алгеброид Хопфа

В математике, в теории алгебр Хопфа , алгеброид Хопфа — это обобщение слабых алгебр Хопфа, некоторых косых алгебр Хопфа и коммутативных k -алгеброидов Хопфа. Если k — поле, то коммутативный k -алгеброид — это когруппоидный объект в категории k -алгебр; поэтому категория таких двойственна категории группоидов k -схем. Эта коммутативная версия использовалась в 1970-х годах в алгебраической геометрии и теории стабильных гомотопий . Обобщение алгеброидов Хопфа и его основной части структуры — ассоциативных биалгеброидов — на некоммутативную базовую алгебру было введено Ж.-Х. Лу в 1996 году в результате работы над группоидами в пуассоновской геометрии (позже показанной нетривиальным эквивалентом конструкции Такеучи 1970-х годов и другой конструкции Сюй примерно в 2000 году). Их можно условно рассматривать как алгебры Хопфа над некоммутативным базовым кольцом, где слабые алгебры Хопфа становятся алгебрами Хопфа над сепарабельной алгеброй . Это теорема о том, что алгеброид Хопфа, удовлетворяющий конечному условию проективности над сепарабельной алгеброй, является слабой алгеброй Хопфа и, наоборот, слабой алгеброй Хопфа. H — алгеброид Хопфа над своей сепарабельной подалгеброй H ^л. Аксиомы антиподов были изменены Г. Бёмом и К. Шлачани (J. Algebra) в 2004 году по тензорным категориальным причинам и для включения примеров, связанных с расширениями алгебры Фробениуса глубины два .

Определение [ править ]

Основная мотивация определения алгеброида Хопфа. ^[1]^{стр.301-302} Это коммутативное алгебраическое представление алгебраического стека , которое можно представить в виде аффинных схем . В более общем смысле алгеброиды Хопфа кодируют данные предпучков группоидов категории ${\text{Aff}}$ аффинных схем. ^[2] То есть, если у нас есть группоидный объект аффинных схем

$s,t:X_{1}\rightrightarrows X_{0}$

с идентификационной картой $\iota :X_{0}\to X_{1}$ давая вложение объектов в стрелки, мы можем взять в качестве определения алгеброида Хопфа как двойственные объекты в коммутативных кольцах ${\text{CRing}}$ который кодирует эту структуру. Обратите внимание, что этот процесс по существу является применением леммы Йонеды к определению группоидных схем в категории ${\text{Aff}}$ аффинных схем. Поскольку мы можем захотеть исправить базовое кольцо, вместо этого мы рассмотрим категорию ${\text{CRing}}_{k}$ коммутативного $k$ -алгебры.

Теоретико-схемное определение [ править ]

Алгебраические объекты в определении [ править ]

Алгеброид Хопфа над коммутативным кольцом $k$ это пара $k$ -алгебры $(A,\Gamma )$ в ${\text{CRing}}_{k}$ такие, что их функтор точек

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

кодирует группоид в ${\text{Aff}}$ . Если мы исправим $B$ как некий предмет в ${\text{CRing}}_{k}$ , затем ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$ представляет собой множество объектов в группоиде и ${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)$ это набор стрелок. Это означает наличие карт

${\begin{aligned}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{ left unit/ source map}}\\\eta _{R}&:A\to \Gamma &{\text{ right unit/ target map}}\\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma &{\text{ coproduct/ composition map}}\\\varepsilon &:\Gamma \to A&{\text{ counit/ identity map }}\\c&:\Gamma \to \Gamma &{\text{ conjugation/ inverse map}}\end{aligned}}$

где текст слева от косой черты — это традиционное слово, используемое для обозначения карты алгебр, дающей структуру алгеброида Хопфа, а текст справа от косой черты — это какая соответствующая структура на группоиде

${\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

эти карты соответствуют, что означает, что их двойственные карты из вложения Йонеды дают структуру группоида. Например,

$\eta _{L}^{*}:{\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightarrow {\text{Hom}}_{k}(A,-)$

соответствует исходной карте $s$ .

