Подкольцо с фиксированной точкой

В алгебре точки подкольцо неподвижной $R^{f}$ автоморфизма е f кольца R . есть подкольцо неподвижных точек кольца f , т.

R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.

В более общем смысле, если G — группа , действующая на R , то подкольцо R

R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}

называется фиксированным подкольцом или, более традиционно, кольцом инвариантов относительно $G$ . Если S — набор автоморфизмов R , элементы R , фиксированные элементами S, образуют кольцо инвариантов относительно группы, S. порожденной В частности, подкольцо неподвижной точки автоморфизма f — это кольцо инвариантов циклической группы, порожденное f .

В теории Галуа , когда R — поле , а G — группа полевых автоморфизмов, фиксированное кольцо — это подполе , называемое фиксированным полем группы автоморфизмов; см. Фундаментальную теорему теории Галуа .

Наряду с модулем ковариантов кольцо инвариантов является центральным объектом изучения теории инвариантов . Геометрически кольца инвариантов являются координатными кольцами (аффинных или проективных) факторов GIT и играют фундаментальную роль в конструкциях геометрической теории инвариантов .

Пример : Пусть $R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ — кольцо полиномов от n переменных. Симметричная группа Sn _R действует на . перестановкой переменных Тогда кольцо инвариантов $R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}$ — кольцо симметричных многочленов . Если редуктивная алгебраическая группа G действует на R , то основная теорема теории инвариантов описывает генераторы R ^Г.

Четырнадцатая проблема Гильберта спрашивает, является ли кольцо инвариантов конечно порожденным или нет (ответ положительный, если G является редуктивной алгебраической группой по теореме Нагаты). Конечное порождение легко увидеть для конечной группы G, действующей на конечно порожденной алгебре R : поскольку R целое над R ^Г, ^[1] из леммы Артина –Тейта следует R ^Г является конечно порожденной алгеброй. Ответ отрицательный для некоторых унипотентных групп .

Пусть G — конечная группа. Пусть S — симметрическая алгебра конечномерного G -модуля . Тогда G является группой отражений тогда и только тогда, когда $S$ — свободный модуль (конечного ранга ) над S ^Г (теорема Шевалле). ^{[ нужна ссылка ]}

В дифференциальной геометрии , если G — группа Ли и ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ ее алгебры Ли , то каждое главное G -расслоение на многообразии M определяет гомоморфизм градуированной алгебры (называемый гомоморфизмом Черна–Вейля )

\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )

где $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ — кольцо полиномиальных функций на ${\mathfrak {g}}$ и G действует на $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ присоединенным представлением .

См. также

Разнообразие персонажей

Примечания

^ Учитывая r в R , полином $\prod _{g\in G}(t-g\cdot r)$ является моническим полиномом над R ^Г и имеет r как один из своих корней.

Ссылки

Мукаи, Сигеру; Оксбери, WM (8 сентября 2003 г.) [1998], Введение в инварианты и модули , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 81, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-80906-1 , МР 2004218
Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов , Конспект лекций по математике, том. 585, Спрингер

[1] Учитывая r в R , полином $\prod _{g\in G}(t-g\cdot r)$ является моническим полиномом над R ^Г и имеет r как один из своих корней.

[1]