Первый неисчисляемый порядковый номер

В математике первый неисчисляемый порядковый номер , традиционно обозначаемый $\omega _{1}$ или иногда через $\Omega$ , — наименьшее порядковое число , которое, рассматриваемое как множество , является неисчисляемым . Это верхняя граница (наименьшая верхняя граница) всех счетных ординалов. Если рассматривать его как совокупность, то элементы $\omega _{1}$ - счетные ординалы (включая конечные ординалы), ^[1] которых несчетное количество.

Как и любое порядковое число (в подходе фон Неймана ), $\omega _{1}$ представляет собой хорошо упорядоченное множество , в котором членство в множестве служит отношением порядка. $\omega _{1}$ является предельным порядковым номером , т. е. не существует порядкового номера $\alpha$ такой, что $\omega _{1}=\alpha +1$ .

Мощность множества $\omega _{1}$ — первое неисчисляемое кардинальное число , $\aleph _{1}$ ( алеф-один ). Порядковый номер $\omega _{1}$ таким образом, является начальным порядковым номером $\aleph _{1}$ . Согласно гипотезе континуума , мощность $\omega _{1}$ является $\beth _{1}$ , то же, что и у $\mathbb {R}$ — набор действительных чисел . ^[2]

В большинстве конструкций $\omega _{1}$ и $\aleph _{1}$ считаются равными как множества. Обобщая: если $\alpha$ — произвольный ординал, определим $\omega _{\alpha }$ как начальный ординал кардинала $\aleph _{\alpha }$ .

Существование $\omega _{1}$ может быть доказано без аксиомы выбора . Подробнее см. Число Хартогса .

Топологические свойства [ править ]

Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство, используя топологию порядка . Если рассматривать его как топологическое пространство, $\omega _{1}$ часто пишется как $[0,\omega _{1})$ , чтобы подчеркнуть, что это пространство, состоящее из всех порядковых номеров, меньших $\omega _{1}$ .

Если справедлива аксиома счетного выбора , то каждая возрастающая ω-последовательность элементов из $[0,\omega _{1})$ сходится к пределу в $[0,\omega _{1})$ . Причина в том, что объединение (т. е. супремум) каждого счетного множества счетных ординалов представляет собой другой счетный ординал.

Топологическое пространство $[0,\omega _{1})$ , секвенциально компактен но не компактен . Как следствие, оно не метризуемо . Однако оно счетно компактно и, следовательно, не линделефово (счетно компактное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно линделефово). В терминах аксиом счетности , $[0,\omega _{1})$ является ни ни сепарабельным, вторично - счетным .

Пространство $[0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1$ компактно и не счетно. $\omega _{1}$ используется для определения длинной линии и тихоновской планки — двух важных противоположных примеров в топологии .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Теория множеств> Базовая теория множеств (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Проверено 12 августа 2020 г.
^ «первый неисчисляемый порядковый номер в nLab» . ncatlab.org . Проверено 12 августа 2020 г.

Библиография [ править ]

Томас Джех, Теория множеств , изд. 3-го тысячелетия, 2003 г., Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN 3-540-44085-2 .
Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).

[1] «Теория множеств> Базовая теория множеств (Стэнфордская энциклопедия философии)» . plato.stanford.edu . Проверено 12 августа 2020 г.

[2] «первый неисчисляемый порядковый номер в nLab» . ncatlab.org . Проверено 12 августа 2020 г.

[1]

[2]