Особые гомологии

В алгебраической топологии сингулярные гомологии относятся к изучению определенного набора алгебраических инвариантов топологического пространства X , так называемых групп гомологий. $H_{n}(X).$ Интуитивно понятно, что сингулярные гомологии подсчитывают для каждого измерения n n дыры -мерные пространства. Сингулярная гомология — частный пример теории гомологии , которая теперь превратилась в довольно обширную коллекцию теорий. Из различных теорий это, пожалуй, одна из самых простых для понимания, поскольку она построена на достаточно конкретных конструкциях (см. также родственную теорию симплициальной гомологии ).

Короче говоря, сингулярные гомологии строятся путем преобразования стандартного n - симплекса в топологическое пространство и составления их в формальные суммы , называемые сингулярными цепями . Граничная операция – отображение каждого n -мерного симплекса на его ( n -1)-мерную границу – индуцирует сингулярный цепной комплекс . Тогда сингулярные гомологии являются гомологиями цепного комплекса. Полученные группы гомологий одинаковы для всех гомотопически эквивалентных пространств, что и является причиной их изучения. Эти конструкции применимы ко всем топологическим пространствам, и поэтому сингулярные гомологии выражаются как функтор из категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп .

Одиночный простой

Особый — n -симплекс в топологическом пространстве X это непрерывная функция (также называемая отображением). $\sigma$ от стандартного n - симплекса $\Delta ^{n}$ до X , написано $\sigma :\Delta ^{n}\to X.$ Это отображение не обязательно должно быть инъективным могут существовать неэквивалентные сингулярные симплексы с одним и тем же образом , и в X .

Граница $\sigma ,$ обозначается как $\partial _{n}\sigma ,$ определяется как формальная сумма сингулярных ( n − 1)-симплексов, представленных ограничением $\sigma$ к граням стандартного n -симплекса с переменным знаком для учета ориентации. (Формальная сумма — это элемент свободной абелевой группы на симплексах. Основой группы является бесконечное множество всех возможных сингулярных симплексов. Групповая операция — это «сложение», а сумма симплекса a с симплексом b обычно просто обозначим a + b , но a + a = 2 a и т. д. Каждый симплекс a имеет отрицательное значение − a .) Таким образом, если мы обозначим. $\sigma$ по его вершинам

[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]

соответствующие вершинам $e_{k}$ стандартного n -симплекса $\Delta ^{n}$ (что, конечно, не полностью определяет сингулярный симплекс, полученный $\sigma$ ), затем

\partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}

есть формальная сумма граней симплексного изображения, обозначенных определенным образом. ^[1] (То есть конкретное лицо должно быть ограничением $\sigma$ к лицу $\Delta ^{n}$ который зависит от порядка перечисления его вершин.) Так, например, граница $\sigma =[p_{0},p_{1}]$ (кривая, идущая от $p_{0}$ к $p_{1}$ ) — формальная сумма (или «формальная разность») $[p_{1}]-[p_{0}]$ .

Сингулярный цепной комплекс

Обычное построение сингулярной гомологии происходит путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободной абелевой группы , а затем показа, что мы можем определить определенную группу, группу гомологии топологического пространства, с участием граничного оператора .

Рассмотрим сначала множество всех возможных сингулярных n -симплексов $\sigma _{n}(X)$ в топологическом пространстве X . Этот набор можно использовать в качестве основы свободной абелевой группы , так что каждый сингулярный n -симплекс является генератором группы. Этот набор образующих, конечно, обычно бесконечен, часто несчетен , поскольку существует множество способов отображения симплекса в типичное топологическое пространство. Свободную абелеву группу, порожденную этим базисом, обычно обозначают как $C_{n}(X)$ . Элементы $C_{n}(X)$ называются сингулярными n -цепями ; они представляют собой формальные суммы сингулярных симплексов с целыми коэффициентами.

Граница $\partial$ легко расширить для действия на сингулярных n -цепях. Расширение, называемое граничным оператором , записанное как

\partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},

является гомоморфизмом групп. Граничный оператор вместе с $C_{n}$ , образуют цепной комплекс абелевых групп, называемый сингулярным комплексом . Его часто обозначают как $(C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })$ или проще $C_{\bullet }(X)$ .

Ядро граничного оператора есть $Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})$ и называется группой особых n -циклов . Образ граничного оператора есть $B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})$ и называется группой особых n -границ .

Также можно показать, что $\partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0$ , подразумевая $B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)$ . $n$ -я группа гомологии $X$ затем определяется как факторная группа

H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).

Элементы $H_{n}(X)$ называются классами гомологии . ^[2]

Гомотопическая инвариантность

Если X и Y — два топологических пространства одного и того же гомотопического типа (т.е. гомотопически эквивалентны ), то

H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,

для всех n ≥ 0. Это означает, что группы гомологий являются гомотопическими инвариантами и, следовательно, топологическими инвариантами .

