Локализация (коммутативная алгебра)

В коммутативной алгебре и геометрии алгебраической локализация — это формальный способ ввести «знаменатели» данного кольца или модуля . То есть он вводит новое кольцо/модуль из существующего кольца/модуля R , так что оно состоит из дробей ${\frac {m}{s}},$ такой, что знаменатель s принадлежит заданному подмножеству S из R . Если S — множество ненулевых элементов области целостности , то локализация — это поле частных : этот случай обобщает конструкцию поля $\mathbb {Q}$ рациональных чисел из кольца $\mathbb {Z}$ целых чисел .

Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии , поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков . Фактически, термин локализация зародился в алгебраической геометрии : если R — кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то рассматривают множество S не равных нулю в точке p , и локализует R относительно S. всех функций , Получившееся кольцо $S^{-1}R$ содержит информацию о поведении V вблизи p и исключает информацию, которая не является «локальной», например нули функций, находящихся вне V (см. пример, приведенный в локальном кольце ).

Локализация кольца

Локализация коммутативного кольца R мультипликативно замкнутым множеством S есть новое кольцо $S^{-1}R$ элементами которого являются дроби с числителями в R и знаменателями в S .

Если кольцо является областью целостности, то конструкция обобщает и близко следует конструкции поля частных и, в частности, конструкции рациональных чисел как поля дробных целых чисел. Для колец, имеющих делители нуля , конструкция аналогична, но требует большей осторожности.

Мультипликативный набор

Локализация обычно выполняется относительно мультипликативно замкнутого множества S (также называемого мультипликативным множеством или мультипликативной системой ) элементов кольца R , которое является подмножеством R , замкнутым относительно умножения и содержащим 1 .

Требование, что S должно быть мультипликативным множеством, естественно, поскольку из него следует, что все знаменатели, введенные локализацией, принадлежат S . Локализация множеством U , которое не является мультипликативно замкнутым, также может быть определена, взяв в качестве возможных знаменателей все произведения элементов U . Однако та же самая локализация получается при использовании мультипликативно замкнутого множества S всех произведений элементов U . Поскольку это часто упрощает рассуждения и обозначения, стандартной практикой является рассмотрение только локализаций с помощью мультипликативных множеств.

Например, локализация по одному элементу s вводит дроби вида ${\tfrac {a}{s}},$ но и продукты таких фракций, как ${\tfrac {ab}{s^{2}}}.$ Значит, знаменатели будут принадлежать мультипликативному множеству $\{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}$ полномочий s . Поэтому обычно говорят о «локализации силами элемента», а не о «локализации посредством элемента».

Локализация кольца R мультипликативным множеством S обычно обозначается $S^{-1}R,$ но в некоторых особых случаях обычно используются другие обозначения: если $S=\{1,t,t^{2},\ldots \}$ состоит из сил одного элемента, $S^{-1}R$ часто обозначается $R_{t};$ если $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ является дополнением простого идеала ${\mathfrak {p}}$, затем $S^{-1}R$ обозначается $R_{\mathfrak {p}}.$

В оставшейся части статьи рассматриваются только локализации по мультипликативному множеству.

Целые домены

Когда кольцо R является областью целостности и S не содержит 0 , кольцо $S^{-1}R$ подкольцом поля частных R . является Таким образом, локализация домена является доменом.

Точнее, это подкольцо поля дробей R , состоящее из дробей ${\tfrac {a}{s}}$ такой, что $s\in S.$ Это подкольцо, поскольку сумма ${\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},$ и продукт ${\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}$ из двух элементов $S^{-1}R$ находятся в $S^{-1}R.$ Это следует из определяющего свойства мультипликативного множества, из которого также следует, что $1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.$ В этом случае R является подкольцом $S^{-1}R.$ Ниже показано, что в целом это уже не так, обычно когда S содержит делители нуля .

Например, десятичные дроби — это локализация кольца целых чисел по мультипликативному набору степеней десяти. В этом случае, $S^{-1}R$ состоит из рациональных чисел, которые можно записать как ${\tfrac {n}{10^{k}}},$ где n — целое число, а k — неотрицательное целое число.

Общая конструкция

В общем случае возникает проблема с делителями нуля . Пусть S — мультипликативное множество в коммутативном кольце R . Предположим, что $s\in S,$ и $0\neq a\in R$ является делителем нуля с $as=0.$ Затем ${\tfrac {a}{1}}$ это изображение в $S^{-1}R$ из $a\in R,$ и у одного есть ${\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.$ Таким образом, некоторые ненулевые элементы R должны быть нулевыми в $S^{-1}R.$ Следующая конструкция рассчитана на учет этого обстоятельства.

