Алгебра Стинрода

В алгебраической топологии алгебра Стинрода была определена Анри Картаном ( 1955 ) как алгебра операций стабильных когомологий для mod $p$ когомологии.

Для заданного простого числа $p$, алгебра Стинрода $A_{p}$ — градуированная алгебра Хопфа над полем $\mathbb {F} _{p}$ порядка $p$, состоящий из всех операций стабильных когомологий для mod $p$ когомологии . Он порождается квадратами Стинрода , введенными Норманом Стинродом ( 1947 ) для $p=2$, и с помощью Стинрода уменьшено $p$степени, введенные Стинродом ( 1953a , 1953b ) и гомоморфизм Бокштейна для $p>2$.

Термин «алгебра Стинрода» также иногда используется для обозначения алгебры когомологических операций обобщенной теории когомологий .

Когомологические операции

Основная статья: Операция когомологий

Операция когомологий — это естественное преобразование между функторами когомологий. Например, если мы возьмем когомологии с коэффициентами в кольце $R$, операция возведения в квадрат произведения чашки дает семейство операций когомологий:

$H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)$

$x\mapsto x\smile x.$

Операции когомологии не обязательно должны быть гомоморфизмами градуированных колец; см. формулу Картана ниже.

Эти операции не коммутируют с подвеской , т. е. они неустойчивы. (Это потому, что если $Y$ это подвеска пространства $X$, чашечное произведение на когомологиях $Y$ тривиально.) Стинрод построил устойчивые операции

$Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)$

для всех $i$больше нуля. Обозначения $Sq$ и их название, квадраты Стинрода, происходит от того факта, что $Sq^{n}$ ограничено классами степеней $n$квадрат чашки. Аналогичные операции существуют и для нечетных первичных коэффициентов, обычно обозначаемых $P^{i}$ и назвал приведенным $p$-ые степенные операции:

$P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)$

The $Sq^{i}$ сгенерировать связную градуированную алгебру над $\mathbb {Z} /2$, где умножение задается композицией операций. Это алгебра Стинрода по модулю 2. В случае $p>2$, мод $p$ Алгебра Стинрода порождается $P^{i}$ и операция Бокштейна $\beta$ связанный с короткой точной последовательностью

$0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0$.

В случае $p=2$, элемент Бокштейна $Sq^{1}$ и сокращение $p$-я мощность $P^{i}$ является $Sq^{2i}$.

Как кольцо когомологий

Мы можем суммировать свойства операций Стинрода как генераторов в кольце когомологий спектров Эйленберга – Маклейна.

${\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})$,

поскольку существует изоморфизм

${\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}$

дающее разложение в прямую сумму всех возможных когомологических операций с коэффициентами из $\mathbb {F} _{p}$. Обратите внимание, что обратный предел групп когомологий появляется потому, что это вычисление в стабильной области групп когомологий пространств Эйленберга – Маклейна. Этот результат изначально было рассчитано Картана (1954–1955 , стр. 7) и Серра (1953) .

Обратите внимание, что существует двойная характеристика используя гомологии для двойственной алгебры Стинрода .

теорий обобщенных

Это должно наблюдаться, если спектр Эйленберга–Маклана $H\mathbb {F} _{p}$ заменяется произвольным спектром $E$, то возникает множество проблем при изучении кольца когомологий $E^{*}(E)$. В этом случае обобщенная двойственная алгебра Стинрода $E_{*}(E)$ вместо этого следует рассматривать, поскольку он имеет гораздо лучшие свойства и может быть легко изучен во многих случаях (например, $KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}$). Фактически эти кольцевые спектры коммутативны и $\pi _{*}(E)$ бимодули $E_{*}(E)$плоские. В данном случае это каноническое взаимодействие $E_{*}(E)$ на $E_{*}(X)$ для любого помещения $X$, такой, что это действие хорошо ведет себя относительно стабильной гомотопической категории, т. е. существует изоморфизм

$$E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}$$

следовательно, мы можем использовать единицу измерения кольцевого спектра $E$

$$\eta :\mathbb {S} \to E$$

чтобы получить сотрудничество $E_{*}(E)$ на $E_{*}(X)$.

