Континуум (теория множеств)

В математической области теории множеств континуум означает действительные числа или соответствующее (бесконечное) кардинальное число , обозначаемое ${\mathfrak {c}}$ . ^[1]^[2] Георг Кантор доказал, что мощность ${\mathfrak {c}}$ больше наименьшей бесконечности, а именно, $\aleph _{0}$ . Он также доказал, что ${\mathfrak {c}}$ равно $2^{\aleph _{0}}\!$ , мощность набора степеней натуральных чисел .

Мощность континуума — это размер множества действительных чисел. иногда Гипотезу континуума формулируют, утверждая, что не существует никакой кардинальности между мощностью континуума и мощностью натуральных чисел . $\aleph _{0}$ или, альтернативно, что ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ . ^[1]

Линейный континуум [ править ]

Согласно Раймонду Уайлдеру (1965), существует четыре аксиомы, которые превращают множество C и отношение < в линейный континуум :

C относительно просто упорядочен <.
Если [ A,B ] — разрез C , то либо A имеет последний элемент, либо B имеет первый элемент. (сравните вырезку Дедекинда )
Существует непустое счетное подмножество S в C такое, что если x,y ∈ C такой, что x < y , то существует z ∈ S такой, что x < z < y . ( аксиома отделимости )
В языке C нет ни первого, ни последнего элемента. ( аксиома неограниченности )

Эти аксиомы характеризуют тип порядка прямой вещественной числа .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Континуум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
^ «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 г.

Библиография [ править ]

Раймонд Л. Уайлдер (1965) Основы математики , 2-е изд., стр. 150, John Wiley & Sons .

Эта математической логике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Континуум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.

[2] «Трансфинитное число | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 12 августа 2020 г.

[1]

[2]