценку каждому значению двух номинальных переменных. Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона между ними максимизируется.

Существует эквивалент этого метода, называемый анализом соответствия оценок Спирмена , который максимизирует ρ или τ Кендалла .

Спирмена Аппроксимация ρ из потока

Существует два существующих подхода к аппроксимации коэффициента ранговой корреляции Спирмена на основе потоковых данных. Первый подход предполагает огрубление совместного распределения $(X,Y)$. Для непрерывного $X,Y$ ценности: $m_{1},m_{2}$ точки отсечения выбираются для $X$ и $Y$ соответственно, дискретизация эти случайные величины. Точки обрезки по умолчанию добавляются в $-\infty$ и $\infty$. Матрица счета размера $(m_{1}+1)\times (m_{2}+1)$, обозначенный $M$, затем строится где $M[i,j]$ хранит количество наблюдений, которые попадают в двумерную ячейку с индексом $(i,j)$. Для потоковой передачи данных при поступлении нового наблюдения соответствующий $M[i,j]$ элемент увеличивается. Звание Копейщика затем можно вычислить корреляцию на основе матрицы подсчета $M$, используя операции линейной алгебры (алгоритм 2 ). Обратите внимание, что для дискретного случайного переменных, процедура дискретизации не требуется. Этот метод применим как к стационарным потоковым данным, так и к большим наборам данных. Для нестационарных потоковых данных, где коэффициент ранговой корреляции Спирмена может меняться со временем, можно применить ту же процедуру, но к скользящему окну наблюдений. При использовании движущегося окна требования к памяти растут линейно с выбранным размером окна.

Второй подход к аппроксимации коэффициента ранговой корреляции Спирмена на основе потоковых данных включает использование оценок на основе рядов Эрмита. Эти оценки, основанные на полиномах Эрмита , позволяют последовательно оценивать функцию плотности вероятности и кумулятивную функцию распределения в одномерных и двумерных случаях. Плотность двумерного ряда Эрмита оценщики и оценщики кумулятивной функции распределения на основе одномерных рядов Эрмита подключаются к большой выборочной версии Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена, чтобы получить последовательную оценку корреляции Спирмена. Эта оценка сформулирована в термины операций линейной алгебры для повышения эффективности вычислений (уравнение (8) и алгоритмы 1 и 2 ). Эти алгоритмы применимы только к непрерывным данным случайных величин, но имеют определенные преимущества перед матричным подходом в этой ситуации. Первым преимуществом является повышение точности при применении к большому количеству наблюдений. Второе преимущество состоит в том, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена может быть вычисляется на нестационарных потоках без использования движущегося окна. Вместо этого оценщик на основе рядов Эрмита использует экспоненциальную схему взвешивания для отслеживания изменяющейся во времени ранговой корреляции Спирмена на основе потоковых данных. который имеет постоянные требования к памяти относительно «эффективного» размера движущегося окна. Существует программная реализация этих алгоритмов на основе серии Эрмита. и обсуждается в разделе «Реализации программного обеспечения».

Реализации программного обеспечения

• тест Базовый пакет статистики R реализует cor.test(x, y, method = "spearman") в пакете "stats" (также cor(x, y, method = "spearman") будет работать. Пакет spearmanCI вычисляет доверительные интервалы. Пакет отшельник вычисляет быстрые пакетные оценки корреляции Спирмена наряду с последовательными оценками (т.е. оценки, которые обновляются в режиме онлайн/инкрементно по мере включения новых наблюдений).
• Реализация Статы : spearman varlist вычисляет все коэффициенты парной корреляции для всех переменных в varlist .
• MATLAB : Реализация [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman') где r – коэффициент ранговой корреляции Спирмена, p - значение p, и x и y являются векторами.
• В Python имеется множество различных реализаций статистики корреляции Спирмена: ее можно вычислить с помощью Спирмана функции scipy.stats модулем, а также с DataFrame.corr(method='spearman') метод из библиотеки pandas и метод corr(x, y, method='spearman') функция из статистического пакета pingouin .

См. также

• Коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тау
• Неравенство суммы Чебышева , неравенство перестановки Спирмена (Эти две статьи могут пролить свет на математические свойства ρ .)
• Корреляция расстояний
• Полихорическая корреляция

Дальнейшее чтение

• Кордер, Г.В. и Форман, Д.И. (2014). Непараметрическая статистика: пошаговый подход, Wiley. ISBN   978-1118840313 .
• Дэниел, Уэйн В. (1990). «Коэффициент ранговой корреляции Спирмена» . Прикладная непараметрическая статистика (2-е изд.). Бостон: PWS-Кент. стр. 358–365. ISBN  978-0-534-91976-4 .
• Спирмен К. (1904). «Доказательство и измерение связи между двумя вещами» . Американский журнал психологии . 15 (1): 72–101. дои : 10.2307/1412159 . JSTOR   1412159 .
• Бонетт Д.Г., Райт, Т.А. (2000). «Требования к размеру выборки для корреляций Пирсона, Кендалла и Спирмена». Психометрика . 65 : 23–28. дои : 10.1007/bf02294183 . S2CID   120558581 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Кендалл МГ (1970). Методы ранговой корреляции (4-е изд.). Лондон: Гриффин. ISBN  978-0-852-6419-96 . OCLC   136868 .
• Холландер М., Вулф Д.А. (1973). Непараметрические статистические методы . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-40635-8 . OCLC   520735 .
• Карузо Дж. К., Клифф Н. (1997). «Эмпирический размер, охват и сила доверительных интервалов для Ро Спирмена». Образовательные и психологические измерения . 57 (4): 637–654. дои : 10.1177/0013164497057004009 . S2CID   120481551 .

Внешние ссылки

• Таблица критических значений ρ для значимости при небольших выборках
• Коэффициент ранговой корреляции Спирмена — Руководство по Excel : примеры данных и формулы для Excel, разработанные Королевским географическим обществом .