Верно плоский спуск

Точно плоский спуск — это метод алгебраической геометрии , позволяющий делать выводы об объектах с целью точно плоского морфизма . Такие плоские и сюръективные морфизмы распространены, один из примеров взят из открытой обложки.

На практике, с аффинной точки зрения, этот метод позволяет доказать некоторое утверждение о кольце или схеме после совершенно плоской замены базы.

«Ванильный» точно плоский спуск, как правило, неверен; вместо этого строго плоский спуск справедлив при некоторых условиях конечности (например, квазикомпактности или локально конечного представления).

Совершенно плоский спуск — это частный случай теоремы Бека о монадичности .

Идея

Учитывая строго плоский гомоморфизм колец $A\to B$, строго плоский спуск — это, грубо говоря, утверждение, что задать модуль или алгебру над A — значит дать модуль или алгебру над $B$ вместе с так называемыми исходными данными (или данными). То есть можно спустить объекты (или даже утверждения) на $B$ к $A$ предоставил некоторые дополнительные данные.

Например, учитывая некоторые элементы $f_{1},\dots ,f_{r}$ создание единичного идеала A , $B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]$ верно плоская $A$. Геометрически, $\operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])$ представляет собой открытую крышку $\operatorname {Spec} (A)$ и, таким образом, спускаясь на модуль из $B$ к $A$ будет означать склеивание модулей $M_{i}$ на $A[f_{i}^{-1}]$ получить модуль на A ; база спуска в этом случае представляет собой данные склейки; то есть, как $M_{i},M_{j}$ идентифицируются на перекрытиях $\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])$.

Аффинный случай

Позволять $A\to B$ — строго плоский гомоморфизм колец . Учитывая $A$-модуль $M$, мы получаем $B$-модуль $N=M\otimes _{A}B$ и потому что $A\to B$ является абсолютно плоским, мы имеем включение $M\hookrightarrow M\otimes _{A}B$. Более того, мы имеем изоморфизм $\varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B$ из $B^{\otimes 2}$-модулей, индуцированный изоморфизмом $B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x$ и это удовлетворяет условию коцикла:

$\varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}$

где $\varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}$ даны как:

$\varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)$

$\varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)$

$\varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c$

с $\rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}$. Обратите внимание на изоморфизмы $\varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}$ определяются только $\varphi$ и не вовлекать $M.$

Итак, самая основная форма абсолютно плоского спуска гласит, что описанную выше конструкцию можно обратить вспять; то есть, учитывая $B$-модуль $N$ и $B^{\otimes 2}$-модульный изоморфизм $\varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B$ такой, что $\varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}$, инвариантный подмодуль:

$M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N$

таков, что $M\otimes B=N$.

Вот точное определение исходной точки спуска. Учитывая кольцевой гомоморфизм $A\to B$, пишем:

$d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}$

для карты, заданной вставкой $A\to B$ на i -м месте; то есть, $d^{0}$ дается как $B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}$, $d^{1}$ как $B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}$и т. д. Также пишем $-\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}$ для натяжения над $B^{\otimes n}$ когда $B^{\otimes {n+1}}$ задается структура модуля с помощью $d^{i}$.

Данные о спуске — учитывая гомоморфизм колец. $A\to B$, исходная точка спуска по модулю N на $B$ это $B^{\otimes 2}$-модульный изоморфизм

$\varphi :N\otimes _{d^{1}}B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}$

который удовлетворяет условию коцикла: $\varphi \otimes _{d^{1}}B^{\otimes 3}$ такой же, как и состав $\varphi \otimes _{d^{0}}B^{\otimes 3}\circ \varphi \otimes _{d^{2}}B^{\otimes 3}$.

Теперь, учитывая $B$-модуль $N$ с исходной точкой спуска $\varphi$, определять $M$ быть ядром

$d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}$.

Рассмотрим естественную карту

$M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa$.

