Асимптотическое распределение

В математике и статистике асимптотическое распределение — это распределение вероятностей , которое в некотором смысле является «предельным» распределением последовательности распределений. Одним из основных применений идеи асимптотического распределения является обеспечение аппроксимации кумулятивных функций распределения статистических оценок .

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательности Z случайных величин i _для i = 1, 2, ..., I . В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z _i сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i : см. сходимость в распределении . Особым случаем асимптотического распределения является случай, когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z _i = 0, когда i приближается к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение представляет собой вырожденное распределение , соответствующее нулевому значению.

Однако наиболее обычный смысл использования термина «асимптотическое распределение» возникает тогда, когда случайные величины Z _i модифицируются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если

$Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}$

сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей { a _i } и { b _i }, то Z _i говорят, что имеет это распределение в качестве асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F , то для больших n справедливы следующие приближения

$P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),$

$P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).$

Если асимптотическое распределение существует, не обязательно верно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Это сходящаяся последовательность вероятностных распределений.

Центральная предельная теорема

Основная статья: Центральная предельная теорема

Возможно, наиболее распространенным распределением, возникающим в виде асимптотического распределения, является нормальное распределение . В частности, центральная предельная теорема дает пример, когда асимптотическое распределение является нормальным распределением .

Центральная предельная теорема

Предполагать $\{X_{1},X_{2},\dots \}$ представляет собой последовательность iid случайных величин с $\mathrm {E} [X_{i}]=\mu$ и $\operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$. Позволять $S_{n}$ быть средним из $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$. Тогда как $n$ приближается к бесконечности, случайные величины ${\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )$ сходятся по распределению к нормальному $N(0,\sigma ^{2})$:

Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. В качестве приближения для конечного числа наблюдений оно обеспечивает разумное приближение только тогда, когда оно близко к пику нормального распределения; чтобы дойти до хвостов, требуется очень большое количество наблюдений.

Локальная асимптотическая нормальность

Основная статья: Локальная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей , которое позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность обычной моделью местоположения после изменения масштаба параметра. Важным примером соблюдения локальной асимптотической нормальности является случай независимой и одинаково распределенной выборки из регулярной параметрической модели ; это всего лишь центральная предельная теорема.

Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности.

См. также

• Асимптотический анализ
• Асимптотическая теория (статистика)
• Теорема Муавра – Лапласа
• Предельная плотность дискретных точек
• Дельта-метод