Учитывая R и S , как указано выше, рассматривается отношение эквивалентности на $R\times S$ что определяется $(r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})$ если существует $t\in S$ такой, что $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$

Локализация $S^{-1}R$ определяется как множество классов эквивалентности для этого отношения. Класс ( r , s ) обозначается как ${\frac {r}{s}},$ $r/s,$ или $s^{-1}r.$ Итак, у человека есть ${\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}$ тогда и только тогда, когда существует $t\in S$ такой, что $t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.$ Причина $t$ заключается в обработке случаев, подобных приведенным выше ${\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},$ где $s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}$ не равно нулю, хотя дроби следует считать равными.

Локализация $S^{-1}R$ является коммутативным кольцом со сложением

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},$

умножение

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},$

аддитивная идентичность ${\tfrac {0}{1}},$ и мультипликативное тождество ${\tfrac {1}{1}}.$

Функция ​

$r\mapsto {\frac {r}{1}}$

определяет гомоморфизм колец из $R$ в $S^{-1}R,$ которое инъективно тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля.

Если $0\in S,$ затем $S^{-1}R$ — нулевое кольцо которого равно 0 , уникальное значение .

Если S - набор всех регулярных элементов ( R то есть элементов, которые не являются делителями нуля), $S^{-1}R$ называется частных R . полным кольцом

Универсальная собственность

Кольцевой гомоморфизм (определенный выше) $j\colon R\to S^{-1}R$ удовлетворяет универсальному свойству , которое описано ниже. Это характеризует $S^{-1}R$ с точностью до изоморфизма . Таким образом, все свойства локализаций могут быть выведены из универсального свойства независимо от способа их построения. Более того, многие важные свойства локализации легко выводятся из общих свойств универсальных свойств, тогда как их прямое доказательство может быть одновременно техническим, простым и скучным.

Универсальное свойство, удовлетворяемое $j\colon R\to S^{-1}R$ следующее:

Если $f\colon R\to T$ — это кольцевой гомоморфизм, который отображает каждый элемент S в единицу (обратимый элемент) в T , существует единственный кольцевой гомоморфизм $g\colon S^{-1}R\to T$ такой, что $f=g\circ j.$

Используя теорию категорий , это можно выразить, сказав, что локализация — это функтор , который слева сопряжен с функтором забвения . Точнее, пусть ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ — категории, объектами которых являются пары коммутативного кольца и субмоноида соответственно мультипликативного моноида или группы единиц кольца. Морфизмы этих категорий представляют собой кольцевые гомоморфизмы, отображающие субмоноид первого объекта в субмоноид второго. Наконец, позвольте ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ быть забывчивым функтором, который забывает, что элементы второго элемента пары обратимы.

Тогда факторизация $f=g\circ j$ универсального свойства определяет биекцию

$\hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).$

Это может показаться довольно сложным способом выражения универсального свойства, но он полезен для простой демонстрации многих свойств, используя тот факт, что композиция двух левых сопряженных функторов является левым сопряженным функтором.

Примеры

• Если $R=\mathbb {Z}$ — кольцо целых чисел , а $S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},$ затем $S^{-1}R$ это поле $\mathbb {Q}$ из рациональных чисел .
• Если R — область целостности и $S=R\setminus \{0\},$ затем $S^{-1}R$ – дробей R . поле Предыдущий пример является частным случаем этого.
• Если R — коммутативное кольцо , и если S — подмножество его элементов, не являющихся делителями нуля , то $S^{-1}R$ — дробей R. кольцо полное В этом случае S — наибольшее мультипликативное множество такое, что гомоморфизм $R\to S^{-1}R$ является инъективным. Предыдущий пример является частным случаем этого.
• Если x — элемент коммутативного кольца R и $S=\{1,x,x^{2},\ldots \},$ затем $S^{-1}R$ может быть идентифицирован ( канонически изоморфен ) $R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$ (Доказательство состоит в том, чтобы показать, что это кольцо удовлетворяет указанному выше универсальному свойству.) Такого рода локализация играет фундаментальную роль в определении аффинной схемы .
• Если ${\mathfrak {p}}$ — простой идеал коммутативного кольца R , дополнение множества $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ из ${\mathfrak {p}}$ в R — мультипликативное множество (по определению простого идеала). Кольцо $S^{-1}R$ — локальное кольцо , которое обычно обозначается $R_{\mathfrak {p}},$ и назвал локальным кольцом R в точке ${\mathfrak {p}}.$ Этот вид локализации является фундаментальным в коммутативной алгебре , поскольку многие свойства коммутативного кольца можно прочитать на его локальных кольцах. Такую собственность часто называют местной собственностью . Например, кольцо регулярно тогда и только тогда, когда все его локальные кольца регулярны.

