Основное количество

В статистике основная величина или ведущая точка функции — это функция наблюдений и ненаблюдаемых параметров, при которой распределение вероятностей не зависит от неизвестных параметров (включая мешающие параметры ). ^[1]Сводная точка не обязательно должна быть статистикой — функция и ее «значение» могут зависеть от параметров модели, но ее «распределение» — нет. Если это статистика, то она называется « вспомогательной статистикой ».

Более формально, ^[2] позволять $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ быть случайной выборкой из распределения, которое зависит от параметра (или вектора параметров) $\theta$ . Позволять $g(X,\theta )$ — случайная величина, распределение которой одинаково для всех $\theta$ . Затем $g$ называется «основной величиной» (или просто «опорной точкой»).

Основные величины обычно используются для нормализации , чтобы можно было сравнивать данные из разных наборов данных. Относительно легко построить опорные точки для параметров местоположения и масштаба: для первых мы формируем разности так, чтобы местоположение сокращалось, для вторых - соотношения, чтобы сокращался масштаб.

Основные величины имеют основополагающее значение для построения тестовой статистики , поскольку они позволяют статистике не зависеть от параметров — например, t-статистика Стьюдента предназначена для нормального распределения с неизвестной дисперсией (и средним значением). Они также предоставляют один из методов построения доверительных интервалов , а использование основных величин повышает производительность бутстрапа . В форме вспомогательной статистики их можно использовать для построения частотных интервалов прогнозирования (прогностических доверительных интервалов).

Примеры [ править ]

Нормальное распределение [ править ]

Одной из простейших ключевых величин является z-оценка . Учитывая нормальное распределение со средним $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ и наблюдение «x», z-показатель:

z={\frac {x-\mu }{\sigma }},

имеет распространение $N(0,1)$ – нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией 1. Аналогично, поскольку среднее выборочное для n-выборок имеет выборочное распределение $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$ , z-оценка среднего значения

z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

также есть распространение $N(0,1).$ Обратите внимание, что хотя эти функции зависят от параметров – и, следовательно, их можно вычислить только в том случае, если параметры известны (они не являются статистикой), – распределение не зависит от параметров.

Данный $n$ независимые, одинаково распределенные (iid) наблюдения $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ из нормального распределения с неизвестным средним значением $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ , основная величина может быть получена из функции:

g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s/{\sqrt {n}}}}

где

{\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}

и

s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}

представляют собой несмещенные оценки $\mu$ и $\sigma ^{2}$ , соответственно. Функция $g(x,X)$ это t-статистика Стьюдента для нового значения $x$ , который должен быть взят из той же совокупности, что и уже наблюдаемый набор значений $X$ .

С использованием $x=\mu$ функция $g(\mu ,X)$ становится ключевой величиной, которая также распределяется t-распределением Стьюдента с $\nu =n-1$ степени свободы. По требованию, хотя $\mu$ появляется как аргумент функции $g$ , распределение $g(\mu ,X)$ не зависит от параметров $\mu$ или $\sigma$ нормального распределения вероятностей, которое управляет наблюдениями $X_{1},\ldots ,X_{n}$ .

Это можно использовать для вычисления интервала прогнозирования для следующего наблюдения. $X_{n+1};$ см. Интервал прогнозирования: нормальное распределение .

нормальное распределение Двумерное

В более сложных случаях построить точные повороты невозможно. Однако наличие приблизительных поворотов улучшает сходимость к асимптотической нормальности .

Предположим, что выборка размером $n$ векторов $(X_{i},Y_{i})'$ берется из двумерного нормального распределения с неизвестной корреляцией $\rho$ .

Оценщик $\rho$ - выборочная (Пирсоновская, моментная) корреляция

r={\frac {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{s_{X}s_{Y}}}

где $s_{X}^{2},s_{Y}^{2}$ представляют собой отклонения выборочные $X$ и $Y$ . Пример статистики $r$ имеет асимптотически нормальное распределение:

{\sqrt {n}}{\frac {r-\rho }{1-\rho ^{2}}}\Rightarrow N(0,1)

.

Однако преобразование, стабилизирующее дисперсию

z={\rm {{tanh}^{-1}r={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}}}

известное как Z-преобразование Фишера коэффициента корреляции, позволяет создать распределение $z$ асимптотически независимая от неизвестных параметров:

{\sqrt {n}}(z-\zeta )\Rightarrow N(0,1)

где $\zeta ={\rm {tanh}}^{-1}\rho$ – соответствующий параметр распределения. Для конечных размеров выборок $n$ , случайная величина $z$ будет иметь распределение ближе к нормальному, чем у $r$ . Еще более близкое приближение к стандартному нормальному распределению получается при использовании лучшего приближения для точной дисперсии: обычная форма имеет вид

\operatorname {Var} (z)\approx {\frac {1}{n-3}}

.

Прочность [ править ]

С точки зрения робастной статистики , основные величины устойчивы к изменениям параметров (действительно, независимы от параметров), но в целом не устойчивы к изменениям в модели, таким как нарушения предположения о нормальности. Это имеет основополагающее значение для здравой критики ненадежной статистики, часто получаемой на основе ключевых величин: такая статистика может быть устойчивой внутри семейства, но не является надежной за его пределами.

См. также [ править ]

Нормализация (статистика)

Ссылки [ править ]

^ Шао, Дж. (2008). «Основные величины» . Математическая статистика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 471–477. ISBN 978-0-387-21718-5 .
^ ДеГрут, Моррис Х.; Шервиш, Марк Дж. (2011). Вероятность и статистика (4-е изд.). Пирсон. п. 489. ИСБН 978-0-321-70970-7 .

[1] Шао, Дж. (2008). «Основные величины» . Математическая статистика (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 471–477. ISBN 978-0-387-21718-5 .

[2] ДеГрут, Моррис Х.; Шервиш, Марк Дж. (2011). Вероятность и статистика (4-е изд.). Пирсон. п. 489. ИСБН 978-0-321-70970-7 .

[1]

[2]