Расширение Галуа

В математике расширение Галуа — это расширение алгебраического поля E / F , которое является нормальным и сепарабельным ; или, что то же самое, E / F является алгебраическим, а фиксированное группой автоморфизмов Aut( E / F ), является в точности базовым полем F. поле , Значение расширения Галуа состоит в том, что расширение имеет группу Галуа и подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа .

Результат Эмиля Артина позволяет построить расширения Галуа следующим образом: если E — заданное поле, а G — конечная группа автоморфизмов E с фиксированным полем F , то E / F — расширение Галуа.

Свойство расширения быть Галуа хорошо проявляется в отношении состава и пересечения полей .

Характеристика расширений Галуа

Важная теорема Эмиля Артина утверждает, что для конечного расширения $E/F,$ каждое из следующих утверждений эквивалентно утверждению, что $E/F$ Галуа:

• $E/F$ является нормальным расширением и отделимым расширением .
• $E$ является полем разложения сепарабельного многочлена с коэффициентами из $F.$
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ т. е. число автоморфизмов равно степени расширения.

Другие эквивалентные утверждения:

• Любой неприводимый полином из $F[x]$ хотя бы с одним корнем $E$ раскалывается $E$ и является разделимым.
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ т. е. число автоморфизмов не меньше степени расширения.
• $F$ фиксированное поле подгруппы $\operatorname {Aut} (E).$
• $F$ фиксированное поле $\operatorname {Aut} (E/F).$
• существует взаимно однозначное соответствие . Между подполями $E/F$ и подгруппы $\operatorname {Aut} (E/F).$

Бесконечное расширение поля $E/F$ является Галуа тогда и только тогда, когда $E$ есть объединение конечных подрасширений Галуа $E_{i}/F$ индексируется (бесконечным) набором индексов $I$, то есть $E=\bigcup _{i\in I}E_{i}$ а группа Галуа является обратным пределом $\operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}$ где обратная система упорядочена включением полей $E_{i}\subset E_{j}$.

Примеры

Существует два основных способа построения примеров расширений Галуа.

• Возьмите любое поле $E$, любая конечная подгруппа из $\operatorname {Aut} (E)$, и пусть $F$ быть фиксированным полем.
• Возьмите любое поле $F$, любой разделимый полином в $F[x]$, и пусть $E$ быть его полем разделения .

Присоединение к полю рациональных чисел квадратный корень из 2 дает расширение Галуа, а присоединение кубического корня из 2 дает расширение не-Галуа. Оба эти расширения сепарабельны, поскольку имеют нулевую характеристику . Первым из них является поле расщепления $x^{2}-2$; второй имеет нормальное замыкание , включающее комплексные кубические корни из единицы , и поэтому не является полем расщепления. Фактически у него нет никакого автоморфизма, кроме тождественного, поскольку он содержится в действительных числах и $x^{3}-2$ имеет только один действительный корень. Более подробные примеры см. на странице, посвящённой фундаментальной теореме теории Галуа .

Алгебраическое замыкание ${\bar {K}}$ произвольного поля $K$ Галуа закончился? $K$ тогда и только тогда, когда $K$ это идеальное поле .

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556

Дальнейшее чтение

• Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Отредактировано Артуром Н. Милгрэмом и дополнено главой. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-62342-4 . МР   1616156 .
• Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих . Студенческая математическая библиотека. Том. 35. Перевод второго немецкого (2004 г.) издания Дэвида Крамера. Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/035 . ISBN  0-8218-3817-2 . МР   2251389 . S2CID   118256821 .
• Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 101. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90980-Х . МР   0743418 . (Оригинальная статья Галуа с обширной историей и комментариями.)
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткий обзор истории симметричных функций корней уравнений». Американский математический ежемесячник . 37 (7). Американский математический ежемесячник, Vol. 37, № 7: 357–365. дои : 10.2307/2299273 . JSTOR   2299273 .
• «Теория Галуа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). WH Фриман и компания. ISBN  0-7167-1480-9 . (Глава 4 представляет собой введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
• Джанелидзе, Г.; Борсо, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-80309-0 . (Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми ее обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 110 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0853-2 . ISBN  978-0-387-94225-4 . МР   1282723 .
• Постников, Михаил Михайлович (2004). Основы теории Галуа . С предисловием Пи Джей Хилтона. Перепечатка издания 1962 года. Перевод с русского оригинала 1960 года Энн Суинфен. Дуврские публикации. ISBN  0-486-43518-0 . МР   2043554 .
• Милн, Джеймс С. (2022). Поля и теория Галуа (v5.10) .
• Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа . Университетский текст (Второе изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-0617-0 . ISBN  0-387-98541-7 . МР   1645586 .
• Фёлкляйн, Хельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511471117 . ISBN  978-0-521-56280-5 . МР   1405612 .
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Шпрингер. . Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Унгар. 1949. (Позже переиздано на английском языке издательством Springer под названием «Алгебра».)
• Поп, Флориан (2001). «(Некоторые) новые тенденции в теории Галуа и арифметике» (PDF) .