эти карты которым должны удовлетворять Аксиомы ,

Помимо этих отображений, они удовлетворяют множеству аксиом, двойственных аксиомам группоида. Обратите внимание, мы исправим $B$ как некий предмет в ${\text{CRing}}_{k}$ предоставление

$\varepsilon \eta _{L}=\varepsilon \eta _{R}={\text{Id}}_{A}$ , что означает двойную карту чисел $\varepsilon ^{*}$ действует как двусторонняя идентичность для объектов в ${\text{Hom}}_{k}(A,B)$
$({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }$ , что означает, что составление стрелки с идентификатором оставляет эту стрелку неизменной.
$({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta$ соответствует ассоциативности композиции морфизмов
$c\eta _{R}=\eta _{L}$ и $c\eta _{L}=\eta _{R}$ , переводится как инвертирование морфизма, меняет местами источник и цель
$cc={\text{Id}}_{\Gamma }$ , что означает, что инверсия обратного является исходной картой
Это существующие карты $\Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma$ кодирование композиции морфизма с его обратным с обеих сторон дает тождественный морфизм. Это можно закодировать с помощью коммутативной диаграммы ниже, где пунктирные стрелки обозначают существование этих двух стрелок.

где $c\cdot \Gamma$ это карта $c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}$ и $\Gamma \cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\gamma _{2})$ .

Дополнительные структуры [ править ]

Помимо стандартного определения алгеброида Хопфа, существуют также градуированные коммутативные алгеброиды Хопфа , которые представляют собой пары градуированных коммутативных алгебр. $(A,\Gamma )$ с приведенными выше картами градуированной коммутативной структуры.

Кроме того, градуированный алгеброид Хопфа $(A,\Gamma )$ называется связным, если правый и левый подпеременные $A$ -модули $\Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma$ оба изоморфны $A$

Другое определение [ править ]

Левый алгеброид Хопфа ( H , R ) — это левый биалгеброид вместе с антиподом: биалгеброид ( H , R ) состоит из тотальной алгебры H и базовой алгебры R и двух отображений, гомоморфизма алгебры s : R → H, называемого исходное отображение, антигомоморфизм алгебры t : R → H , называемый целевым отображением, такой, что условие коммутативности s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) = t ( r ₂ ) s ( r ₁ ) удовлетворяется для всех r ₁ , р ₂ ∈ р . Аксиомы напоминают аксиомы алгебры Хопфа, но усложняются возможностью того, что R является некоммутативной алгеброй или ее образы относительно s и t не находятся в центре H . В частности, левый биалгеброид ( H , R ) имеет структуру R - R -бимодуля на H , которая отдает предпочтение левой части следующим образом: r ₁ ⋅ h ⋅ r ₂ = s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) h для всех h в ЧАС , р ₁ , р ₂ ∈ р . Существует копроизведение ∆: H → H ⊗ _R H и единица ε: H → R , которые делают ( H , R , ∆, ε) R -ядерным (с аксиомами, подобными аксиомам коалгебры, такой , что все отображения являются R - R -бимодульные гомоморфизмы и все тензоры над R ). Кроме того, биалгеброид ( H , R ) должен удовлетворять Δ( ab ) = Δ( a )Δ( b ) для всех a , b в H и условие, гарантирующее, что это последнее условие имеет смысл: каждая точка изображения ∆( a ) удовлетворяет a ₍₁₎ t ( r ) ⊗ a ₍₂₎ = a ₍₁₎ ⊗ a ₍₂₎ s ( r для всех r в R. ) Также ∆(1) = 1 ⊗ 1. Требуется, чтобы единица удовлетворяла ε(1 _H ) = 1 _R и условию ε( ab ) = ε( as (ε( b ))) = ε( at (ε( b ) ))).

Антиподом S : H → H обычно считается антиавтоморфизм алгебры, удовлетворяющий условиям замены исходного и целевого отображений и удовлетворяющий двум аксиомам, таким как аксиомы антипода алгебры Хопфа; см. ссылки в Lu или в Böhm-Szlachány для более удобного для примеров категорий, хотя и несколько более сложного набора аксиом для антипода S . Последний набор аксиом также зависит от аксиом правого биалгеброида, которые представляют собой прямое переключение слева направо, s с t , аксиом для левого биалгеброида, приведенных выше.

Примеры [ править ]

Из алгебраической топологии [ править ]

Одним из главных мотивирующих примеров алгеброида Хопфа является пара $(\pi _{*}(E),E_{*}(E))$ для спектра $E$ . ^[3] Например, алгеброиды Хопфа $(\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))$ , $(\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))$ , для спектров, представляющих комплексный кобордизм и гомологию Брауна-Петерсона , и их усечения широко изучаются в алгебраической топологии. Это связано с их использованием в спектральной последовательности Адамса-Новикова для вычисления стабильных гомотопических групп сфер.

