Теорема о волынке

В математике теорема волынке Питера Ньикоса о ( 1984 ) описывает структуру связных (но, возможно, непаракомпактных ) ω -ограниченных , показывая, что они являются «волынками»: связной суммой компактного поверхностей «мешка» с несколькими длинные трубы».

Заявление

Пространство называется ω-ограниченным , если замыкание всякого счетного множества компактно. Например, длинная линия и замкнутый длинный луч ω-ограничены, но не компактны. При ограничении метрического пространства ω-ограниченность эквивалентна компактности.

Теорема о волынке утверждает, что каждая ω-ограниченная связная поверхность представляет собой связную сумму компактной связной поверхности и конечного числа длинных труб.

Пространство P называется длинной трубой, если существуют подпространства $\{U_{\alpha }:\alpha <\omega _{1}\}$ каждый из которых гомеоморфен $S^{1}\times \mathbb {R}$ такой, что для $n<m$ у нас есть ${\overline {U_{n}}}\subseteq U_{m}$ и граница $U_{n}$ в $U_{m}$ гомеоморфен $S^{1}$. Простейшим примером трубы является изделие $S^{1}\times L^{+}$ круга $S^{1}$ и длинный закрытый луч $L^{+}$, который представляет собой растущее объединение $\omega _{1}$ копии полуоткрытого интервала $[0,1)$, вставленные вместе с лексикографическим упорядочением. Здесь, $\omega _{1}$ обозначает первое неисчисляемое порядковое число , которое представляет собой множество всех счетных порядковых номеров. Другой (неизоморфный) пример дается удалением одной точки из «длинной плоскости». $L\times L$ где $L$ — это длинная линия , образованная склеиванием двух копий $L^{+}$ в их конечных точках, чтобы получить пространство «длинное с обоих концов». на самом деле есть $2^{\aleph _{1}}$ различные классы изоморфизма длинных труб.

Теорема о волынке не описывает все поверхности, поскольку существует множество примеров поверхностей, которые не являются ω-ограниченными, например многообразие Прюфера .

Ссылки

• Ньикос, Питер (1984), «Теория неметризуемых многообразий», Справочник по теоретико-множественной топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 633–684, MR   0776633