Свойства кольца

Локализация — это богатая конструкция, обладающая множеством полезных свойств. В этом разделе рассматриваются только свойства, относящиеся к кольцам и к одиночной локализации. Свойства, касающиеся идеалов , модулей или нескольких мультипликативных множеств, рассматриваются в других разделах.

• $S^{-1}R=0$ тогда и только тогда, когда S содержит 0 .
• Кольцевой гомоморфизм $R\to S^{-1}R$ инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля .
• Кольцевой гомоморфизм $R\to S^{-1}R$ — эпиморфизм в категории колец , который, вообще говоря, не является сюръективным .
• Кольцо $S^{-1}R$ является плоским R -модулем ( см. § Локализация модуля ). подробнее
• Если $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ является дополнением простого идеала ${\mathfrak {p}}$, затем $S^{-1}R,$ обозначенный $R_{\mathfrak {p}},$ является локальным кольцом ; то есть он имеет только один максимальный идеал .

Объекты, которые необходимо переместить в другой раздел

• Локализация коммутирует с образованиями конечных сумм, произведений, пересечений и радикалов; например, если ${\sqrt {I}}$ обозначим радикал идеала I в R , тогда

${\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.$

В частности, R сокращается тогда и только тогда , когда все его кольцо дробей сокращается.

• Пусть R область целостности с полем частных K. — Тогда его локализация $R_{\mathfrak {p}}$ в идеальном состоянии ${\mathfrak {p}}$ можно рассматривать как подкольцо K . Более того,

$R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}$

где первое пересечение происходит по всем простым идеалам, а второе — по максимальным идеалам.

• Существует биекция между множеством простых идеалов S ⁻¹ R и множество простых идеалов R , которые не пересекают S . Эта биекция индуцирована заданным гомоморфизмом R → S  ⁻¹ Р. ​

Насыщение мультипликативного множества

Позволять $S\subseteq R$ быть мультипликативным множеством. Насыщенность ​ ${\hat {S}}$ из $S$ это набор

${\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.$

Мультипликативное множество S является насыщенным , если оно равно его насыщению, т. е. если ${\hat {S}}=S$или, что то же самое, если $rs\in S$ подразумевает, что r и s находятся в S .

Если S не насыщен и $rs\in S,$ затем ${\frac {s}{rs}}$ является мультипликативным обратным образом r в $S^{-1}R.$ Итак, изображения элементов ${\hat {S}}$ все обратимы в $S^{-1}R,$ и универсальное свойство означает, что $S^{-1}R$ и ${\hat {S}}{}^{-1}R$ , канонически изоморфны фиксирующий образы элементов R. то есть между ними существует единственный изоморфизм ,

Если S и T — два мультипликативных множества, то $S^{-1}R$ и $T^{-1}R$ изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую насыщенность или, что то же самое, если s принадлежит одному из мультипликативных множеств, то существует $t\in R$ такой, что st принадлежит другому.

Насыщенные мультипликативные множества не используются широко в явном виде, поскольку для проверки насыщенности множества необходимо знать все единицы кольца.

контекстом

Термин «локализация» возник из общей тенденции современной математики изучать геометрические и топологические объекты локально , то есть с точки зрения их поведения вблизи каждой точки. Примерами этого направления являются фундаментальные понятия о многообразиях , ростках и пучках . В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество можно отождествить с факторкольцом кольца полиномов таким образом, что точки алгебраического множества соответствуют максимальным идеалам кольца (это Nullstellensatz Гильберта ). Это соответствие было обобщено для того, чтобы сделать множество простых идеалов коммутативного кольца снабженным топологическим пространством, топологией Зарисского ; это топологическое пространство называется спектром кольца .

В этом контексте локализацию мультипликативным множеством можно рассматривать как ограничение спектра кольца подпространством простых идеалов (рассматриваемых как точки ), которые не пересекают мультипликативное множество.