Ключевым моментом является то, что это отображение является изоморфизмом, если $A\to B$ действительно плоский. Это видно, если принять во внимание следующее:

${\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}$

где верхняя строка точна в силу плоскостности B A над , а нижняя строка представляет собой комплекс Амицура , точный по теореме Гротендика. Условие коцикла гарантирует, что приведенная выше диаграмма коммутативна . Поскольку второе и третье вертикальные отображения являются изоморфизмами, то и первое тоже.

Вышеизложенное можно резюмировать просто следующим образом:

Теорема . Учитывая строго плоский гомоморфизм колец. $A\to B$, функтор

$M\mapsto (M\otimes _{A}B,\varphi )$

из категории A -модулей в категорию пар $(N,\varphi )$ состоящий из B -модуля N и базы данных спуска $\varphi$ на этом есть эквивалентность.

Зарисский спуск

Спуск Зарисского относится просто к тому факту, что квазикогерентный пучок можно получить, склеив их на (Зарисского) открытую крышку. Это частный случай абсолютно плоского спуска, но он часто используется для сведения проблемы спуска к аффинному случаю.

Подробно, пусть ${\mathcal {Q}}coh(X)$ обозначим категорию квазикогерентных пучков на схеме X . Тогда спуск Зариского утверждает, что для квазикогерентных пучков $F_{i}$ на открытых подмножествах $U_{i}\subset X$ с $X=\bigcup U_{i}$ и изоморфизмы $\varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$ такой, что (1) $\varphi _{ii}=\operatorname {id}$ и (2) $\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$ на $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$, то существует единственный квазикогерентный пучок $F$ на X такой, что $F|_{U_{i}}\simeq F_{i}$ совместимым способом (т.е. $F|_{U_{j}}\simeq F_{j}$ ограничивается $F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$).

Выражаясь причудливым языком, спуск Зарисского утверждает, что относительно топологии Зариского ${\mathcal {Q}}coh$ это стек ; то есть категория ${\mathcal {C}}$ оснащен функтором $p:{\mathcal {C}}\to$ категория (относительных) схем, имеющая эффективную теорию происхождения. Вот, пусть ${\mathcal {Q}}coh$ обозначим категорию, состоящую из пар $(U,F)$ состоящее из (Зарисского)-открытого подмножества U и квазикогерентного пучка на нем и $p$ функтор забывчивости $(U,F)\mapsto U$.

квазикогерентных

Существует краткое изложение основного результата в этой области: (предварительный стек квазикогерентных пучков над схемой S означает, что для любой S -схемы X каждая X -точка предсука является квазикогерентным пучком на X .)

Теорема . Предварительный стек квазикогерентных пучков над базовой схемой S является стеком относительно топологии fpqc .

В доказательстве используется спуск Зариского и строго плоский спуск в аффинном случае.

Здесь «квазикомпактность» исключить невозможно.

Пример: векторное пространство

Пусть F — конечное расширение поля Галуа поля k . Тогда для каждого векторного V над F пространства

$V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v$

где произведение пробегает элементы группы Галуа $F/k$.

спуски

Спуск в свалку

Этальное происхождение является следствием верного спуска.

См. также

• Комплекс Амицур
• Схема Гильберта
• Схема котировок

Ссылки

• SGA 1 , Exposé VIII – это основная ссылка (но она зависит от результата Жиро (1964), который заменил (в гораздо более общей форме) неопубликованное Exposé VII SGA1)
• Делинь, П. (2007), «Категории танакиенов», The Grothendieck Festschrift, Volume II , Modern Birkhäuser Classics, стр. 111–195, doi : 10.1007/978-0-8176-4575-5_3 , ISBN  978-0-8176-4567-0
• Жиро, Жан (1964), «Метод спуска», Mémoires de la Société Mathématique de France , 2 : 1–150, doi : 10.24033/msmf.2 , MR   0190142
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Стрит, Росс (2004), «Категорические и комбинаторные аспекты теории происхождения», Applied Categorical Structures , 12 (5–6): 537–576, arXiv : math/0303175 , doi : 10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36 ( подробное обсуждение 2-категории)
• Вистоли, Анджело (2 сентября 2008 г.). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска» (PDF) .
• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для выпускников по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN.  978-0-387-90421-4 , МР   0547117