В частности, если X — связное сжимаемое пространство , то все его группы гомологий равны 0, кроме $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ .

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологий можно схематически представить следующим образом. Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм

f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).

Можно сразу убедиться, что

\partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,

т. е. f _# является цепным отображением , которое сводится к гомоморфизмам гомологии

f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).

Теперь мы покажем, что если f и g гомотопически эквивалентны, то f _* = g _* . Отсюда следует, что если f — гомотопическая эквивалентность, то f _* — изоморфизм.

Пусть F : X × [0, 1] → Y — гомотопия, переводящая f в g . На уровне цепей определим гомоморфизм

P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)

который, геометрически говоря, принимает базисный элемент σ: ∆ ^н → X из C _n ( X ) к «призме» P (σ): ∆ ^н × Я → Y . Границу P (σ) можно выразить как

\partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).

если α в Cn _# ( X ) является n -циклом, то f _{Итак ,} ( α ) и g _# ( α ) различаются границей:

f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение. ^[3]

Группы гомологии общих пространств

В таблице ниже показаны k-ые группы гомологии. $H_{k}(X)$ n-мерных вещественных проективных пространств RP ^н, комплексные проективные пространства, CP ^н, точка, сферы S ^н( $n\geq 1$ ) и 3-тор T ³ с целыми коэффициентами.

Космос	Гомотопический тип
РП ^н^[4]	$\mathbf {Z}$	k = 0 и k = n нечетно
	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	k нечетно, 0 < k < n
	0	в противном случае
КП ^н^[5]	$\mathbf {Z}$	к = 0,2,4,...,2n
КП ^н^[5]	0	в противном случае
точка ^[6]	$\mathbf {Z}$	к = 0
точка ^[6]	0	в противном случае
С ^н	$\mathbf {Z}$	k = 0,n
С ^н	0	в противном случае
Т ³^[7]	$\mathbf {Z}$	к = 0,3
	$\mathbf {Z}$ ³	к = 1,2
	0	в противном случае

Функциональность

Приведенная выше конструкция может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется под действием непрерывных отображений. Эта общность означает, что теорию сингулярной гомологии можно переписать на языке теории категорий . В частности, под группой гомологии можно понимать функтор из категории топологических пространств Top в категорию абелевых групп Ab .

Учтите сначала, что $X\mapsto C_{n}(X)$ является отображением топологических пространств в свободные абелевы группы. Это говорит о том, что $C_{n}(X)$ можно считать функтором, если можно понять его действие морфизмы Top на . Теперь морфизмы Top являются непрерывными функциями, поэтому, если $f:X\to Y$ является непрерывным отображением топологических пространств, его можно расширить до гомоморфизма групп

f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,

определяя

f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})

где $\sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X$ является сингулярным симплексом, а $\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,$ является особой n -цепью, т. е. элементом $C_{n}(X)$ . Это показывает, что $C_{n}$ является функтором

C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп .

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что $\partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}$ . Это позволяет рассматривать весь цепной комплекс как функтор. В частности, это показывает, что карта $X\mapsto H_{n}(X)$ является функтором

H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. По аксиоме гомотопии имеем, что $H_{n}$ также является функтором, называемым функтором гомологии, действующим на hTop , факторгомотопическую категорию :

H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .

Это отличает сингулярную гомологию от других теорий гомологии, в которых $H_{n}$ по-прежнему является функтором, но не обязательно определен во всем Top . В некотором смысле сингулярная гомология является «самой большой» теорией гомологии, поскольку каждая теория гомологии в согласуется с подкатегории Top сингулярными гомологиями в этой подкатегории. С другой стороны, сингулярные гомологии не обладают самыми чистыми категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология .

В более общем смысле, функтор гомологии определяется аксиоматически как функтор абелевой категории или, альтернативно, как функтор цепных комплексов , удовлетворяющий аксиомам, которые требуют граничного морфизма , который превращает короткие точные последовательности в длинные точные последовательности . В случае сингулярной гомологии функтор гомологии можно разложить на две части: топологическую часть и алгебраическую часть. Топологическая часть имеет вид

C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp}

который отображает топологические пространства как $X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })$ и непрерывные функции как $f\mapsto f_{*}$ . Вот тогда, $C_{\bullet }$ понимается сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категорию цепных комплексов Comp (или Kom ). Категория цепных комплексов имеет цепные комплексы в качестве своих объектов и цепные отображения в качестве своих морфизмов .

Вторая, алгебраическая часть — это функтор гомологии

H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab}

какие карты

C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })

и переводит цепные отображения в карты абелевых групп. Именно этот функтор гомологии можно определить аксиоматически, так что он выступает сам по себе как функтор категории цепных комплексов.

Гомотопические карты вновь появляются на сцене, определяя гомотопически эквивалентные цепные карты. Таким образом, можно определить фактор-категорию hComp или K , гомотопическую категорию цепных комплексов .