Аксиоматическая характеристика

Норман Стинрод и Дэвид Б. Эпштейн ( 1962 ) показали, что квадраты Стинрода $Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}$ характеризуются следующими 5 аксиомами:

1. Естественность: $Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)$ является аддитивным гомоморфизмом и естественен относительно любого $f\colon X\to Y$, так $f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))$.
2. $Sq^{0}$ является тождественным гомоморфизмом.
3. $Sq^{n}(x)=x\smile x$ для $x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)$.
4. Если $n>\deg(x)$ затем $Sq^{n}(x)=0$
5. Формула Картана: $Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)$

Кроме того, квадраты Стинрода обладают следующими свойствами:

• $Sq^{1}$ — гомоморфизм Бокштейна $\beta$ точной последовательности $0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.$
• $Sq^{i}$коммутирует со связующим морфизмом длинной точной последовательности в когомологиях. В частности, он коммутирует относительно подвески $H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)$
• Они удовлетворяют соотношениям Адема, описанным ниже.

Аналогично следующие аксиомы характеризуют приведенную $p$-ые полномочия для $p>2$.

1. Естественность: $P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$ является аддитивным гомоморфизмом и естественным.
2. $P^{0}$ является тождественным гомоморфизмом.
3. $P^{n}$ это чашка $p$-я степень по классам степеней $2n$.
4. Если $2n>\deg(x)$ затем $P^{n}(x)=0$
5. Формула Картана: $P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)$

Как и прежде, приведенные p -е степени также удовлетворяют соотношениям Адема и коммутируют с операторами надстройки и границы.

Адема

Отношения Адема для $p=2$были предположены Вэнь-цуном Ву ( 1952 ) и установлены Хосе Адемом ( 1952 ). Они даны

$Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{j-k-1 \choose i-2k}Sq^{i+j-k}Sq^{k}$

для всех $i,j>0$ такой, что $i<2j$. (Биномиальные коэффициенты следует интерпретировать по модулю 2.) Соотношения Адема позволяют записать произвольную композицию квадратов Стинрода как сумму базисных элементов Серра – Картана.

Для нечетных $p$ отношения с Адемом

$P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}$

для a < pb и

$P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}$

для $a\leq pb$.

Буллета

Шон Р. Буллет и Ян Г. Макдональд ( 1982 ) переформулировали отношения Адема как следующие идентичности.

Для $p=2$ помещать

$P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}$

то соотношения Адема эквивалентны

$P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})$

Для $p>2$ помещать

$P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}$

то соотношения Адема эквивалентны утверждению, что

$(1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})$

симметричен в $s$ и $t$. Здесь $\beta$ — операция Бокштейна и $(\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta$.

Геометрическая

Существует хорошая простая геометрическая интерпретация квадратов Стинрода с использованием многообразий, представляющих классы когомологий. Предполагать $X$ — гладкое многообразие, и рассмотрим класс когомологий $\alpha \in H^{*}(X)$ геометрически представлено как гладкое подмногообразие $f\colon Y\hookrightarrow X$. Когомологически, если мы позволим $1=[Y]\in H^{0}(Y)$ представляют собой фундаментальный класс $Y$ затем карта продвижения

$f_{*}(1)=\alpha$

дает представление о $\alpha$. Кроме того, с этим погружением связано вещественное векторное расслоение, называемое нормальным расслоением. $\nu _{Y/X}\to Y$. Квадраты Стинрода $\alpha$ теперь можно понять: они являются развитием класса Штифеля-Уитни нормального расслоения.

$Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),$

что дает геометрическое объяснение того, почему продукты Стинрода в конечном итоге исчезают. Обратите внимание: поскольку отображения Стинрода являются гомоморфизмами групп, если у нас есть класс $\beta$ которую можно представить в виде суммы

$\beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},$

где $\alpha _{k}$ представлены как многообразия, мы можем интерпретировать квадраты классов как суммы форвардов нормальных расслоений лежащих в их основе гладких многообразий, т. е.

$Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).$

Также эта эквивалентность сильно связана с формулой Ву .

Расчеты

Комплексные проективные пространства

На комплексной проективной плоскости $\mathbf {CP} ^{2}$, существуют только следующие нетривиальные группы когомологий:

$H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z}$,

как можно вычислить с помощью клеточного разложения. Это означает, что единственным возможным нетривиальным произведением Стинрода является $Sq^{2}$ на $H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)$так как это дает чашку произведения по когомологиям. Поскольку структура продукта чашки на $H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)$нетривиален, этот квадрат нетривиален. Аналогичные вычисления производятся и в комплексном проективном пространстве. $\mathbf {CP} ^{6}$, где единственными нетривиальными квадратами являются $Sq^{0}$ и операции возведения в квадрат $Sq^{2i}$ о группах когомологий $H^{2i}$представляющий чашку продукта . В $\mathbf {CP} ^{8}$ квадрат

$Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)$

может быть вычислено с использованием описанных выше геометрических методов и связи между классами Черна и классами Стифеля – Уитни; Обратите внимание, что $f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}$ представляет ненулевой класс в $H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)$. Его также можно вычислить непосредственно по формуле Картана, поскольку $x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})$ и

${\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}$

проективное

Операции Стинрода для реальных проективных пространств можно легко вычислить, используя формальные свойства квадратов Стинрода. Напомним, что

$H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],$

где $\deg(x)=1.$ Для операций по $H^{1}$ мы знаем это

${\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}$

Из соотношения Картана следует, что общая площадь

$Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots$

является кольцевым гомоморфизмом

$Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).$

Следовательно

$Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}$

Поскольку существует только одна степень $n+i$ часть предыдущей суммы, мы имеем, что

$Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.$

Строительство

Предположим, что $\pi$ это какая-то степень $n$ подгруппа симметрической группы на $n$ точки, $u$ класс когомологий в $H^{q}(X,B)$, $A$ абелева группа, на которую действует $\pi$, и $c$ класс когомологий в $H_{i}(\pi ,A)$. Стинрод ( 1953a , 1953b ) показал, как сконструировать двигатель пониженной мощности. $u^{n}/c$ в $H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )$, следующее.

1. Взяв внешний продукт $u$ с самим собой $n$ раз дает эквивариантный коцикл на $X^{n}$ с коэффициентами в $B\otimes \cdots \otimes B$.
2. Выбирать $E$ быть сжимаемым пространством , на котором $\pi$ действует свободно и эквивариантное отображение из $E\times X$ к $X^{n}.$ Отступая назад $u^{n}$ по этому отображению дает эквивариантный коцикл на $E\times X$ и, следовательно, коцикл $E/\pi \times X$ с коэффициентами в $B\otimes \cdots \otimes B$.
3. Взяв наклонное произведение с $c$ в $H_{i}(E/\pi ,A)$ дает коцикл $X$ с коэффициентами в $H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)$.

Квадраты Стинрода и приведенные степени являются частными случаями этой конструкции, когда $\pi$ является циклической группой простого порядка $p=n$ действуя как циклическая перестановка $n$ элементы и группы $A$ и $B$ цикличны по порядку $p$, так что $H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)$ также является циклическим порядка $p$.

Стинрода

Помимо аксиоматической структуры, которой удовлетворяет алгебра Стинрода, она обладает рядом дополнительных полезных свойств.

