Континуум (теория множеств)

Чтобы узнать о других значениях, см. Continuum .

математической области теории множеств континуум В означает действительные числа или соответствующее (бесконечное) кардинальное число , обозначаемое ${\mathfrak {c}}$. Георг Кантор доказал, что мощность ${\mathfrak {c}}$ больше наименьшей бесконечности, а именно, $\aleph _{0}$. Он также доказал, что ${\mathfrak {c}}$ равно $2^{\aleph _{0}}\!$, мощность набора степеней натуральных чисел .

Мощность континуума — это размер множества действительных чисел. Гипотезу континуума иногда формулируют, утверждая, что не существует никакой кардинальности между мощностью континуума и мощностью натуральных чисел . $\aleph _{0}$или, альтернативно, что ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$.

Линейный континуум

Основная статья: Линейный континуум

Согласно Раймонду Уайлдеру (1965), существует четыре аксиомы, которые превращают множество C и отношение < в линейный континуум :

• C относительно просто упорядочен <.
• Если [ A,B ] — разрез C , то либо A имеет последний элемент, либо B имеет первый элемент. (сравните вырезку Дедекинда )
• Существует непустое счетное подмножество S в C такое, что если x,y ∈ C такой, что x < y , то существует z ∈ S такой, что x < z < y . ( аксиома отделимости )
• В языке C нет ни первого, ни последнего элемента. ( аксиома неограниченности )

Эти аксиомы характеризуют тип порядка прямой вещественной числа .

См. также

• Алеф ноль
• Проблема Суслина
• Трансфинитное число

Библиография

• Раймонд Л. Уайлдер (1965) Основы математики , 2-е изд., стр. 150, John Wiley & Sons .