Число Хартогса

В математике , особенно в аксиоматической теории множеств , число Хартогса — это порядковый номер, связанный с набором. В частности, если X — любое множество , то число Хартогса X это наименьший порядковый номер α такой, что не существует вставки из α в X. — Если X может быть хорошо упорядочен , то кардинальное число α является минимальным кардиналом, большим, чем кардинальное число X . Если X не может быть упорядоченным, то не может быть и инъекции из X в α. Однако кардинальное число α по-прежнему является минимальным кардиналом, не меньшим или равным мощности X . (Если мы ограничимся кардинальными числами хорошо упорядочиваемых множеств, то число α будет наименьшим, которое не меньше или равно количеству X .) Отображение, переводящее X в α, иногда называют функцией Хартогса . Это отображение используется для построения чисел алефа, которые являются кардинальными числами бесконечных вполне упорядочиваемых множеств.

Существование числа Хартогса было доказано Фридрихом Хартогсом в 1915 году с использованием только теории множеств Цермело – Френкеля (то есть без использования аксиомы выбора ).

Теорема Хартогса

Не путать с результатом комплексного анализа — теоремой Хартогса .

Теорема Хартогса утверждает, что для любого множества X существует ординал α такой, что $|\alpha |\not \leq |X|$; то есть такой, что нет никакой инъекции от α к X . Поскольку ординалы хорошо упорядочены, это немедленно подразумевает существование числа Хартогса для любого множества X . Более того, доказательство конструктивно и дает число Хартогса X .

Доказательство

См. Голдрей 1996 .

Позволять $\alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}}\mid \exists i:\beta \hookrightarrow X\}$ — класс всех порядковых чисел β , для которых инъективная функция существует из β в X .

Сначала проверим, что α — множество.

1. X × X — это множество, как видно из аксиомы набора мощности .
2. Набор степеней . X × X является набором согласно аксиоме набора степеней
3. Класс W всех рефлексивных правильных упорядочений подмножеств X является определимым подклассом предыдущего набора, поэтому он является набором по схеме аксиом разделения .
4. Класс всех типов порядков хорошо упорядоченных в W является множеством по схеме аксиом замены , как
   (Домен( ш ), ш ) $\cong$ ( β , ≤)
   можно описать простой формулой.

Но этот последний набор есть в точности α . Теперь, поскольку транзитивный набор ординалов снова является ординалом, α является ординалом. Более того, не существует инъекции из α в X , потому что если бы она была, то мы получили бы противоречие, что α ∈ α . И, наконец, α наименьший такой ординал без вставки в X. — Это верно, потому что, поскольку α является ординалом, для любого β < α , β ∈ α существует инъекция из β в X .

Историческое замечание

В 1915 году Хартогс не мог использовать ни ординалы фон Неймана, ни аксиому замены , и поэтому его результат является одним из результатов теории множеств Цермело и сильно отличается от современного изложения выше. Вместо этого он рассмотрел набор классов изоморфизма хорошо упорядоченных подмножеств X и отношение, в котором класс A предшествует классу B, A изоморфен собственному если начальному сегменту B . что это более упорядоченное подмножество X. Хартогс показал , Однако основная цель его вклада заключалась в том, чтобы показать, что трихотомия кардинальных чисел подразумевает (тогда 11-летнюю) теорему о хорошем порядке (и, следовательно, аксиому выбора).

См. также

• Кардинал-преемник
• Число Алеф

Ссылки

• Голдрей, Дерек (1996). Классическая теория множеств . Чепмен и Холл .
• Хартогс, Фриц (1915). «К проблеме благоустройства» . Математические анналы (на немецком языке). 76 (4): 438–443. дои : 10.1007/BF01458215 . ЖФМ   45.0125.01 . S2CID   121598654 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Чарльз Морган. «Аксиоматическая теория множеств» (PDF) . Примечания к курсу . Бристольский университет . Проверено 10 апреля 2010 г.