Чаще рассматривают два класса локализаций:

• Мультипликативное множество является дополнением простого идеала. ${\mathfrak {p}}$ кольца Р. ​В этом случае говорят о «локализации на ${\mathfrak {p}}$", или "локализация в точке". Полученное кольцо, обозначаемое $R_{\mathfrak {p}}$ является локальным кольцом и является алгебраическим аналогом кольца ростков .
• Мультипликативное множество состоит из всех степеней элемента t кольца R . Полученное кольцо обычно обозначают $R_{t},$ и его спектр представляет собой открытое по Зарискому множество простых идеалов, не содержащих t . Таким образом, локализация является аналогом ограничения топологического пространства на окрестность точки (каждый простой идеал имеет окрестностный базис, состоящий из открытых по Зарискому множеств такого вида).

В теории чисел и алгебраической топологии при работе над кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел , каждый относится к свойству относительно целого числа n как к свойству, истинному n или вне n в , в зависимости от рассматриваемой локализации. « Вдали от n » означает, что свойство рассматривается после локализации по степеням n , и, если p — простое число , «в p » означает, что свойство рассматривается после локализации в простом идеале. $p\mathbb {Z}$. Эту терминологию можно объяснить тем, что если p простое, то ненулевые простые идеалы локализации $\mathbb {Z}$ являются либо одноэлементным набором {p}, либо его дополнением в множестве простых чисел.

Локализация и насыщенность идеалами

Пусть S — мультипликативное множество в коммутативном кольце R и $j\colon R\to S^{-1}R$ — канонический гомоморфизм колец. Учитывая идеал I в R , пусть $S^{-1}I$ набор дробей в $S^{-1}R$ числитель находится в I. чей Это идеал $S^{-1}R,$ порождается j ( I ) и называется локализацией I S. с помощью который

Насыщение ​ I ​ равно S ​ $j^{-1}(S^{-1}I);$ это идеал R , который также можно определить как набор элементов $r\in R$ такой, что существует $s\in S$ с $sr\in I.$

Многие свойства идеалов либо сохраняются посредством насыщения и локализации, либо могут характеризоваться более простыми свойствами локализации и насыщенности.В дальнейшем S — мультипликативное множество в кольце R , а I и J — идеалы кольца R ; насыщение идеала I мультипликативным множеством S обозначается $\operatorname {sat} _{S}(I),$ или, когда мультипликативное множество S ясно из контекста, $\operatorname {sat} (I).$

• $1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset$
• $I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)$
  (это не всегда верно для строгих включений )
• $S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)$
• $S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)$
• $S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)$
• Если ${\mathfrak {p}}$ является простым идеалом таким, что ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,$ затем $S^{-1}{\mathfrak {p}}$ является высшим идеалом и ${\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})$; если пересечение непусто, то $S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R$ и $\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.$

Локализация модуля

Пусть R — коммутативное кольцо , S — мультипликативное множество в R и M — R - модуль . Локализация модуля M с помощью S , обозначаемая S ⁻¹ М , это S ⁻¹ R как локализация R , за исключением того, что числители дробей принадлежат M. -модуль, построенный точно так же , То есть как множество оно состоит из классов эквивалентности , обозначаемых ${\frac {m}{s}}$, пар ( m , s ) , где $m\in M$ и $s\in S,$ и две пары ( m , s ) и ( n , t ) эквивалентны, если существует элемент u в S такой, что

$u(sn-tm)=0.$

Сложение и скалярное умножение определяются как для обычных дробей (в следующей формуле $r\in R,$ $s,t\in S,$ и $m,n\in M$):

${\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},$

${\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.$

Более того, С ⁻¹ M также является R -модулем со скалярным умножением

$r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.$

Непосредственно проверяется, что эти операции корректны, т. е. дают один и тот же результат при различном выборе представителей дробей.

Локализация модуля может быть эквивалентно определена с помощью тензорных произведений :

$S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.$

Доказательство эквивалентности (с точностью до канонического изоморфизма ) можно провести, показав, что эти два определения удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Свойства модуля

Если M — подмодуль N R -модуля , а S — мультипликативное множество в R , то имеет место $S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.$ Это означает, что если $f\colon M\to N$ является инъективным гомоморфизмом модулей , то

$S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N$

также является инъективным гомоморфизмом.

Поскольку тензорное произведение является точным правым функтором , отсюда следует, что локализация с помощью S отображает точные последовательности -модулей R в точные последовательности модулей. $S^{-1}R$-модули. Другими словами, локализация — это точный функтор , и $S^{-1}R$ является плоским R -модулем .

Эта плоскостность и тот факт, что локализация решает универсальное свойство, приводят к тому, что локализация сохраняет многие свойства модулей и колец и совместима с решениями других универсальных свойств. Например, естественная карта

$S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N$

является изоморфизмом. Если $M$ — конечно-представленный модуль , естественное отображение

$S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)$

также является изоморфизмом.

