Jump to content

Число Хартогса

В математике , особенно в аксиоматической теории множеств , число Хартогса — это порядковый номер, связанный с набором. В частности, если X — любое множество , то число Хартогса X это наименьший порядковый номер α такой, что не существует вставки из α в X. — Если X может быть хорошо упорядочен , то кардинальное число α является минимальным кардиналом, большим, чем кардинальное число X . Если X не может быть упорядоченным, то не может быть и инъекции из X в α. Однако кардинальное число α по-прежнему является минимальным кардиналом, не меньшим или равным мощности X . (Если мы ограничимся кардинальными числами хорошо упорядочиваемых множеств, то число α будет наименьшим, которое не меньше или равно количеству X .) Отображение, переводящее X в α, иногда называют функцией Хартогса . Это отображение используется для построения чисел алефа, которые являются кардинальными числами бесконечных вполне упорядочиваемых множеств.

Существование числа Хартогса было доказано Фридрихом Хартогсом в 1915 году с использованием только теории множеств Цермело – Френкеля (то есть без использования аксиомы выбора ).

Теорема Хартогса [ править ]

Теорема Хартогса утверждает, что для любого множества X существует ординал α такой, что ; то есть такой, что нет никакой инъекции от α к X . Поскольку ординалы хорошо упорядочены, это немедленно подразумевает существование числа Хартогса для любого множества X . Более того, доказательство конструктивно и дает число Хартогса X .

Доказательство [ править ]

См. Голдрей 1996 .

Позволять класс всех порядковых чисел β , для которых инъективная функция существует из β в X .

Сначала проверим, что α — множество.

  1. X × X — это множество, как видно из аксиомы набора мощности .
  2. Набор степеней . X × X является набором согласно аксиоме набора степеней
  3. Класс W всех рефлексивных правильных упорядочений подмножеств X является определимым подклассом предыдущего набора, поэтому он является набором по схеме аксиом разделения .
  4. Класс всех типов порядков хорошо упорядоченных в W является множеством по схеме аксиом замены , как
    (Домен( ш ), ш ) ( β , ≤)
    можно описать простой формулой.

Но этот последний набор есть в точности α . Теперь, поскольку транзитивный набор ординалов снова является ординалом, α является ординалом. Более того, не существует инъекции из α в X , потому что если бы она была, то мы получили бы противоречие, что α α . И, наконец, α наименьший такой ординал без вставки в X. — Это верно, потому что, поскольку α является ординалом, для любого β < α , β α существует инъекция из β в X .

Историческое замечание [ править ]

В 1915 году Хартогс не мог использовать ни ординалы фон Неймана, ни аксиому замены , и поэтому его результат является одним из результатов теории множеств Цермело и сильно отличается от современного изложения выше. Вместо этого он рассмотрел набор классов изоморфизма хорошо упорядоченных подмножеств X и отношение, в котором класс A предшествует классу B, A изоморфен собственному если начальному сегменту B . что это более упорядоченное подмножество X. Хартогс показал , Однако основная цель его вклада заключалась в том, чтобы показать, что трихотомия кардинальных чисел подразумевает (тогда 11-летнюю) теорему о хорошем порядке (и, следовательно, аксиому выбора).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Голдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
  • Хартогс, Фриц (1915). «К проблеме благоустройства» . Математические анналы (на немецком языке). 76 (4): 438–443. дои : 10.1007/BF01458215 . ЖФМ   45.0125.01 . S2CID   121598654 .
  • Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
  • Чарльз Морган. «Аксиоматическая теория множеств» (PDF) . Примечания к курсу . Бристольский университет . Проверено 10 апреля 2010 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a7e8b26d04e6a6aad8a68f6545c327d3__1717002720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a7/d3/a7e8b26d04e6a6aad8a68f6545c327d3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hartogs number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)