Спектральная последовательность Адамса

В математике спектральная последовательность Адамса — это спектральная последовательность, введенная Дж. Фрэнком Адамсом ( 1958 ), которая вычисляет стабильные гомотопические группы топологических пространств . Как и все спектральные последовательности, это вычислительный инструмент; он связывает теорию гомологии с тем, что сейчас называется теорией стабильной гомотопии . Это переформулировка с использованием гомологической алгебры и расширение метода, называемого «убийством гомотопических групп», применяемого французской школой Анри Картана и Жан-Пьера Серра .

Мотивация

Для всего ниже раз и навсегда мы фиксируем простое число p . Все пространства считаются комплексами CW . Обычные группы когомологий $H^{*}(X)$ понимаются как означающие $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$.

— попытаться понять совокупность всех отображений с точностью до гомотопии между произвольными пространствами X и Y. Основная цель алгебраической топологии Это чрезвычайно амбициозно: в частности, X когда $S^{n}$, эти отображения образуют n- ю гомотопическую группу Y . Более разумная (но все же очень трудная!) цель — понять множество $[X,Y]$ отображений (с точностью до гомотопии), которые остаются после применения функтора подвески многократного набором стабильных отображений из X в Y. . Мы называем это (Это отправная точка стабильной теории гомотопий ; более современные трактовки этой темы начинаются с концепции спектра . В оригинальной работе Адамса спектры не использовались, и мы избегаем дальнейшего упоминания о них в этом разделе, чтобы сохранить содержание здесь в неизменном виде. максимально элементарно.)

Набор $[X,Y]$ оказывается абелевой группой, и если X и Y — разумные пространства, эта группа конечно порождена. Чтобы выяснить, что это за группа, сначала выделим простое число p . В попытке вычислить p -кручение $[X,Y]$, смотрим на когомологии: отправляем $[X,Y]$ в Хом( H ^* ( Ю ), Ч ^* ( Х )). Это хорошая идея, поскольку группы когомологий обычно легко вычислить.

Ключевая идея заключается в том, что $H^{*}(X)$ — это больше, чем просто градуированная абелева группа , и даже больше, чем градуированное кольцо (через чашечное произведение ). Представленность функтора когомологий делает H ^* ( X ) модуль над алгеброй своих стабильных когомологических операций , Стинрода A. алгеброй Думая о Х. ^* ( X ) поскольку A -модуль забывает некоторую структуру произведения чашки, но выигрыш огромен: Hom( H ^* ( Ю ), Ч ^* ( X )) теперь можно считать A -линейным! Априори A -модуль видит не больше [ X , Y ], чем когда мы считали его отображением векторных пространств над F _p . Но теперь мы можем рассмотреть производные функторы Hom в категории A -модулей Ext _A ^р ( Ч ^* ( Ю ), Ч ^* ( Х )). Они получают вторую оценку после оценки H. ^* ( Y ), и таким образом мы получаем двумерную «страницу» алгебраических данных. Группы Ext предназначены для измерения неспособности Хома сохранить алгебраическую структуру, так что это разумный шаг.

Смысл всего этого в том, что A настолько велико, что приведенный выше лист когомологических данных содержит всю информацию, необходимую нам для восстановления p -примарной части [ X , Y ], которая является гомотопическими данными. Это большое достижение, поскольку когомологии задумывались как вычислимые, а гомотопия — как мощная. Это содержание спектральной последовательности Адамса.

Классическая формулировка

Формулировка для вычисления гомотопических групп спектров

Классическую спектральную последовательность Адамса можно сформулировать для любого связного спектра. $X$ конечного типа , что означает $\pi _{i}(X)=0$ для $i<0$ и $\pi _{i}(X)$ является конечно порожденной абелевой группой каждой степени. Тогда существует спектральная последовательность $E_{*}^{*,*}(X)$ такой, что

1. $E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)$ для $A_{p}$ мод $p$ Алгебра Стинрода
2. Для $X$ конечного типа, $E_{\infty }^{*,*}$ представляет собой биградуированную группу, связанную с фильтрацией $\pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}$ ( p-адические целые числа )

Обратите внимание, что это означает, что $X=\mathbb {S}$, это вычисляет $p$-кручение гомотопических групп спектра сфер , т. е. стабильных гомотопических групп сфер. Кроме того, поскольку для любого CW-комплекса $Y$ мы можем рассмотреть спектр суспензии $\Sigma ^{\infty }Y$, это также дает утверждение предыдущей формулировки.

Это утверждение обобщает еще немного, заменяя ${\mathcal {A}}_{p}$-модуль $\mathbb {Z} /p$ с группами когомологий $H^{*}(Y)$ для некоторого связующего спектра $Y$ (или топологическое пространство $Y$). Это связано с тем, что при построении спектральной последовательности используется «свободное» разрешение $H^{*}(X)$ как ${\mathcal {A}}_{p}$-модуля, следовательно, мы можем вычислить группы Ext с помощью $H^{*}(Y)$ в качестве второй записи. Таким образом, мы получаем спектральную последовательность с $E_{2}$-страница предоставлена

$E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))$

который обладает свойством сходимости, изоморфным градуированным частям фильтрации $p$-кручение стабильной гомотопической группы гомотопических классов отображений между $X$ и $Y$, то есть

$E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{k}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}$

Спектральная последовательность стабильных гомотопических групп сфер

Например, если мы позволим обоим спектрам быть спектром сферы, тогда $X=Y=\mathbb {S}$, то спектральная последовательность Адамса обладает свойством сходимости

$E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}$

давая технический инструмент для подхода к вычислению стабильных гомотопических групп сфер. Оказывается, многие из первых членов можно вычислить явно на основе чисто алгебраической информации. ^{стр. 23–25} . Также обратите внимание, что мы можем переписать $H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p$, поэтому $E_{2}$-страница

$E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}$

Мы включаем эту информацию для расчета ниже для $p=2$.

Дополнительные условия из постановления

Учитывая резолюцию Адамса

$\cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)$

у нас есть $E_{1}$-термины как

$E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))$

для градуированных Hom-групп. Тогда $E_{1}$-page можно записать как

$E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}$

так что степень $s$ Можно подумать о том, насколько «глубоко» мы углубляемся в разрешении Адамса, прежде чем сможем найти генераторы.

Расчеты

Сама по себе последовательность не является алгоритмическим устройством, но пригодна для решения задач в конкретных случаях.

Оценка дифференциала

$r$дифференциал Адамса всегда идет влево 1 и вверх $r$. То есть,

$d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s+r,t+r-1}$.

Примеры со спектрами Эйленберга – Маклейна

Некоторые из самых простых расчетов связаны со спектрами Эйленберга – Маклейна, такими как $X=H\mathbb {Z}$ и $X=H\mathbb {Z} /(p^{k})$. Для первого случая мы имеем $E_{1}$ страница

$E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$

давая свернувшуюся спектральную последовательность, следовательно $E_{1}=E_{\infty }$. Это можно переписать как

${\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}$

давая $E_{2}$-страница. В другом случае обратите внимание, что существует последовательность коволокон

$H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z}$

что в конечном итоге приводит к расщеплению когомологий, поэтому $H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )$ как ${\mathcal {A}}_{p}$-модули. Затем $E_{2}$-страница $H^{*}(H\mathbb {Z} /p)$ можно прочитать как

$E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$

Ожидаемый $E_{\infty }$-страница

$E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$.

Единственный способ сходиться этой спектральной последовательности к этой странице — это если на каждом элементе поддерживаются нетривиальные дифференциалы с градуировкой Адамса. $(s,s+1)$.

Другие приложения

Первоначальное использование Адамсом своей спектральной последовательности было первым доказательством проблемы инварианта 1 Хопфа: $\mathbb {R} ^{n}$ допускает структуру алгебры с делением только для n = 1, 2, 4 или 8. Впоследствии он нашел гораздо более короткое доказательство, используя когомологические операции в K-теории .

Теорема Тома об изоморфизме связывает дифференциальную топологию со стабильной гомотопической теорией, и именно здесь спектральная последовательность Адамса нашла свое первое широкое применение: в 1960 году Джон Милнор и Сергей Новиков использовали спектральную последовательность Адамса для вычисления кольца коэффициентов комплексного кобордизма . Кроме того, Милнор и С.Т.С. Уолл использовали спектральную последовательность, чтобы доказать гипотезу Тома о структуре кольца ориентированных кобордизмов : два ориентированных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда их Понтрягина и числа Стифеля – Уитни совпадают.

Стабильные гомотопические группы сфер

Визуальная диаграмма, демонстрирующая $E_{2}$ страница спектральной последовательности Адамса, вычисляющая стабильные гомотопические группы сфер. Точки обозначают элементы, оставшиеся от $E_{1}$ Страница и диагональные линии, движущиеся вверх и влево, представляют различные дифференциалы в спектральной последовательности. Дифференциал $d_{r}$ перемещается на одну единицу влево и $r$ единицы вверх. Вертикальные линии используются как инструмент учета для определения структуры торсионных групп. Более того, они представляют собой умножение на $2$. Линии, перемещающиеся вверх и вправо на одну единицу, представляют собой умножение на $h_{1}$.

Используя приведенную выше спектральную последовательность для $X=Y=\mathbb {S}$ мы можем вычислить несколько членов явно, давая некоторые из первых стабильных гомотопических групп сфер. Для $p=2$ это равнозначно рассмотрению $E_{2}$-страница с

$E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{2}}^{s,t}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} /2)$

Это можно сделать, сначала взглянув на резолюцию Адамса $\mathbb {Z} /2$. С $\mathbb {Z} /2$ находится в степени $0$, у нас есть сюръекция

${\mathcal {A}}_{2}\cdot \iota \to \mathbb {Z} /2$

где ${\mathcal {A}}_{2}$ имеет генератор в степени $0$ обозначенный $\iota$. Ядро $K_{0}$ состоит из всех элементов $Sq^{I}\iota$ для допустимых мономов $Sq^{I}$ создание ${\mathcal {A}}_{2}$, следовательно, у нас есть карта

$\bigoplus _{I{\text{ admissible}}}{\mathcal {A}}_{2}\cdot Sq^{I}\iota \to K_{0}$

и обозначим каждый из образующих, отображающихся в $Sq^{i}\iota$ в прямой сумме как $\alpha _{i}$, а остальные генераторы как $Sq^{I}\alpha _{j}$ для некоторых $j$. Например,

${\begin{aligned}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}\iota &&Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota &&Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota &&Sq^{3}\alpha _{1}\mapsto Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}&&Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{aligned}}$

Обратите внимание, что последние два элемента $\alpha _{i}$ отображаются в тот же элемент, что следует из соотношений Адема. Также в ядре есть такие элементы, как $Sq^{1}\alpha _{1}$ с

$Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}Sq^{1}\iota =0$

из-за отношения Адема. Назовем генератор этого элемента в $F_{2}$, $\beta _{2}$. Мы можем применить тот же процесс и получить ядро $K_{1}$, решить проблему и так далее. Когда мы это сделаем, мы получим $E_{1}$-страница, которая выглядит как

$E_{1}^{s,t}={\begin{array}{c|ccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\4&Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota &Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&Sq^{2}\beta _{2}&\cdots \\3&Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota &Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&Sq^{1}\beta _{2}&\cdots \\2&Sq^{2}\iota &\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&\beta _{2}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&0&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}$

который может быть расширен с помощью компьютера до степени $100$ с относительной легкостью. Используя найденные генераторы и соотношения, можно вычислить $E_{2}$-page с относительной легкостью. Иногда теоретики гомотопии любят переставлять эти элементы, используя горизонтальный индекс для обозначения $s$ и вертикальный индекс обозначают $t-s$ дающий другой тип диаграммы для $E_{2}$-страница ^{стр. 21} . См. диаграмму выше для получения дополнительной информации.

Обобщения

Спектральная последовательность Адамса-Новикова является обобщением спектральной последовательности Адамса, введенной Новиковым (1967) , где обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий , часто комплексными бордизмами или когомологиями Брауна-Петерсона . Это требует знания алгебры операций стабильных когомологий для рассматриваемой теории когомологий, но позволяет выполнять вычисления, совершенно неразрешимые с помощью классической спектральной последовательности Адамса.

См. также

• Postnikov system
• Алгебра Стинрода
• Спектр (топология)
• Резолюция Адамса
• Гипотезы Равенела

Ссылки

• Адамс, Дж. Франк (1958), «О структуре и приложениях алгебры Стинрода», Helvetic Mathematical Commentary , 32 (1): 180–214, doi : 10.1007/BF02564578 , ISSN   0010-2571 , MR   0096219 , S2CID   6
• Адамс, Дж. Франк (2013) [1964], Стабильная теория гомотопий , Конспект лекций по математике, том. 3, Спрингер, ISBN  9783662159422 , МР   0185597
• Ботвинник, Борис (1992), Многообразия с особенностями и спектральная последовательность Адамса – Новикова , Серия лекций Лондонского математического общества, Cambridge University Press , ISBN  0-521-42608-1
• Макклири, Джон (февраль 2001 г.), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-56759-6 , МР   1793722
• Novikov, Sergei (1967), "Methods of algebraic topology from the point of view of cobordism theory", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (in Russian), 31 : 855–951
• Равенел, Дуглас К. (1978), «Руководство для новичков по спектральной последовательности Адамса – Новикова», в Барратте, Миннесота; Маховальд, Марк Э. (ред.), Геометрические приложения гомотопической теории (Proc. Conf., Эванстон, Иллинойс, 1977), II , Конспекты лекций по математике, том. 658, Springer, стр. 404–475, doi : 10.1007/BFb0068728 , ISBN.  978-3-540-08859-2 , МР   0513586
• Равенел, Дуглас К. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-2967-7 , МР   0860042 .

Обзоры вычислений

• Исаксен, округ Колумбия; Ван, Г.; Сюй, З. (2020). «Более стабильные стебли». arXiv : 2001.04511 [ math.AT ]. – вычисляет все спектральные последовательности Адамса для стабильных гомотопических групп сфер до степени 90.

Условия высшего порядка

• Бауэс, Х.Дж.; Джибладзе, М. (2004). «Вычисление E_3-члена спектральной последовательности Адамса». arXiv : math/0407045 .
• Бауэс, Х.Дж.; Блан, Д. (2015). «Производные функторы высшего порядка и спектральная последовательность Адамса». Журнал чистой и прикладной алгебры . 219 (2): 199–239. arXiv : 1108.3376 . дои : 10.1016/j.jpaa.2014.04.018 . S2CID   119144480 .
• Бауэс, Х.Дж.; Франкленд, М. (2016). «Двухтрековые алгебры и спектральная последовательность Адамса». J. Гомотопические отношения. Структурировать . 11 (4): 679–713. arXiv : 1505.03885 . дои : 10.1007/s40062-016-0147-x . S2CID   119658430 .

Внешние ссылки

• Брунер, Роберт Р. (2 июня 2009 г.), Учебник по спектральной последовательности Адамса (PDF)
• Хэтчер, Аллен , «Спектральная последовательность Адамса» (PDF) , Спектральные последовательности