Основное количество

В статистике основная величина или центральная точка функции — это функция наблюдений и ненаблюдаемых параметров, такая, что распределение вероятностей не зависит от неизвестных параметров (включая мешающие параметры ). Сводная точка не обязательно должна быть статистикой — функция и ее «значение» могут зависеть от параметров модели, но ее «распределение» — нет. Если это статистика, то она называется « вспомогательной статистикой ».

Более формально, позволять $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ быть случайной выборкой из распределения, которое зависит от параметра (или вектора параметров) $\theta$. Позволять $g(X,\theta )$ — случайная величина, распределение которой одинаково для всех $\theta$. Затем $g$ называется «основной величиной» (или просто «опорной точкой»).

Основные величины обычно используются для нормализации , чтобы можно было сравнивать данные из разных наборов данных. Относительно легко построить опорные точки для параметров местоположения и масштаба: для первых мы формируем разности так, чтобы местоположение сокращалось, для вторых - соотношения, чтобы масштаб сокращался.

Ключевые величины имеют основополагающее значение для построения тестовой статистики , поскольку они позволяют статистике не зависеть от параметров — например, t-статистика Стьюдента предназначена для нормального распределения с неизвестной дисперсией (и средним значением). Они также предоставляют один из методов построения доверительных интервалов , а использование основных величин повышает производительность бутстрапа . В форме вспомогательной статистики их можно использовать для построения частотных интервалов прогнозирования (прогностических доверительных интервалов).

Примеры

Нормальное распределение

См. Также: Интервал прогнозирования § Нормальное распределение.

Одной из простейших ключевых величин является z-оценка . Учитывая нормальное распределение со средним $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$и наблюдение «x», z-показатель:

$z={\frac {x-\mu }{\sigma }},$

имеет распространение $N(0,1)$ – нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией 1. Аналогично, поскольку среднее выборочное для n-выборок имеет выборочное распределение $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$, z-оценка среднего значения

$z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

также есть распространение $N(0,1).$ Обратите внимание, что хотя эти функции зависят от параметров – и, следовательно, их можно вычислить только в том случае, если параметры известны (они не являются статистикой), – распределение не зависит от параметров.

Данный $n$ независимые, одинаково распределенные (iid) наблюдения $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ из нормального распределения с неизвестным средним значением $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$, основная величина может быть получена из функции:

$g(x,X)={\frac {x-{\overline {X}}}{s/{\sqrt {n}}}}$

где

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{X_{i}}$

и

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$

представляют собой несмещенные оценки $\mu$ и $\sigma ^{2}$, соответственно. Функция $g(x,X)$ это t-статистика Стьюдента для нового значения $x$, который должен быть взят из той же совокупности, что и уже наблюдаемый набор значений $X$.

С использованием $x=\mu$ функция $g(\mu ,X)$ становится ключевой величиной, которая также распределяется t-распределением Стьюдента с $\nu =n-1$ степени свободы. По требованию, хотя $\mu$ появляется как аргумент функции $g$, распределение $g(\mu ,X)$ не зависит от параметров $\mu$ или $\sigma$ нормального распределения вероятностей, которое управляет наблюдениями $X_{1},\ldots ,X_{n}$.

Это можно использовать для вычисления интервала прогнозирования для следующего наблюдения. $X_{n+1};$ см. Интервал прогнозирования: нормальное распределение .

нормальное

В более сложных случаях построить точные повороты невозможно. Однако наличие приблизительных поворотов улучшает сходимость к асимптотической нормальности .

Предположим, что выборка размером $n$ векторов $(X_{i},Y_{i})'$ берется из двумерного нормального распределения с неизвестной корреляцией $\rho$.

Оценщик $\rho$ - выборочная (Пирсоновская, моментная) корреляция

$r={\frac {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{s_{X}s_{Y}}}$

где $s_{X}^{2},s_{Y}^{2}$ представляют выборочные отклонения собой $X$ и $Y$. Пример статистики $r$ имеет асимптотически нормальное распределение:

${\sqrt {n}}{\frac {r-\rho }{1-\rho ^{2}}}\Rightarrow N(0,1)$.

Однако преобразование, стабилизирующее дисперсию

$z={\rm {{tanh}^{-1}r={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+r}{1-r}}}}$

известное как Z-преобразование Фишера коэффициента корреляции, позволяет создать распределение $z$ асимптотически независимая от неизвестных параметров:

${\sqrt {n}}(z-\zeta )\Rightarrow N(0,1)$

где $\zeta ={\rm {tanh}}^{-1}\rho$ – соответствующий параметр распределения. Для конечных размеров выборок $n$, случайная величина $z$ будет иметь распределение ближе к нормальному, чем у $r$. Еще более близкое приближение к стандартному нормальному распределению получается при использовании лучшего приближения для точной дисперсии: обычная форма имеет вид

$\operatorname {Var} (z)\approx {\frac {1}{n-3}}$.

Прочность

Основная статья: Надежная статистика

С точки зрения робастной статистики , основные величины устойчивы к изменениям параметров (действительно, независимы от параметров), но в целом не устойчивы к изменениям в модели, таким как нарушения предположения о нормальности.Это имеет основополагающее значение для здравой критики ненадежной статистики, часто получаемой на основе ключевых величин: такая статистика может быть устойчивой внутри семейства, но не является надежной за его пределами.

См. также

• Нормализация (статистика)