представляющее набор формальных групповых законов ядро Хопфа , Алгеброидное

Существует алгеброид Хопфа, ядро которого представляет собой набор формальных групповых законов. ${\mathcal {M}}_{FG}$ который построен с использованием алгебраической топологии. ^[4] Если мы позволим ${\text{MP}}$ обозначим спектр

${\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathbb {Z} }\Sigma ^{2m}{\text{MU}}$

существует алгеброид Хопфа

${\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})$

ядро, представляющее стек ${\mathcal {M}}_{FG}$ . Это означает, что существует изоморфизм функторов

${\mathcal {M}}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})](-)$

где функтор справа отправляет коммутативное кольцо $B$ к группоиду

${\text{MP}}_{0}(B)\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})(B)$

Другие примеры [ править ]

В качестве примера левого биалгеброида возьмем R — любую алгебру над полем k . Пусть H — ее алгебра линейных самоотображений. Пусть s(r) — умножение слева на r на R ; пусть t ( r умножение справа на r на R. ) — H — левый биалгеброид над R , что можно увидеть следующим образом. Учитывая тот факт, что H ⊗ _R H ≅ Hom _k ( R ⊗ R , R ), можно определить копроизведение по формуле ∆( f )( r ⊗ u ) = f ( ru ) для каждого линейного преобразования f из R в себя и всех r , ты в Р. Коассоциативность копроизведения следует из ассоциативности произведения на R. Единица задается формулой ε( f ) = f (1). Коунит-аксиомы ядра следуют из условия единичного элемента при умножении в R . Читателю будет интересно или, по крайней мере, поучительно проверить, что ( H , R ) — левый биалгеброид. В случае, когда R — алгебра Адзумая , и в этом случае H изоморфна R ⊗ R антипод возникает из транспонирующих тензоров, что делает H алгеброидом Хопфа над R. , Другой класс примеров связан с тем, что R является основным полем; в этом случае алгеброид Хопфа ( H , R ) — алгебра Хопфа.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .
^ Хови, Марк (16 мая 2001 г.). «Теория Морита для алгеброидов Хопфа и предпучков группоидов». arXiv : math/0105137 .
^ Хопкинс. «Теории комплексно-ориентированных когомологий и язык стеков» (PDF) .
^ Дуглас, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г.; Хилл, Майкл А. «4. Теорема о точном функторе Ландвебера». Топологические модульные формы (PDF) . Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Бём, Габриэлла (2005). «Альтернативное понятие алгеброида Хопфа». В Кенпиле, Стефан (ред.). Алгебры Хопфа в некоммутативной геометрии и физике. Материалы конференции по алгебрам Хопфа и квантовым группам, Брюссель, Бельгия, 28 мая – 1 июня 2002 г. Конспект лекций по чистой и прикладной математике. Том. 239. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Марсель Деккер. стр. 31–53. ISBN 978-0-8247-5759-5 . Збл 1080.16034 .
Бём, Габриэлла; Шлачани, Корнель (2004). «Алгеброидная симметрия Хопфа абстрактных расширений Фробениуса глубины 2». Коммун. Алгебра . 32 (11): 4433–4464. arXiv : math/0305136 . дои : 10.1081/AGB-200034171 . S2CID 119162795 . Збл 1080.16036 .
Цзян-Хуа Лу, «Алгеброиды Хопфа и квантовые группоиды», Int. Дж. Математика. 7, н. 1 (1996), стр. 47–70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024 , http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037 , https:// dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050

[Ravenel-1] Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .

[2] Хови, Марк (16 мая 2001 г.). «Теория Морита для алгеброидов Хопфа и предпучков группоидов». arXiv : math/0105137 .

[3] Хопкинс. «Теории комплексно-ориентированных когомологий и язык стеков» (PDF) .

[4] Дуглас, Кристофер Л.; Фрэнсис, Джон; Энрикес, Андре Г.; Хилл, Майкл А. «4. Теорема о точном функторе Ландвебера». Топологические модульные формы (PDF) . Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-1884-7 . OCLC 884782304 .

[1]

[2]

[3]

[4]