Кольцо полиномиальных функций

В математике кольцо полиномиальных функций в векторном пространстве V над полем k дает бескоординатный аналог кольца полиномов . Он обозначается k [ V ]. Если V конечномерно координатным рассматривается как алгебраическое многообразие , то k [ V является в точности кольцом V. и ]

Явное определение кольца можно дать следующим образом. Если $k[t_{1},\dots ,t_{n}]$ является кольцом полиномов, то мы можем просмотреть $t_{i}$ как координатные функции на $k^{n}$; то есть, $t_{i}(x)=x_{i}$ когда $x=(x_{1},\dots ,x_{n}).$ Это предполагает следующее: для векторного пространства V пусть k [ V ] — коммутативная k -алгебра, порожденная двойственным пространством. $V^{*}$, которое является подкольцом кольца всех функций $V\to k$. Если мы зафиксируем основу для V и напишем $t_{i}$ для его двойственного базиса, то k [ V ] состоит из многочленов от $t_{i}$.

Если k бесконечно, то k [ V ] — симметрическая алгебра дуального пространства $V^{*}$.

В приложениях также определяют k [ V когда V определено над некоторым подполем k ] , (например, k — комплексное поле, а V — вещественное векторное пространство). То же определение по-прежнему применяется.

На протяжении всей статьи для простоты базовое поле k предполагается бесконечным.

Связь с кольцом полиномов

Позволять $A=K[x]$ — множество всех полиномов над полем K а B — множество всех полиномиальных функций от одной переменной над K. , И A , и B являются алгебрами над K, заданными стандартным умножением и сложением многочленов и функций. Мы можем составить карту каждого $f$ в А до ${\hat {f}}$ в B по правилу ${\hat {f}}(t)=f(t)$. Плановая проверка показывает, что отображение $f\mapsto {\hat {f}}$ является гомоморфизмом алгебр A и B . Этот гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда K — бесконечное поле. Например, если K — конечное поле, то пусть $p(x)=\prod \limits _{t\in K}(x-t)$. p — ненулевой многочлен от K [ x ], однако $p(t)=0$ для всех t в K , так что ${\hat {p}}=0$ — нулевая функция, и наш гомоморфизм не является изоморфизмом (и, собственно, алгебры не изоморфны, поскольку алгебра полиномов бесконечна, а алгебра полиномиальных функций конечна).

Если K бесконечно, то выберите многочлен f такой, что ${\hat {f}}=0$. Мы хотим показать, что это означает, что $f=0$. Позволять $\deg f=n$ и пусть $t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}$ быть n +1 различными элементами из K . Затем $f(t_{i})=0$ для $0\leq i\leq n$ и по интерполяции Лагранжа имеем $f=0$. Следовательно, отображение $f\mapsto {\hat {f}}$ является инъективным . Поскольку это отображение явно сюръективно , оно биективно является изоморфизмом алгебр A и B. и, следовательно ,

Симметричные полилинейные карты

Пусть k — бесконечное поле нулевой характеристики (или, по крайней мере, очень большой), а V — конечномерное векторное пространство.

Позволять $S^{q}(V)$ обозначим векторное пространство полилинейных функционалов $\textstyle \lambda :\prod _{1}^{q}V\to k$ симметричные; $\lambda (v_{1},\dots ,v_{q})$ одинаково для всех перестановок $v_{i}$х.

Любой λ из $S^{q}(V)$ порождает однородную полиномиальную функцию f степени q полагаем : мы просто $f(v)=\lambda (v,\dots ,v).$ Чтобы увидеть, что f — полиномиальная функция, выберите базис $e_{i},\,1\leq i\leq n$ V ​ и $t_{i}$ он двойной. Затем

$\lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})$,

из чего следует, что f является полиномом от t _i .

Таким образом, существует четко определенное линейное отображение :

$\phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).$

Покажем, что это изоморфизм. Выбрав базис, как и раньше, любую однородную полиномиальную функцию f степени q можно записать как:

$f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}$

где $a_{i_{1}\cdots i_{q}}$ симметричны в $i_{1},\dots ,i_{q}$. Позволять

$\psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).$

Четко, $\phi \circ \psi$ является личностью; в частности, φ сюръективен. Чтобы увидеть, что φ инъективен, предположим, что φ(λ) = 0. Рассмотрим

$\phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})$,

что равно нулю. Коэффициент при t ₁ t ₂ … t _q в приведенном выше выражении равен q ! раз λ( v ₁ , …, v _q ); отсюда следует, что λ = 0.

Примечание. φ не зависит от выбора базиса; таким образом, приведенное выше доказательство показывает, что ψ также не зависит от базиса, что априори не очевидно.

Пример: Билинейный функционал единственным образом порождает квадратичную форму , и таким образом возникает любая квадратичная форма.

ряда

Основная статья: серия Тейлора

Учитывая гладкую функцию, локально можно получить частную производную функции из ее разложения в ряд Тейлора и, наоборот, можно восстановить функцию из разложения в ряд. Этот факт продолжает сохраняться для полиномиальных функций в векторном пространстве. Если f находится в k [ V ], то пишем: для x , y в V ,

$f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)$

где g _n (x, y) однородны степени n по y и лишь конечное число из них отличны от нуля. Затем мы позволяем

$(P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),$

приводит к линейному эндоморфизму Py _числа k что [ V ]. Он называется поляризационным оператором. Итак, мы имеем, как и обещали:

Теорема . Для каждого f в k [V] и x , y в V ,

$f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}P_{y}^{n}f(x)$.

Доказательство: Сначала отметим, что ( P _y f ) ( x ) — коэффициент при t в f ( x + t y ); другими словами, поскольку г ₀ ( x , y ) = г ₀ ( x , 0) = f ( x ),

$P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)$

где правая часть по определению равна

$\left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.$

Отсюда следует теорема. Например, для n = 2 имеем:

$P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x+t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}}\right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).$

Общий случай аналогичен. $\square$

Алгебра операторного произведения

Когда многочлены оцениваются не по полю k , а по некоторой алгебре, можно определить дополнительную структуру. Так, например, можно рассматривать кольцо функций над GL(n,m) вместо k = GL(1,m) . В этом случае можно ввести дополнительную аксиому.

Алгебра операторного произведения представляет собой ассоциативную алгебру вида

$A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)$

Структурные константы $f_{k}^{ij}(x,y,z)$ должны быть однозначными функциями, а не сечениями некоторого векторного расслоения . Поля (или операторы) $A^{i}(x)$ необходимы для охвата кольца функций . В практических расчетах обычно требуется, чтобы суммы были аналитическими в пределах некоторого радиуса сходимости ; обычно с радиусом сходимости $|x-y|$. Таким образом, кольцо функций можно считать кольцом полиномиальных функций.

Вышеизложенное можно считать дополнительным требованием, предъявляемым к кольцу; его иногда называют бутстрапом . В физике особый случай алгебры операторного произведения известен как разложение операторного произведения .

См. также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Полиномиальное кольцо
• Симметричная алгебра
• Касательное пространство Зарисского

Ссылки

• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.) .