Линейный континуум

В математической области теории порядка континуум линейный или континуум является обобщением реальной линии .

Формально линейный континуум — это линейно упорядоченное множество S , состоящее более чем из одного элемента, который плотно упорядочен , т. е. между любыми двумя различными элементами существует другой (а значит, бесконечно много других), причем полный , т. е. в котором «не хватает пробелов» в в том смысле, что каждое непустое подмножество с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу . Более символично:

S имеет свойство наименьшей верхней границы и
Для каждого x в S и каждого y в S с x < y существует z в S такой, что x < z < y

Множество обладает свойством наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество множества, ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю границу в множестве. Линейные континуумы особенно важны в области топологии , где их можно использовать для проверки того, связно ли множество заданной топологией порядка упорядоченное с или нет. ^[1]

В отличие от стандартной реальной линии, линейный континуум может быть ограничен с обеих сторон: например, любой (реальный) замкнутый интервал является линейным континуумом.

Примеры [ править ]

Упорядоченный набор действительных чисел R с его обычным порядком представляет собой линейный континуум и является архетипическим примером. Свойство б) тривиально, а свойство а) представляет собой просто переформулировку аксиомы полноты .

Примеры помимо действительных чисел:

множества, которые по порядку изоморфны множеству действительных чисел, например вещественный открытый интервал , и то же самое с полуоткрытыми пробелами (обратите внимание, что это не пробелы в вышеупомянутом смысле)
аффинно расширенная система действительных чисел и порядково-изоморфные множества, например единичный интервал
набор действительных чисел, к которым добавлено только +∞ или только -∞, и порядково-изоморфные множества, например полуоткрытый интервал
линия длинная
Множество I × I (где × обозначает декартово произведение , а I = [0, 1]) в лексикографическом порядке представляет собой линейный континуум. Свойство б) тривиально. Чтобы проверить свойство а), определим отображение π ₁ : I × I → I следующим образом:

π ₁ ( Икс , y ) знак равно Икс

Эта карта известна как карта проекции . Отображение проекции непрерывно (относительно топологии произведения на I × I ) и сюръективно . Пусть A — непустое подмножество I × I , ограниченное сверху. Рассмотрим π ₁ ( А ). Поскольку A ограничено сверху, π ₁ ( A ) также должно быть ограничено сверху. Поскольку π ₁ ( A ) является подмножеством I , оно должно иметь наименьшую верхнюю границу (поскольку I обладает свойством наименьшей верхней границы). Следовательно, мы можем позволить b быть нижней верхней границей π ₁ ( A ). Если b принадлежит π ₁ ( A ), то b × I будет пересекать A , скажем, в точке b × c для некоторого c ∈ I . Обратите внимание: поскольку b × I имеет тот же тип порядка , что и I , набор ( b × I ) ∩ A действительно будет иметь наименьшую верхнюю границу b × c' , которая является желаемой наименьшей верхней границей A. для

Если b не принадлежит π ₁ ( A ), то b × 0 является наименьшей верхней границей A , поскольку если d < b и d × e является верхней границей A , то d будет меньшей верхней границей A . π ₁ ( A ) чем b , что противоречит уникальному свойству b .

Непримеры [ править ]

Упорядоченное множество Q рациональных чисел не является линейным континуумом. Даже если свойство b) удовлетворяется, свойство а) нет. Рассмотрим подмножество

А знак равно { Икс ∈ Q | х < √ 2 }

множества рациональных чисел. Несмотря на то, что это множество ограничено сверху любым рациональным числом, большим √ 2 (например, 3), оно не имеет минимальной верхней границы рациональных чисел. ^[2] (В частности, для любой рациональной верхней границы r > √ 2 , r /2 + 1/ r является более близкой рациональной верхней границей; подробности см. в разделе « Методы вычисления квадратных корней § Метод Герона» .)

