Параметрическая модель

В статистике параметрическая модель , параметрическое семейство или конечномерная модель — это особый класс статистических моделей . В частности, параметрическая модель — это семейство вероятностных распределений , имеющее конечное число параметров.

Определение

Статистическая модель — это совокупность распределений вероятностей в некотором выборочном пространстве . Мы предполагаем, что коллекция $𝒫$ индексируется некоторым набором $Θ$ . Набор $Θ$ называется набором параметров или, чаще, пространством параметров . Для каждого $θ \in Θ$ пусть $F θ$ обозначает соответствующий член коллекции; поэтому $F θ$ — кумулятивная функция распределения . Тогда статистическую модель можно записать как

{\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

Модель является параметрической, если $Θ \subseteq ℝ. к$ для некоторого положительного целого числа $k$ .

Когда модель состоит из абсолютно непрерывных распределений, она часто задается через соответствующие функции плотности вероятности :

{\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.

Примеры

Семейство распределений Пуассона параметризуется одним числом $λ > 0$ :

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},

где $p λ$ — функция массы вероятности . Это семейство является экспоненциальным семейством .

Нормальное семейство параметризуется $θ = (µ, σ)$ , где $µ \in ℝ$ — параметр местоположения, а $σ > 0$ — параметр масштаба:

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.

Это параметризованное семейство является одновременно экспоненциальным семейством и семейством масштаба местоположения .

Модель перевода Вейбулла имеет трехмерный параметр $θ = (λ, β, μ)$ :

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.

Биномиальная модель параметризуется $θ = (n, p)$ , где $n$ — неотрицательное целое число, а $p$ — вероятность (т. е. $p \geq 0$ и $p \leq 1$ ):

{\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.

Этот пример иллюстрирует определение модели с некоторыми дискретными параметрами.

Общие замечания

Параметрическая модель называется идентифицируемой , если отображение $θ \mapsto P θ$ обратимо, т.е. не существует двух разных значений параметров $θ 1$ и $θ 2$ таких, что $P θ 1 = P θ 2$ .

Сравнение с другими классами моделей

Параметрические модели противопоставляются полупараметрическим , полунепараметрическим и непараметрическим моделям , каждая из которых состоит из бесконечного набора «параметров» для описания. Различие между этими четырьмя классами заключается в следующем: ^{[ нужна ссылка ]}

в « параметрической » модели все параметры находятся в конечномерных пространствах параметров;
модель является « непараметрической », если все параметры находятся в бесконечномерном пространстве параметров;
« полупараметрическая » модель содержит интересующие конечномерные параметры и бесконечномерные мешающие параметры ;
« Полунепараметрическая » модель имеет как конечномерные, так и бесконечномерные неизвестные параметры, представляющие интерес.

Некоторые статистики считают, что понятия «параметрический», «непараметрический» и «полупараметрический» неоднозначны. ^[1] Также можно отметить, что множество всех вероятностных мер имеет мощность континуума , и поэтому вообще любую модель можно параметризовать одним числом в интервале (0,1). ^[2] Этой трудности можно избежать, рассматривая только «гладкие» параметрические модели.

См. также

Примечания

^ Ле Кам и Ян 2000 , §7.4
^ Бикель и др. 1998 , с. 2

Библиография

Бикель, Питер Дж .; Доксум, Кьелл А. (2001), Математическая статистика: основные и избранные темы , том. 1 (Второе (обновленное издание, 2007 г.) изд.), Прентис-Холл
Бикель, Питер Дж .; Клаассен, Крис Эй Джей; Ритов, Яаков; Веллнер, Джон А. (1998), Эффективная и адаптивная оценка полупараметрических моделей , Springer
Дэвисон, AC (2003), Статистические модели , Издательство Кембриджского университета
Ле Кам, Люсьен ; Ян, Грейс Ло (2000), Асимптотика в статистике: некоторые основные концепции (2-е изд.), Springer
Леманн, Эрих Л .; Казелла, Джордж (1998), Теория точечной оценки (2-е изд.), Springer
Лизе, Фридрих; Мишке, Клаус-Й. (2008), Статистическая теория принятия решений: оценка, тестирование и отбор , Springer
Пфанцагль, Иоганн; при содействии Р. Хамбёкера (1994), Параметрическая статистическая теория , Вальтер де Грюйтер , MR 1291393

[1] Ле Кам и Ян 2000 , §7.4

[2] Бикель и др. 1998 , с. 2

[1]

[2]