Длинная линия (топология)

В топологии длинная линия (или Александрова линия ) представляет собой топологическое пространство , чем-то похожее на реальную линию , но в определенном смысле «длиннее». Локально она ведет себя так же, как реальная линия, но имеет другие крупномасштабные свойства (например, она не является ни линделефовой , ни сепарабельной ). Поэтому он служит важным контрпримером в топологии. Интуитивно понятно, что обычная линия действительных чисел состоит из счетного числа отрезков. $[0,1)$ проложены встык, тогда как длинная линия состоит из бесчисленного числа таких отрезков.

Определение

Закрытый длинный луч $L$ определяется как декартово произведение первого несчетного порядкового номера $\omega _{1}$ с полуоткрытым интервалом $[0,1),$ оснащен топологией порядка , возникающей из лексикографического порядка на $\omega _{1}\times [0,1)$. Открытый длинный луч получается из закрытого длинного луча путем удаления наименьшего элемента. $(0,0).$

Длинная линия получается путем «склеивания» двух длинных лучей, одного в положительном направлении, а другого в отрицательном. Более строго ее можно определить как топологию порядка в непересекающемся объединении перевернутого открытого длинного луча («обратный» означает обратный порядок) (это отрицательная половина) и (не перевернутого) замкнутого длинного луча (положительный половина), полностью упорядоченный, позволяя точкам последнего быть больше, чем точки первого. В качестве альтернативы возьмите две копии открытого длинного луча и определите открытый интервал. $\{0\}\times (0,1)$ одного с тем же интервалом, что и другой, но с обратным интервалом, то есть определить точку $(0,t)$ (где $t$ действительное число такое, что $0<t<1$) того, у кого точка $(0,1-t)$другого и определим длинную линию как топологическое пространство, полученное путем склеивания двух открытых длинных лучей вдоль открытого интервала, определенного между ними. (Первая конструкция лучше в том смысле, что она определяет порядок на длинной прямой и показывает, что топология является порядковой топологией; вторая лучше в том смысле, что она использует склейку по открытому множеству, что более понятно из топологической топологии. точка зрения.)

Интуитивно замкнутый длинный луч подобен настоящей (замкнутой) полупрямой, за исключением того, что он значительно длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и замкнутый на другом. Открытый длинный луч подобен настоящей линии (или, что то же самое, открытой полулинии), за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и короткий (открытый) на другом. Длинная линия длиннее реальных линий в обоих направлениях: мы говорим, что она длинная в обоих направлениях.

Однако многие авторы говорят о «длинной линии» там, где мы говорили о (закрытом или открытом) длинном луче, и существует большая путаница между различными длинными пространствами. Однако во многих случаях использования или контрпримерах это различие несущественно, поскольку важной частью является «длинный» конец строки, и не имеет значения, что происходит на другом конце (длинный, короткий или закрытый).

Связанное пространство, (замкнутый) протяженный длинный луч , $L^{*},$ получается как одноточечная компактификация $L$ путем присоединения дополнительного элемента к правому концу $L.$ Аналогичным образом можно определить расширенную длинную линию, добавив к ней два элемента, по одному на каждом конце.

Свойства

Закрытый длинный луч $L=\omega _{1}\times [0,1)$ состоит из бесчисленного количества копий $[0,1)$«склеены» встык. Сравните это с тем, что для любого счетного порядкового номера $\alpha$, склеиваем вместе $\alpha$ копии $[0,1)$ дает пространство, которое по-прежнему гомеоморфно (и порядково-изоморфно) $[0,1).$ мы попытались склеить более (А если бы $\omega _{1}$ копии $[0,1),$ полученное пространство больше не будет локально гомеоморфным $\mathbb {R} .$)

Каждая возрастающая последовательность в $L$ сходится к пределу в $L$; это является следствием того факта, что (1) элементы $\omega _{1}$являются счетными ординалами, (2) верхняя грань каждого счетного семейства счетных ординалов является счетным ординалом и (3) любая возрастающая и ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Следовательно, не может быть строго возрастающей функции $L\to \mathbb {R} .$ Действительно, каждая непрерывная функция $L\to \mathbb {R}$ в конечном итоге является постоянным.

В качестве порядковой топологии длинные лучи и прямые (возможно, расширенные) являются нормальными хаусдорфовыми пространствами . Все они имеют ту же мощность , что и реальная линия, но «намного длиннее». Все они локально компактны . Ни один из них не метризуем ; это можно видеть, поскольку длинный луч секвенционно компактен, но не компактен и даже не компактен по Линделёфу .