Коэффициенты в R

Для любого кольца R с единицей множество особых n -симплексов в топологическом пространстве можно считать генераторами свободного R -модуля . То есть вместо того, чтобы выполнять приведенные выше конструкции из исходной точки свободных абелевых групп, вместо них используются свободные R -модули. Все конструкции проходят практически без изменений. Результатом этого является

H_{n}(X;R)\

который теперь является R -модулем . Конечно, обычно это не бесплатный модуль. Обычная группа гомологии восстанавливается, если отметить, что

H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)

когда кто-то считает кольцо кольцом целых чисел. Обозначение H _n ( X ; R ) не следует путать с почти идентичным обозначением H _n ( X , A ), которое обозначает относительную гомологию (ниже).

Теорема об универсальных коэффициентах обеспечивает механизм вычисления гомологии с коэффициентами R в терминах гомологии с обычными целыми коэффициентами с использованием короткой точной последовательности

0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.

где Tor — функтор Tor . ^[8]Следует отметить, что если R не имеет кручения, то $\mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0$ для любого G , поэтому приведенная выше короткая точная последовательность сводится к изоморфизму между $H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R$ и $H_{n}(X;R).$

Относительная гомология

Для подпространства $A\subset X$ , под относительными гомологиями H _n ( X , A ) понимаются гомологии фактора цепных комплексов, т.е.

H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))

где фактор цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.

^[9]

Сниженная гомология

пространства Приведенные гомологии X , обозначенные как ${\tilde {H}}_{n}(X)$ представляет собой незначительную модификацию обычной гомологии, которая упрощает выражения некоторых отношений и удовлетворяет интуитивному предположению, что все группы гомологий точки должны быть равны нулю.

Для обычных гомологии, определенных на цепном комплексе:

\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0

Чтобы определить приведенную гомологию, мы дополняем цепной комплекс дополнительным $\mathbb {Z}$ между $C_{0}$ и ноль:

$\dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0$

где $\epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}$ . Это можно оправдать, интерпретируя пустое множество как «(-1)-симплекс», что означает, что $C_{-1}\simeq \mathbb {Z}$ .

группы Приведенные гомологии теперь определяются формулой ${\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})$ для положительного n и ${\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})$ . ^[10]

Для n > 0, $H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)$ , а при n = 0 $H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .$

Когомологии

Дуализируя комплекс цепи гомологии (т.е. применяя функтор Hom(-, R ), где R — любое кольцо), мы получаем коцепной комплекс с кограничным отображением $\delta$ . Группы когомологий X ; определяются как группы гомологий этого комплекса шутливо говоря, «когомологии - это гомологии со [двойственного комплекса]».

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологий. Во-первых, они образуют дифференциально-градуированную алгебру следующим образом:

градуированное множество групп образует градуированный R - модуль ;
этому можно придать структуру градуированной R - алгебры , используя произведение чашки ;
β гомоморфизм Бокштейна дает дифференциал.

Существуют дополнительные когомологические операции , и алгебра когомологий имеет структуру сложения mod p (как и раньше, когомологии mod p - это когомологии комплекса коцепей mod p mod p , а не редукция когомологий ), в частности структуру алгебры Стинрода .

Гомологии и когомологии Бетти

Поскольку число теорий гомологии стало большим (см. Категория: Теория гомологии ), термины гомологии Бетти и когомологии Бетти иногда применяются (особенно авторами, пишущими по алгебраической геометрии ) к теории сингулярностей, что приводит к появлению Бетти чисел наиболее знакомые пространства, такие как симплициальные комплексы и замкнутые многообразия .

Чрезвычайная гомология

Если определить теорию гомологии аксиоматически (через аксиомы Эйленберга-Стинрода ), а затем ослабить одну из аксиом ( аксиому размерности ), можно получить обобщенную теорию, называемую экстраординарной теорией гомологии . Первоначально они возникли в виде необычных теорий когомологий , а именно К-теории и теории кобордизмов . В этом контексте сингулярные гомологии называются обычными гомологиями.

См. также

Ссылки

^ Хэтчер, 105
^ Хэтчер, 108
^ Теорема 2.10. Хэтчер, 111
^ Хэтчер, 144
^ Хэтчер, 140
^ Хэтчер, 110
^ Хэтчер, 142-143.
^ Хэтчер, 264
^ Хэтчер, 115
^ Хэтчер, 110

Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
Дж. П. Мэй, Краткий курс алгебраической топологии , Издательство Чикагского университета ISBN 0-226-51183-9
Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1

[1] Хэтчер, 105

[2] Хэтчер, 108

[3] Теорема 2.10. Хэтчер, 111

[4] Хэтчер, 144

[5] Хэтчер, 140

[6] Хэтчер, 110

[7] Хэтчер, 142-143.

[8] Хэтчер, 264

[9] Хэтчер, 115

[10] Хэтчер, 110

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]