Сжимаемое пространство
В математике топологическое пространство X является стягиваемым , если тождественное отображение на X является нуль-гомотопным, т. е. если оно гомотопно некоторому постоянному отображению. [1] [2] Интуитивно понятно, что сжимаемое пространство — это пространство, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри этого пространства.
Свойства [ править ]
Стягиваемое пространство — это пространство, имеющее гомотопический тип точки. Отсюда следует, что все гомотопические группы стягиваемого пространства тривиальны . Поэтому любое пространство с нетривиальной гомотопической группой не может быть стягиваемым. Аналогично, поскольку сингулярные гомологии являются гомотопическими инвариантами, все приведенные группы гомологий стягиваемого пространства тривиальны.
Для непустого топологического пространства X все следующие условия эквивалентны:
- X стягиваемо (т. е. тождественное отображение нуль-гомотопно).
- X гомотопически эквивалентно одноточечному пространству.
- X Деформация стягивается в точку. (Однако существуют сжимаемые пространства, которые не сильно деформируются, стягиваются в точку.)
- Для любого линейно-связного пространства Y любые два отображения f , g : X → Y гомотопны.
- Для любого пространства Y любое отображение f : Y → X является нуль-гомотопным.
Конус в пространстве X всегда стягиваем. Следовательно, любое пространство можно вложить в стягиваемое (что также показывает, что подпространства сжимаемых пространств не обязательно должны быть стягиваемыми).
Более того, X сжимаемо тогда и только тогда, когда существует ретракция из конуса X в X .
Каждое сжимаемое пространство линейно связно и односвязно . Более того, поскольку все высшие гомотопические группы исчезают, каждое сжимаемое пространство n -связно для всех n ≥ 0.
Локально сжимаемые пространства [ править ]
Топологическое пространство X является локально стягиваемым в точке x , если для каждой окрестности U точки x существует окрестность V точки x , содержащаяся в U , такая, что включение V нульгомотопно в U . Пространство локально стягиваемо , если оно локально стягиваемо в каждой точке. Это определение иногда называют «локально сжимаемым геометрическим топологом», хотя это наиболее распространенное использование этого термина. В стандартном тексте Хэтчера по алгебраической топологии это определение называется «слабо локально сжимаемым», хотя этот термин имеет и другие значения.
Если каждая точка имеет локальную базу стягиваемых окрестностей, то мы говорим, что X стягиваемо сильно локально . Стягиваемые пространства не обязательно являются локально стягиваемыми, и наоборот. Например, гребенчатое пространство сжимаемо, но не локально сжимаемо (если бы оно было так, оно было бы локально связным, чего на самом деле нет). Локально стягиваемые пространства локально n -связны для всех n ≥ 0. В частности, они локально односвязны , локально линейно связны и локально связны . Окружность (сильно) локально стягиваема, но не стягиваема.
Сильная локальная сжимаемость является строго более сильным свойством, чем локальная сжимаемость; контрпримеры сложны, первый из них был приведен Борсуком и Мазуркевичем в их статье Sur les retractes absolus indécomposables , CR. акад. наук. Париж 199 (1934), 110–112).
Существуют некоторые разногласия по поводу того, какое определение является «стандартным» определением локальной сжимаемости; первое определение чаще используется в геометрической топологии, особенно исторически, тогда как второе определение лучше соответствует типичному использованию термина «локальный» по отношению к топологическим свойствам. Всегда следует проявлять осторожность в отношении определений при интерпретации результатов об этих свойствах.
Примеры и контрпримеры [ править ]
- Любое евклидово пространство сжимаемо, как и любая звездная область в евклидовом пространстве.
- Многообразие Уайтхеда стягиваемо.
- Сферы любой конечной размерности не сжимаемы.
- Единичная сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве сжимаема .
- Дом с двумя комнатами — стандартный пример сжимаемого пространства, но это не интуитивно понятно.
- Шляпа Дунса сжимается, но не складная .
- Конус на гавайской серьге сжимаем (поскольку он является конусом), но не локально стягиваем и даже не локально односвязен.
- Все многообразия и комплексы CW стягиваемы локально , но, вообще говоря, нестягиваемы.
- Варшавский круг получается «замыканием» синусоидальной кривой тополога дугой, соединяющей (0,−1) и (1,sin(1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но он нестягиваем.
См. также [ править ]
- Поддельный 4-шар - Математическое топологическое многообразие
Ссылки [ править ]
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
- ^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .