Резолюция Адамса

В математике , в частности в алгебраической топологии , существует разрешение, аналогичное свободному разрешению спектров , дающее инструмент для построения спектральной последовательности Адамса . По сути, идея состоит в том, чтобы взять связный спектр конечного типа. $X$ и итеративно разрешать с другими спектрами, которые находятся в гомотопическом ядре отображения, разрешающего классы когомологий в $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)$ с использованием спектров Эйленберга – Маклейна .

Эту конструкцию можно обобщить с помощью спектра $E$, например, спектр Брауна – Петерсона $BP$, или кобордизмов комплексный спектр $MU$, и используется при построении спектральной последовательности Адамса–Новикова ^{стр. 49} .

Строительство

Мод $p$ Резолюция Адамса $(X_{s},g_{s})$ для спектра $X$ представляет собой некий «цепной комплекс» спектров, возникающий в результате рекурсивного рассмотрения слоев отображений в обобщенные спектры Эйленберга – Маклейна, дающий генераторы когомологий разрешенных спектров. ^{стр. 43} . При этом начнем с рассмотрения карты

${\begin{matrix}X\\\downarrow \\K\end{matrix}}$

где $K$ представляет собой спектр Эйленберга – Маклейна, представляющий генераторы $H^{*}(X)$, поэтому оно имеет вид

$K=\bigwedge _{k=1}^{\infty }\bigwedge _{I_{k}}\Sigma ^{k}H\mathbb {Z} /p$

где $I_{k}$ индексирует на основе $H^{k}(X)$, а карта получена из свойств спектров Эйленберга – Маклейна . Затем мы можем взять гомотопический слой этого отображения (который действует как гомотопическое ядро), чтобы получить пространство $X_{1}$. Обратите внимание: теперь мы устанавливаем $X_{0}=X$ и $K_{0}=K$. Тогда мы можем составить коммутативную диаграмму

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}\\\downarrow &&\\K_{0}\end{matrix}}$

где горизонтальная карта — это карта волокон. Рекурсивный проход по этой конструкции дает коммутативную диаграмму

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}&\leftarrow &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}$

дарю коллекцию $(X_{s},g_{s})$. Это означает

$X_{s}={\text{Hofiber}}(f_{s-1}:X_{s-1}\to K_{s-1})$

является слоем гомотопическим $f_{s-1}$ и $g_{s}:X_{s}\to X_{s-1}$ исходит из универсальных свойств гомотопического слоя.

Разрешение когомологий спектра

Теперь мы можем использовать резолюцию Адамса, чтобы построить свободную ${\mathcal {A}}_{p}$-разрешение когомологий $H^{*}(X)$ спектра $X$. Из резолюции Адамса существуют короткие точные последовательности

$0\leftarrow H^{*}(X_{s})\leftarrow H^{*}(K_{s})\leftarrow H^{*}(\Sigma X_{s+1})\leftarrow 0$

которые можно соединить вместе, чтобы сформировать длинную точную последовательность

$0\leftarrow H^{*}(X)\leftarrow H^{*}(K_{0})\leftarrow H^{*}(\Sigma K_{1})\leftarrow H^{*}(\Sigma ^{2}K_{2})\leftarrow \cdots$

предоставление свободного разрешения $H^{*}(X)$ как ${\mathcal {A}}_{p}$-модуль.

E _* -резолюция Адамса

Поскольку имеются технические трудности с изучением кольца когомологий $E^{*}(E)$ в общем ^{стр. 280} , ограничимся случаем рассмотрения коалгебры гомологий $E_{*}(E)$ (о сотрудничестве). Примечание по делу $E=H\mathbb {F} _{p}$, $H\mathbb {F} _{p*}(H\mathbb {F} _{p})={\mathcal {A}}_{*}$ — двойственная алгебра Стинрода . С $E_{*}(X)$ это $E_{*}(E)$-комодуль, мы можем сформировать биградуированную группу

${\text{Ext}}_{E_{*}(E)}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(X))$

который содержит $E_{2}$-страница спектральной последовательности Адамса–Новикова для $X$ соответствие перечню технических условий ^{стр. 50} . Чтобы получить эту страницу, мы должны построить $E_{*}$- Резолюция Адамса ^{стр. 49} , что в некоторой степени аналогично приведенному выше когомологическому разрешению. Мы говорим диаграмму вида

${\begin{matrix}X_{0}&\xleftarrow {g_{0}} &X_{1}&\xleftarrow {g_{1}} &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}$

где вертикальные стрелки $f_{s}:X_{s}\to K_{s}$ это $E_{*}$- Резолюция Адамса, если

1. $X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$ является слоем гомотопическим $f_{s}$
2. $E\wedge X_{s}$ является отказом от $E\wedge K_{s}$, следовательно $E_{*}(f_{s})$ является мономорфизмом. Под отводом мы подразумеваем наличие карты $h_{s}:E\wedge K_{s}\to E\wedge X_{s}$ такой, что $h_{s}(E\wedge f_{s})=id_{E\wedge X_{s}}$
3. $K_{s}$ является отказом от $E\wedge K_{s}$
4. ${\text{Ext}}^{t,u}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(K_{s}))=\pi _{u}(K_{s})$ если $t=0$, иначе это $0$

Хотя этот список свойств кажется длинным, они очень важны для построения спектральной последовательности. Кроме того, свойства втягивания влияют на структуру конструкции $E_{*}$-Разрешение Адамса, поскольку нам больше не нужно брать клиновую сумму спектров для каждого генератора .

Построение кольцевых спектров

Строительство $E_{*}$- Резолюцию Адамса сформулировать довольно просто по сравнению с предыдущей резолюцией для любого ассоциативного, коммутативного, связного кольцевого спектра. $E$ удовлетворяющие некоторым дополнительным гипотезам. К ним относятся $E_{*}(E)$ быть плоским $\pi _{*}(E)$, $\mu _{*}$ на $\pi _{0}$ являющийся изоморфизмом, и $H_{r}(E;A)$ с $\mathbb {Z} \subset A\subset \mathbb {Q}$ конечно порождена, для которой единственное отображение кольца

$\theta :\mathbb {Z} \to \pi _{0}(E)$

максимально расширяется.Если мы установим

$K_{s}=E\wedge F_{s}$

и пусть

$f_{s}:X_{s}\to K_{s}$

быть канонической картой, мы можем установить

$X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$

Обратите внимание, что $E$ является отказом от $E\wedge E$ из его кольцевой структуры спектра, следовательно $E\wedge X_{s}$ является отказом от $E\wedge K_{s}=E\wedge E\wedge X_{s}$, и аналогично, $K_{s}$ является отказом от $E\wedge K_{s}$. Кроме того

$E_{*}(K_{s})=E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X_{s})$

что дает желаемое ${\text{Ext}}$ с точки зрения плоскостности.

Связь с кобарным комплексом

Оказывается, $E_{1}$-терм связанной спектральной последовательности Адамса – Новикова тогда является кобар-комплексом. $C^{*}(E_{*}(X))$.

См. также

• Спектральная последовательность Адамса
• Спектральная последовательность Адамса – Новикова
• Спектр Эйленберга – Маклейна
• алгеброид Хопфа