Основа

Жан-Пьер Серр ( 1953 ) (за $p=2$) и Анри Картан ( 1954 , 1955 ) (для $p>2$) описал структуру алгебры Стинрода стабильного мода $p$операции когомологии, показывающие, что он порождается гомоморфизмом Бокштейна вместе с приведенными степенями Стинрода, а отношения Адема порождают идеал отношений между этими образующими. В частности, они нашли явный базис алгебры Стинрода. Этот базис опирается на определенное понятие допустимости целочисленных последовательностей. Мы говорим последовательность

$i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}$

допустимо , если для каждого $j$, у нас это есть $i_{j}\geq 2i_{j+1}$. Тогда элементы

$Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},$

где $I$является допустимой последовательностью, образующей базис (базис Серра – Картана) для алгебры Стинрода по модулю 2, называемый допустимым базисом . Аналогичное основание имеется и в деле $p>2$ состоящий из элементов

$Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}$,

такой, что

$i_{j}\geq pi_{j+1}$

$i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)$

$Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}$

$Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}$

Милнора

Алгебра Стинрода имеет больше структуры, чем градуированная $\mathbf {F} _{p}$-алгебра. Это также алгебра Хопфа , так что, в частности, существует диагональное отображение или коумножения. отображение

$\psi \colon A\to A\otimes A$

индуцирован формулой Картана для действия алгебры Стинрода на чашечное произведение. Эту карту легче описать, чем карту продукта, и она имеет вид

$\psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}$

$\psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}$

$\psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta$.

Из этих формул следует, что алгебра Стинрода кокоммутативна .

Линейный двойник $\psi$ делает (градуированное) линейное двойственное $A_{*}$A в алгебру. Джон Милнор ( 1958 ) доказал, что $p=2$, что $A_{*}$ является полиномиальной алгеброй с одним генератором $\xi _{k}$ степени $2^{k}-1$, для каждого k и для $p>2$ двойственная алгебра Стинрода $A_{*}$ — тензорное произведение алгебры полиномов от образующих $\xi _{k}$ степени $2p^{k}-2$ $(k\geq 1)$ и внешняя алгебра в образующих τ _k степени $2p^{k}-1$ $(k\geq 0)$. Мономиальный базис для $A_{*}$затем дает другой выбор базиса для A , называемый базисом Милнора. С двойственной алгеброй Стинрода часто удобнее работать, поскольку умножение (супер)коммутативно. Коумножение для $A_{*}$является двойственным произведением на A ; это дано

$\psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.$ где $\xi _{0}=1$, и

$\psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}$ если $p>2$.

Единственные примитивные элементы $A_{*}$ для $p=2$ это элементы формы $\xi _{1}^{2^{i}}$, и они двойственны $Sq^{2^{i}}$ (единственные неразложимые элементы A ).

к

Двойственные алгебры Стинрода являются суперкоммутативными алгебрами Хопфа, поэтому их спектры представляют собой схемы супергрупп алгебр. Эти групповые схемы тесно связаны с автоморфизмами одномерных аддитивных формальных групп. Например, если $p=2$ тогда двойственная алгебра Стинрода является групповой схемой автоморфизмов одномерной аддитивной формальной групповой схемы. $x+y$это тождество первого порядка. Эти автоморфизмы имеют вид

$x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots$

Хопфа

The $p=2$Алгебра Стинрода допускает фильтрацию конечными субалгебрами Хопфа. Как ${\mathcal {A}}_{2}$ создается элементами

$Sq^{2^{i}}$,

мы можем формировать подалгебры ${\mathcal {A}}_{2}(n)$ порожденный квадратами Стинрода

$Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}$,

давая фильтрацию

${\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.$

Эти алгебры важны, поскольку их можно использовать для упрощения многих вычислений спектральной последовательности Адамса, например для $\pi _{*}(ko)$, и $\pi _{*}(tmf)$.

Алгебраическая конструкция

Ларри Смит ( 2007 ) дал следующую алгебраическую конструкцию алгебры Стинрода над конечным полем. $\mathbb {F} _{q}$порядка q . Если V — векторное пространство над $\mathbb {F} _{q}$затем напишите для симметричной алгебры V SV . Существует гомоморфизм алгебр

${\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}$

где F — Фробениуса SV . эндоморфизм Если мы положим

$P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2$

или

$P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2$

для $f\in SV$ тогда, если V бесконечномерно, элементы $P^{I}$ сгенерировать изоморфизм алгебры подалгебре алгебры Стинрода, порожденной приведенными p'- ми степенями для нечетных p или четными квадратами Стинрода $Sq^{2i}$ для $p=2$.

