Дуальная алгебра Стинрода

В алгебраической топологии посредством алгебраической операции (дуализации) существует ассоциированная коммутативная алгебра из некоммутативных алгебр Стинрода, называемых двойственными алгебрами Стинрода . Эта двойственная алгебра имеет ряд удивительных преимуществ, таких как коммутативность и предоставление технических инструментов для вычисления спектральной последовательности Адамса во многих случаях (например, $\pi _{*}(MU)$) с большой легкостью.

Определение

Отзывать что алгебра Стинрода ${\mathcal {A}}_{p}^{*}$ (также обозначается ${\mathcal {A}}^{*}$) — градуированная некоммутативная алгебра Хопфа , которая является кокоммутативной, то есть ее коумножение кокоммутативно. Это означает, что если мы возьмем двойственную алгебру Хопфа, обозначенную ${\mathcal {A}}_{p,*}$или просто ${\mathcal {A}}_{*}$, то это дает градуированно-коммутативную алгебру, имеющую некоммутативное коумножение. Мы можем суммировать эту двойственность, дуализируя коммутативную диаграмму структуры алгебры Хопфа Стинрода:

${\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}$

Если мы дуализируем, мы получим карты

${\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}\otimes {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\phi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}$

дающие основные структурные отображения двойственной алгебры Хопфа. Оказывается, существует хорошая структурная теорема для двойственной алгебры Хопфа, разделенной тем, является ли простое число $2$ или странный.

Случай p=2

В этом случае двойственная алгебра Стинрода является градуированной коммутативной полиномиальной алгеброй. ${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]$ где степень $\deg(\xi _{n})=2^{n}-1$. Тогда карта копродукции имеет вид

$\Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}$

отправка

$\Delta \xi _{n}=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{2^{i}}\otimes \xi _{i}$

где $\xi _{0}=1$.

Общий случай p > 2

Для всех остальных простых чисел двойственная алгебра Стинрода немного более сложна и включает в себя градуированно-коммутативную внешнюю алгебру в дополнение к градуированно-коммутативной полиномиальной алгебре. Если мы позволим $\Lambda (x,y)$ обозначим внешнюю алгебру над $\mathbb {Z} /p$ с генераторами $x$ и $y$, то двойственная алгебра Стинрода имеет представление

${\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Lambda (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )$

где

${\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n}-1\end{aligned}}$

Кроме того, оно имеет коумножение $\Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}$ определяется

${\begin{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}\\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}\end{aligned}}$

где снова $\xi _{0}=1$.

Остальная структура алгебры Хопфа в обоих случаях

Остальные структуры алгебры Хопфа в обоих случаях описываются совершенно одинаково. Есть карта юнитов $\eta$ и карта единиц $\varepsilon$

${\begin{aligned}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\\\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{aligned}}$

оба являются изоморфизмами степени $0$: они взяты из оригинальной алгебры Стинрода. Кроме того, существует еще карта сопряжения $c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}$ определяется рекурсивно уравнениями

${\begin{aligned}c(\xi _{0})&=1\\\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{n-i}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{aligned}}$

Кроме того, мы будем обозначать ${\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}$ как ядро ​​карты единиц $\varepsilon$ который изоморфен ${\mathcal {A}}_{*}$ в градусах $>1$.

См. также

• Спектральная последовательность Адамса-Новикова