Гавайская серьга

По математике гавайская серьга $\mathbb {H}$ - топологическое пространство, определяемое объединением окружностей на евклидовой плоскости. $\mathbb {R} ^{2}$ с центром $\left({\tfrac {1}{n}},0\right)$ и радиус ${\tfrac {1}{n}}$ для $n=1,2,3,\ldots$ наделен топологией подпространства :

$\mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}.$

Пространство $\mathbb {H}$ гомеоморфна компактификации одноточечной открытых объединения счетного семейства непересекающихся интервалов .

Гавайская серьга — это одномерное компактное метризуемое локально линейно связное пространство. Хотя $\mathbb {H}$ локально гомеоморфен $\mathbb {R}$ во всех неисходных точках, $\mathbb {H}$ не является полулокально односвязным в точке $(0,0)$ . Поэтому, $\mathbb {H}$ не имеет односвязного накрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с таким усложнением.

Гавайская серьга очень похожа на клиновую сумму счетного бесконечного числа кругов; то есть роза с бесконечным числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Разница между их топологиями видна в том, что в гавайской серьге каждая открытая окрестность точки пересечения окружностей содержит все окружности, кроме конечного числа ( $ε$ -шар вокруг $(0, 0)$ содержит каждую окружность радиус которого меньше $ε /2$ ); на розе окрестность точки пересечения может не полностью содержать ни один из кругов. Кроме того, роза не компактна: дополнение выделенной точки представляет собой бесконечное объединение открытых интервалов; к ним добавьте небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытое покрытие без конечного подпокрытия.

Фундаментальная группа

Гавайская серьга не является ни односвязной, ни полулокально односвязной, поскольку для всех $n\geq 1,$ петля $\ell _{n}$ параметризация $n-$ го круга не гомотопна тривиальной петле. Таким образом, $\mathbb {H}$ имеет нетривиальную фундаментальную группу $G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),$ иногда называют группой гавайских сережек . Группа гавайских сережек $G$ несчетна и не является свободной группой. Однако, $G$ локально свободна в том смысле, что каждая конечно порожденная подгруппа $G$ бесплатно.

Гомотопические классы отдельных петель $\ell _{n}$ создать свободную группу $\langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle$ на счетно-бесконечном числе образующих, образующую собственную подгруппу $G$ . Бесчисленное множество других элементов $G$ возникают из петель, образ которых не содержится в конечном числе кругов гавайской серьги; на самом деле некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на интервале $[2^{-n},2^{-n+1}]$ обходит $n-$ й круг. В более общем смысле можно формировать бесконечные произведения петель $\ell _{n}$ индексируется по любому счетному линейному порядку при условии, что для каждого $n\geq 1$ , петля $\ell _{n}$ и его инверсия появляются в произведении только конечное число раз.

Это результат деятельности Джона Моргана и Яна Моррисона. $G$ вкладывается в обратный предел $\varprojlim F_{n}$ свободных групп с $n$ образующими, $F_{n}$ , откуда карта связей $F_{n}$ к $F_{n-1}$ просто убивает последний генератор $F_{n}$ . Однако, $G$ является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля в $\mathbb {H}$ может пересечь каждый круг $\mathbb {H}$ только конечное число раз. Пример элемента обратного предела, не соответствующего элементу $G$ является бесконечным произведением коммутаторов ${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$ , что формально выглядит как последовательность $\left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)$ в обратном пределе $\varprojlim F_{n}$ .

Первые сингулярные гомологии

Кацуя Эда и Кадзухиро Кавамура доказали, абелианизация что $G,$ и, следовательно, первая особая группа гомологии $H_{1}(\mathbb {H} )$ изоморфна группе

$\left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).$

Первое слагаемое ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ является прямым произведением бесконечного числа копий бесконечной циклической группы ( группы Бэра – Спекера ). Этот множитель представляет собой сингулярные классы гомологии петель, не имеющих числа витков. $0$ вокруг каждого круга $\mathbb {H}$ и является первой группой гомологии Чеха сингулярной. ${\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )$ . Кроме того, ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ можно рассматривать как бесконечную абелианизацию $G$ , поскольку каждый элемент ядра естественного гомоморфизма ${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ представляется бесконечным произведением коммутаторов. Второе слагаемое $H_{1}(\mathbb {H} )$ состоит из классов гомологии, представленных петлями, число витков которых вокруг каждого круга $\mathbb {H}$ равно нулю, т. е. является ядром естественного гомоморфизма ${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ . Существование изоморфизма с ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ доказывается абстрактно с помощью теории бесконечных абелевых групп и не имеет геометрической интерпретации.

Высшие измерения

Известно, что $\mathbb {H}$ является асферическим пространством , т.е. все высшие группы гомотопий и гомологий $\mathbb {H}$ тривиальны.

Гавайскую серьгу можно обобщить до более высоких измерений. Такое обобщение использовалось Майклом Барраттом и Джоном Милнором, чтобы предоставить примеры компактных конечномерных пространств с нетривиальными сингулярными группами гомологии в размерностях, больших, чем размер пространства. $k$ -мерная гавайская серьга определяется как

\mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.

Следовательно, $\mathbb {H} _{k}$ представляет собой счетное объединение $k$ -сфер, имеющих одну общую точку, а топология задается метрикой , в которой диаметры сфер стремятся к нулю как $n\to \infty .$ Альтернативно, $\mathbb {H} _{k}$ может быть построена как компактификация Александрова счетного объединения непересекающихся $\mathbb {R} ^{k}$ с. Рекурсивно это получается $\mathbb {H} _{0}$ состоит из сходящейся последовательности, $\mathbb {H} _{1}$ это оригинальная гавайская серьга, и $\mathbb {H} _{k+1}$ гомеоморфна приведенной суспензии $\Sigma \mathbb {H} _{k}$ .

Для $k\geq 1$ , $k$ объемная гавайская серьга – компактная, $(k-1)$ -связанный и локальный $(k-1)$ -подключен . Для $k\geq 2$ , известно, что $\pi _{k}(\mathbb {H} _{k})$ изоморфна группе Бэра–Спкера ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

Для $q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)$ и $q>1,$ Барратт и Милнор показали, что особая группа гомологий $H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )$ является нетривиальной несчетной группой для каждого такого $q$ . ^[1]