Составное поле (математика)

или Составное поле композит полей — объект изучения теории поля . Пусть K — поле и пусть $E_{1}$, $E_{2}$ быть подполями K ​ . Тогда (внутренний) составной из $E_{1}$ и $E_{2}$ это поле, определяемое как пересечение всех подполей K , содержащих как $E_{1}$ и $E_{2}$. Композит обычно обозначается $E_{1}E_{2}$.

Характеристики

Эквивалентно пересечениям мы можем определить составную $E_{1}E_{2}$ быть наименьшим подполем из K, который содержит оба $E_{1}$ и $E_{2}$. В то время как для определения через пересечение корректность зависит только от того свойства, что пересечения полей сами являются полями, здесь включены два вспомогательных утверждения. Что 1. существуют минимальные подполя поля K , включающие в себя $E_{1}$ и $E_{2}$ и 2. что такое минимальное подполе уникально и поэтому справедливо называется наименьшим .

Его также можно определить с помощью поля дробей

$E_{1}E_{2}=E_{1}(E_{2})=E_{2}(E_{1}),$

где $F(S)$ это совокупность всех $F$-рациональные выражения в конечном числе элементов $S$.

Позволять $L\subseteq E_{1}\cap E_{2}$ быть общим подполем и $E_{1}/L$ расширение Галуа тогда $E_{1}E_{2}/E_{2}$ и $E_{1}/(E_{1}\cap E_{2})$ оба также являются Галуа, и существует изоморфизм, задаваемый ограничением

${\text{Gal}}(E_{1}E_{2}/E_{2})\rightarrow {\text{Gal}}(E_{1}/(E_{1}\cap E_{2})),\sigma \mapsto \sigma |_{E_{1}}.$

Для конечного расширения поля это можно явно найти у Милна. и для бесконечных расширений это следует, поскольку бесконечные расширения Галуа - это в точности те расширения, которые являются объединениями (бесконечного) множества конечных расширений Галуа.

Если дополнительно $E_{2}/L$ является расширением Галуа, тогда $E_{1}E_{2}/L$ и $(E_{1}\cap E_{2})/L$ оба также Галуа и карта

$\psi :{\text{Gal}}(E_{1}E_{2}/L)\rightarrow {\text{Gal}}(E_{1}/L)\times {\text{Gal}}(E_{2}/L),\sigma \mapsto (\sigma |_{E_{1}},\sigma |_{E_{2}})$

является групповым гомоморфизмом, который является изоморфизмом на подгруппу

$H=\{(\sigma _{1},\sigma _{2}):\sigma _{1}|_{E_{1}\cap E_{2}}=\sigma _{2}|_{E_{1}\cap E_{2}}\}={\text{Gal}}(E_{1}/L)\times _{{\text{Gal}}((E_{1}\cap E_{2})/L)}{\text{Gal}}(E_{2}/L)\subseteq {\text{Gal}}(E_{1}/L)\times {\text{Gal}}(E_{2}/L).$

См. Милн.

Оба свойства особенно полезны для $L=E_{1}\cap E_{2}$ и их утверждения соответственно упрощаются в этом особом случае. В частности $\psi$ в этом случае всегда является изоморфизмом.

Внешний композитный

Когда $E_{1}$ и $E_{2}$ не рассматриваются как подполя общего поля, то (внешняя) композиция определяется с использованием тензорного произведения полей . Обратите внимание, что необходимо уделить внимание выбору общего подполя, над которым выполняется это тензорное произведение, иначе тензорное произведение может оказаться всего лишь алгеброй, которая не является полем.

Обобщения

Если ${\mathcal {E}}=\left\{E_{i}:i\in I\right\}$ представляет собой набор подполей фиксированного поля K, индексированного набором I , обобщенным составным полем можно определить через пересечение

$\bigvee _{i\in I}E_{i}=\bigcap _{F\subseteq K{\text{ s.t. }}\forall i\in I:E_{i}\subseteq F}F.$

Ссылки

• Роман, Стивен (2006). Теория поля . ГТМ. Том. 158. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-27677-9 . , особенно глава 2
• «Композитум» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Милн, Джеймс С. (2022). Поля и теория Галуа (v5.10) .