(Нерасширенная) длинная линия или луч не является паракомпактным . Он связен по путям , локально связан по путям и просто связан, но не сжимаем . Это одномерное топологическое многообразие с краем в случае замкнутого луча. Она счетна в первую очередь , но не счетна во вторую и не отделима , поэтому авторы, которым требуются последние свойства в своих многообразиях, не называют длинную прямую многообразием.

Имеет смысл рассматривать все длинные пространства сразу, поскольку каждое связное (непустое) одномерное (не обязательно сепарабельное ) топологическое многообразие, возможно, с краем, гомеоморфно либо окружности, либо замкнутому интервалу, либо открытому интервалу (действительной прямой ), полуоткрытый интервал, закрытый длинный луч, открытый длинный луч или длинная линия.

Длинная прямая или луч может быть снабжена структурой (неразделимого) дифференцируемого многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако, в отличие от топологической структуры, которая уникальна (с топологической точки зрения существует только один способ сделать реальную линию «длиннее» на обоих концах), дифференцируемая структура не уникальна: на самом деле их несчетное количество( $2^{\aleph _{1}}$ точнее) попарно недиффеоморфные гладкие структуры на нем. Это резко контрастирует с реальной линией, где тоже присутствуют разные гладкие структуры, но все они диффеоморфны стандартной.

Длинная линия или луч может быть даже снабжена структурой (вещественного) аналитического многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако это гораздо сложнее, чем для дифференцируемого случая (это зависит от классификации (сепарабельных) одномерных аналитических многообразий, которая сложнее, чем для дифференцируемых многообразий). Опять же, любой данный $C^{\infty }$ структуру можно расширить бесконечным числом способов на различные $C^{\omega }$ (= аналитические) структуры (которые попарно недиффеоморфны как аналитические многообразия).

Длинную линию или луч нельзя снабдить римановой метрикой , индуцирующей ее топологию. Причина в том, что римановы многообразия , даже без предположения паракомпактности, можно показать как метризуемые.

Расширенный длинный луч $L^{*}$компактен ​ . Это одноточечная компактификация замкнутого длинного луча. $L,$ но это также и его компактификация Стоуна-Чеха , потому что любая непрерывная функция от (замкнутого или открытого) длинного луча до действительной линии в конечном итоге является постоянной. $L^{*}$ также связан , но не связан по пути, потому что длинная линия «слишком длинна», чтобы ее можно было покрыть путем, который является непрерывным изображением интервала. $L^{*}$ не является многообразием и не счетно.

р -адический аналог

Существует p -адический аналог длинной линии, принадлежащий Джорджу Бергману .

Это пространство строится как возрастающее объединение несчетного направленного множества копий. $X_{\gamma }$ кольца p -адических целых чисел, индексированных счетным порядковым номером $\gamma .$ Определить карту из $X_{\delta }$к $X_{\gamma }$ в любое время $\delta <\gamma$ следующее:

• Если $\gamma$ является преемником $\varepsilon +1$ тогда карта из $X_{\varepsilon }$ к $X_{\gamma }$ это просто умножение на $p.$ Для других $\delta$ карта из $X_{\delta }$ к $X_{\gamma }$ это состав карты из $X_{\delta }$ к $X_{\varepsilon }$ и карта из $X_{\varepsilon }$ к $X_{\gamma }.$
• Если $\gamma$ является предельным ординалом, то прямой предел множеств $X_{\delta }$ для $\delta <\gamma$ является счетным объединением p -адических шаров, поэтому его можно вложить в $X_{\gamma },$ как $X_{\gamma }$с удаленной точкой также является счетным объединением p -адических шаров. Это определяет совместимые вложения $X_{\delta }$ в $X_{\gamma }$ для всех $\delta <\gamma .$

Это пространство не компактно, но объединение любого счетного множества компактных подпространств имеет компактное замыкание.

Высшие измерения

Некоторые примеры непаракомпактных многообразий в более высоких измерениях включают многообразие Прюфера , произведения любого непаракомпактного многообразия с любым непустым многообразием, шар большого радиуса и так далее. Теорема о волынке показывает, что существуют $2^{\aleph _{1}}$ классы изоморфизма непаракомпактных поверхностей, даже если обобщение паракомпактности — ω-ограниченность предполагается .

Комплексных аналогов длинной линии не существует, поскольку каждая риманова поверхность паракомпактна, но Калаби и Розенлихт привели пример непаракомпактного комплексного многообразия комплексной размерности 2.

См. также

• Топология лексикографического порядка на единичном квадрате
• Список топологий