Упорядоченный набор неотрицательных целых чисел обычного порядка не является линейным континуумом. Свойство a) удовлетворено (пусть A сверху подмножество множества неотрицательных целых чисел. Тогда A конечно — ограниченное , поэтому оно имеет максимум, и этот максимум является искомой наименьшей верхней границей A ). С другой стороны, свойство б) нет. Действительно, 5 — целое неотрицательное число, как и 6, но не существует такого неотрицательного целого числа, которое лежало бы строго между ними.
Упорядоченный набор A ненулевых действительных чисел

А = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

не является линейным континуумом. Свойство б) выполняется тривиально. Однако, если B — набор отрицательных действительных чисел:

В = (−∞, 0)

тогда B является подмножеством A , которое ограничено сверху (любым элементом A больше 0; например, 1), но не имеет минимальной верхней границы в B . что 0 не является границей для B, поскольку 0 не является элементом A. Обратите внимание ,

Пусть Z ₋ обозначает множество отрицательных целых чисел и пусть A = (0, 5) ∪ (5, +∞). Позволять

S знак равно Z _- ∪ А .

Тогда S не удовлетворяет ни свойству а), ни свойству б). Доказательство аналогично предыдущим примерам.

Топологические свойства [ править ]

Хотя линейные континуумы важны при изучении упорядоченных множеств , они имеют приложения в математической области топологии . Фактически мы докажем, что упорядоченное множество в топологии связно порядковой тогда и только тогда, когда оно является линейным континуумом. Мы докажем одно следствие, а другое оставим в качестве упражнения. (Мункрес поясняет вторую часть доказательства в ^[3])

Теорема

Пусть X — упорядоченное множество в порядковой топологии. Если X связен, то X представляет собой линейный континуум.

Доказательство:

Предположим, что x и y являются элементами X с x < y . не существует такого z Если в X , что x < z < y , рассмотрим множества:

А = (−∞, у )

B знак равно ( Икс , +∞)

Эти множества непересекающиеся (если a находится в A , a < y , так что если a находится в B , a > x и a < y , что невозможно по условию), непустые ( x находится в A , а y находится в B ) и открытые. (в порядковой топологии), а их объединение — X . Это противоречит связности X .

Теперь мы докажем свойство наименьшей верхней границы. Если C — подмножество X , ограниченное сверху и не имеющее наименьшей верхней границы, пусть D объединение всех открытых лучей вида ( b , +∞), где b — верхняя граница для C. — Тогда D открыто (поскольку оно представляет собой объединение открытых множеств) и закрыто (если a не находится в D , то a < b для всех верхних границ b C , так что мы можем выбрать q > a такое, что q находится в C (если такого q не существует, a — наименьшая верхняя граница C ), то можно выбрать открытый интервал , содержащий a , который не пересекает D ). Поскольку D непусто (существует более одной верхней границы D , поскольку, если бы существовала ровно одна верхняя граница s , s была бы наименьшей верхней границей. Тогда, если b ₁ и b ₂ - две верхние границы D с b ₁ < b ₂ , b ₂ будет принадлежать D ), D и его дополнение вместе образуют разделение на X . Это противоречит связности X .

Приложения теоремы [ править ]

Поскольку упорядоченное множество A = (−∞, 0) U (0,+∞) не является линейным континуумом, оно несвязно.
Из применения только что доказанной теоремы вытекает тот факт, что R связен. Фактически любой интервал (или луч) в R также связен.
Множество целых чисел не является линейным континуумом и поэтому не может быть связным.
Фактически, если упорядоченное множество в топологии порядка представляет собой линейный континуум, оно должно быть связным. Поскольку любой интервал в этом множестве также является линейным континуумом, то это пространство локально связно, поскольку имеет базис, целиком состоящий из связных множеств.
Пример топологического пространства , представляющего собой линейный континуум, см. в разделе « Длинная линия» .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Образование Пирсона . стр. 100-1 31, 153. ISBN 0-13-181629-2 .
^ Харди, GH (1952). Курс чистой математики, 10-е изд . Издательство Кембриджского университета . стр. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2 .
^ Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Пирсон Образование. стр. 100-1 153–154. ISBN 0-13-181629-2 .

[1] Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Образование Пирсона . стр. 100-1 31, 153. ISBN 0-13-181629-2 .

[2] Харди, GH (1952). Курс чистой математики, 10-е изд . Издательство Кембриджского университета . стр. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2 .

[3] Манкрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд . Пирсон Образование. стр. 100-1 153–154. ISBN 0-13-181629-2 .

[1]

[2]

[3]