Комодуль над алгеброидом Хопфа

В математике , на стыке алгебраической топологии и алгебраической геометрии , существует понятие алгеброида Хопфа , который кодирует информацию предпучка группоидов , пучок объектов и пучок стрелок которого представлены алгебрами. Поскольку любой такой предпучок будет иметь связанный с ним узел, мы можем рассматривать квазикогерентные пучки на этом узле, давая теоретико- топосное понятие модулей . Двойно ^[1]^{стр. 2}, комодулы над алгеброидом Хопфа являются чисто алгебраическим аналогом этой конструкции, дающим чисто алгебраическое описание квазикогерентных пучков в стеке: это одна из первых мотиваций теории.

Определение

Дан коммутативный алгеброид Хопфа. $(A,\Gamma )$ левый комодуль $M$ ^[2]^{стр. 302} это левый $A$ -модуль $M$ вместе с $A$ -линейная карта

$\psi :M\to \Gamma \otimes _{A}M$

который удовлетворяет следующим двум свойствам

( страна ) $(\varepsilon \otimes Id_{M})\circ \psi =Id_{M}$
( коассоциативный ) $(\Delta \otimes Id_{M})\circ \psi =(Id_{\Gamma }\otimes \psi )\circ \psi$

Правый комодуль определяется аналогично, но вместо него имеется отображение

$\phi :M\to M\otimes _{A}\Gamma$

удовлетворяющие аналогичным аксиомам.

Структурные теоремы

Плоскостность Γ дает абелеву категорию

Одна из основных структурных теорем для комодулей ^[2]^{стр. 303} это если $\Gamma$ это квартира $A$ -модуль, то категория комодулей ${\text{Comod}}(A,\Gamma )$ алгеброида Хопфа является абелевой категорией .

Отношение к стекам

Существует структурная теорема ^[1] ^{стр. 7} связывающие комодулы хопф-алгеброидов и модули предпучков группоидов. Если $(A,\Gamma )$ является хопф-алгеброидом, существует эквивалентность категории комодулей ${\text{Comod}}(A,\Gamma )$ и категория квазикогерентных пучков ${\text{QCoh}}({\text{Spec}}(A),{\text{Spec}}(\Gamma ))$ для связанного предпучка группоидов

${\text{Spec}}(\Gamma )\rightrightarrows {\text{Spec}}(A)$

этому Хопф-алгеброиду.

Примеры

Из BP-гомологии

Со Брауна-Петерсона спектром связан алгеброид Хопфа. $(BP_{*},BP_{*}(BP))$ классификация p-типичных формальных групповых законов . Примечание

${\begin{aligned}BP_{*}&=\mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\ldots ]\\BP_{*}(BP)&=BP_{*}[t_{1},t_{2},\ldots ]\end{aligned}}$

где $\mathbb {Z} _{(p)}$ это локализация $\mathbb {Z}$ по главному идеалу $(p)$ . Если мы позволим $I_{n}$ обозначают идеал

$I_{n}=(p,v_{1},\ldots ,v_{n-1})$

С $v_{n}$ является примитивом в $BP_{*}/I_{n}$ , существует ассоциированный Хопф-алгеброид $(A,\Gamma )$

$(v_{n}^{-1}BP_{*}/I_{n},v_{n}^{-1}BP_{*}(BP)/I_{n})$

Существует структурная теорема о спектральной последовательности Адамса-Новикова, связывающая Ext-группы комодулей на $(BP_{*},BP_{*}(BP))$ к гомологии Джонсона-Вильсона, что дает более понятную спектральную последовательность. Это происходит за счет эквивалентности категорий комодулей $(A,\Gamma )$ к категории комодулей

$(v_{n}^{-1}E(m)_{*}/I_{n},v_{n}^{-1}E(m)_{*}(E(m)/I_{n})$

дающий изоморфизм

${\text{Ext}}_{BP_{*}BP}^{*,*}(M,N)\cong {\text{Ext}}_{E(m)_{*}E(m)}^{*,*}(E(m)_{*}\otimes _{BP_{*}}M,E(m)_{*}\otimes _{BP_{*}}N)$

предполагая $M$ и $N$ удовлетворить некоторые технические гипотезы ^[1] ^{стр. 24}.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хови, Марк (16 мая 2001 г.). «Теория Морита для алгеброидов Хопфа и предпучков группоидов». arXiv : math/0105137 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хови, Марк (16 мая 2001 г.). «Теория Морита для алгеброидов Хопфа и предпучков группоидов». arXiv : math/0105137 .

[Ravenel-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер . Орландо: Академическая пресса. ISBN 978-0-08-087440-1 . OCLC 316566772 .

[1]

[2]