Приложения

Ранними применениями алгебры Стинрода были вычисления Жан-Пьером Серром некоторых гомотопических групп сфер с использованием совместимости трансгрессивных дифференциалов в спектральной последовательности Серра с операциями Стинрода, а также классификация Рене Томом гладких многообразий с точностью до кобордизма через отождествление градуированного кольца классов бордизмов с гомотопическими группами комплексов Тома в стабильной области. для случая ориентированных многообразий Последнее было уточнено Ч.Т.С. Уоллом . Знаменитое применение операций Стинрода, включающее факторизацию с помощью операций вторичных когомологий, связанных с соответствующими отношениями Адема, было решением Дж. Фрэнком Адамсом Хопфа одной проблемы инварианта . Одним из довольно элементарных приложений алгебры Стинрода по модулю 2 является следующая теорема.

Теорема . Если есть карта $S^{2n-1}\to S^{n}$ инварианта Хопфа единица , то n является степенью двойки.

В доказательстве используется тот факт, что каждый $Sq^{k}$разложимо для k , не являющегося степенью 2; то есть такой элемент является произведением квадратов строго меньшей степени.

Майкл А. Манделл дал доказательство следующей теоремы, изучая алгебру Стинрода (с коэффициентами в алгебраическом замыкании $\mathbb {F} _{p}$):

Теорема . Сингулярный функтор коцепи с коэффициентами в алгебраическом замыкании $\mathbb {F} _{p}$ индуцирует контравариантную эквивалентность из гомотопической категории связных $p$-полные нильпотентные пространства конечных $p$-type в полную подкатегорию гомотопической категории [[ $E_{\infty }$-алгебры]] с коэффициентами в алгебраическом замыкании $\mathbb {F} _{p}$.

последовательностью Адамса и гомотопическими группами

Когомологии алгебры Стинрода — это $E_{2}$термин для ( p -локальной ) спектральной последовательности Адамса , опорой которой является p -компонента стабильных гомотопических групп сфер. Более конкретно, $E_{2}$ член этой спектральной последовательности может быть идентифицирован как

$\mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).$

Именно это подразумевается под афоризмом «когомологии алгебры Стинрода есть приближение к стабильным гомотопическим группам сфер».

См. также

• Операция когомологий Понтрягина
• Дуальная алгебра Стинрода
• Когомологическая операция

Ссылки

Педагогический

• Малкевич, Кэри, Алгебра Стинрода (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 15 августа 2017 г.
• Классы характеристик - содержат больше вычислений, например, для многообразий Ву.
• Квадраты Стинрода в спектральной последовательности Адамса - содержат интерпретации терминов Ext и квадратов Стринрода.

Мотивическая установка

• Операции пониженной мощности в мотивных когомологиях
• Мотивические когомологии с Z/2 -коэффициентами
• Мотивические пространства Эйленберга–Маклана
• Гомотопия $\mathbb {C}$-мотивные модульные формы – относится ${\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)$ мотивировать тмф