Если модуль M является конечно порожденным над R , то имеет место

$S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),$

где $\operatorname {Ann}$ обозначает аннулятор , то есть идеал элементов кольца, который отображает в ноль все элементы модуля. В частности,

$S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,$

то есть, если $tM=0$ для некоторых $t\in S.$

Локализация в простых числах

Из определения простого идеала сразу следует, что дополнение $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ первичного идеала ${\mathfrak {p}}$ в коммутативном кольце R — мультипликативное множество. В этом случае локализация $S^{-1}R$ обычно обозначается $R_{\mathfrak {p}}.$ Кольцо $R_{\mathfrak {p}}$ — локальное кольцо , которое называется локальным кольцом R в точке ${\mathfrak {p}}.$ Это означает, что ${\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$ — единственный максимальный идеал кольца $R_{\mathfrak {p}}.$

Такие локализации имеют фундаментальное значение для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии по нескольким причинам. Во-первых, локальные кольца часто легче изучать, чем общие коммутативные кольца, в частности из-за леммы Накаямы . Однако основная причина в том, что многие свойства верны для кольца тогда и только тогда, когда они верны для всех его локальных колец. Например, кольцо регулярно тогда и только тогда, когда все его локальные кольца являются регулярными локальными кольцами .

Свойства кольца, которые можно охарактеризовать на его локальных кольцах, называются локальными свойствами и часто являются алгебраическим аналогом геометрических локальных свойств алгебраических многообразий , которые представляют собой свойства, которые можно изучать путем ограничения на небольшую окрестность каждой точки многообразия. . (Существует еще одна концепция локального свойства, которая относится к локализации на открытые множества Зарисского; см. § Локализация на открытые множества Зарисского ниже.)

Многие локальные свойства являются следствием того, что модуль

$\bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$

является точно плоским модулем если прямая сумма берется по всем простым идеалам (или по всем максимальным идеалам R , ). См. также «Верно-плоский спуск» .

Примеры локальных свойств

Свойство P -модуля R , M является локальным свойством если следующие условия эквивалентны:

• P справедливо M. для
• P справедливо для всех $M_{\mathfrak {p}},$ где ${\mathfrak {p}}$ является простым идеалом R .
• P справедливо для всех $M_{\mathfrak {m}},$ где ${\mathfrak {m}}$ является максимальным идеалом R .

Ниже приведены локальные свойства:

• М равен нулю.
• M не имеет кручения (в случае, когда R — коммутативная область ).
• М — плоский модуль .
• M — обратимый модуль (в случае, когда — коммутативная область, а M — подмодуль поля частных R R ).
• $f\colon M\to N$ инъективен (соответственно сюръективен), где N — другой R -модуль.

С другой стороны, некоторые свойства не являются локальными. Например, бесконечное прямое произведение полей , в то время как не является ни областью целостности , ни нётеровым кольцом все его локальные кольца являются полями и, следовательно, нетеровыми областями целостности.

Некоммутативный случай

Локализация некоммутативных колец сложнее. Хотя локализация существует для каждого набора S перспективных единиц, она может принимать форму, отличную от описанной выше. Одним из условий, гарантирующих правильное поведение локализации, является условие Оре .

Одним из случаев некоммутативных колец, где локализация представляет явный интерес, являются кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, присоединения к формальному обратному D ⁻¹ для оператора дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . Сейчас существует большая математическая теория по этому поводу, называемая микролокализация , связанная со многими другими ветвями. Микротег теорией касается, в частности, связей с Фурье .

См. также

• Локальный анализ
• Локализация категории
• Локализация топологического пространства

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN  978-0-201-40751-8 .
• Борель, Арманд . Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   0-387-97370-2 .
• Кон, премьер-министр (1989). «§ 9.3». Алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. xvi+428. ISBN  0-471-92234-Х . МР   1006872 .
• Кон, премьер-министр (1991). «§ 9.1». Алгебра . Том. 3 (2-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. xii+474. ISBN  0-471-92840-2 . МР   1098018 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Мацумура. Коммутативная алгебра. Бенджамин-Каммингс
• Стенстрем, Бо (1971). Кольца и модули частных . Конспекты лекций по математике, Vol. 237. Берлин: Springer-Verlag. стр. vii+136. ISBN  978-3-540-05690-4 . МР   0325663 .
• Серж Ланг , «Алгебраическая теория чисел», Springer, 2000. страницы 3–4.

Внешние ссылки

• Локализация от MathWorld .