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-00523-2 . ОСЛК   1083550 .
• Адем, Хосе (1952), «Итерация квадратов Стинрода в алгебраической топологии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 38 (8): 720–726, Bibcode : 1952PNAS... 38. .720A , doi : 10.1073/pnas.38.8.720 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   88494 , MR   0050278 , PMC   1063640 , PMID   16589167
• Буллетт, Шон Р.; Макдональд, Ян Г. (1982), «Об отношениях Адема», Топология , 21 (3): 329–332, doi : 10.1016/0040-9383(82)90015-5 , ISSN   0040-9383 , MR   0649764
• Картан, Анри (1954), «Sur les groupes d'Eilenberg – Mac Lane. II», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 40 (8): 704–707, Bibcode : 1954PNAS... 40..704C , doi : 10.1073/pnas.40.8.704 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   88981 , MR   0065161 , PMC   534145 , PMID   16589542
• Картан, Анри (1955), «Sur l'itération des Operations de Steenrod», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 (1): 40–58, doi : 10.1007/BF02564270 , ISSN   0010-2571 , MR   0068219 , S2CID   124558011
• Картан, Анри (1954–1955). «Определение алгебр $H_{*}(\pi ,n;Z_{2})$ И $H^{*}(\pi ,n;Z_{2})$; стабильные группы по модулю $p$» (PDF) . Семинар Анри Картана (на французском языке). 7 (1): 1–8.
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета, 2002. Доступно бесплатно в Интернете на домашней странице автора .
• Малыгин С.Н.; Постников, М.М. (2001) [1994], «Приведенная мощность Стинрода» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Малыгин С.Н.; Постников, М.М. (2001) [1994], «Квадрат Стинрода» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мэй, Дж. Питер (1970), «Общий алгебраический подход к операциям Стинрода» (PDF) , Алгебра Стинрода и ее приложения (Процедуры конференции по празднованию шестидесятилетия Н. Э. Стинрода, Мемориальный институт Баттел, Колумбус, Огайо, 1970 г.) ) , Конспект лекций по математике, вып. 168, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 153–231, CiteSeerX   10.1.1.205.6640 , doi : 10.1007/BFb0058524 , ISBN  978-3-540-05300-2 , МР   0281196
• Милнор, Джон Уиллард (1958), «Алгебра Стинрода и ее двойственность», Annals of Mathematics , Second Series, 67 (1): 150–171, doi : 10.2307/1969932 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969932 , MR   0099653
• Мошер, Роберт Э.; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и приложения в теории гомотопий , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-46664-4 , МР   0226634 , OCLC   212909028
• Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Академическая пресса . ISBN  978-0-08-087440-1 . OCLC   316566772 .
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Алгебра Стинрода» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1953), «Когомологии по модулю 2 комплексов д'Эйленберга – Маклейна», Commentarii Mathematici Helvetici , 27 (1): 198–232, doi : 10.1007/BF02564562 , ISSN   0010-2571 , MR   0060234 , S2CID   122407123
• Смит, Ларри (2007). «Алгебраическое введение в алгебру Стинрода». В Хаббаке, Джон; Хунг, Нгуен HV; Шварц, Лайонел (ред.). Труды школы и конференции по алгебраической топологии . Монографии по геометрии и топологии. Том. 11. С. 327–348. arXiv : 0903.4997 . дои : 10.2140/gtm.2007.11.327 . МР   2402812 . S2CID   14167493 .
• Стинрод, Норман Э. (1947), «Продукты коциклов и расширения отображений», Annals of Mathematics , Second Series, 48 ​​(2): 290–320, doi : 10.2307/1969172 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969172 , MR   0022071
• Стинрод, Норман Э. (1953a), «Группы гомологии симметричных групп и операции пониженной степени», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 39 (3): 213–217, Bibcode : 1953PNAS... 39..213S , doi : 10.1073/pnas.39.3.213 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   88780 , MR   0054964 , PMC   1063756 , PMID   16589250
• Стинрод, Норман Э. (1953b), «Циклические приведенные степени классов когомологии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 39 (3): 217–223, Bibcode : 1953PNAS...39.. 217S , doi : 10.1073/pnas.39.3.217 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   88781 , MR   0054965 , PMC   1063757 , PMID   16589251
• Стинрод, Норман Э .; Эпштейн, Дэвид Б.А. (1962), Эпштейн, Дэвид Б.А. (редактор), Когомологические операции , Анналы математических исследований, том. 50, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-07924-0 , МР   0145525
• Ву, Вэнь-цюн (1952), О полномочиях Стинрода , Коллоквиум по топологии Страсбурга, том. IX, Национальная и университетская библиотека Страсбурга, MR   0051510.