Расширение продукта оператора

Не путать с формализмом оператора продукта .

В квантовой теории поля ( разложение произведения оператора OPE ) используется в качестве аксиомы для определения произведения полей как суммы по одним и тем же полям. В качестве аксиомы она предлагает непертурбативный подход к квантовой теории поля. Одним из примеров является алгебра вершинных операторов , которая использовалась для построения двумерных конформных теорий поля . Можно ли распространить этот результат на КТП в целом, разрешив тем самым многие трудности пертурбативного подхода, остается открытым исследовательским вопросом.

В практических расчетах, например, необходимых для расчета амплитуд рассеяния в различных экспериментах на коллайдере, разложение по произведению операторов используется в правилах сумм КХД для объединения результатов как пертурбативных, так и непертурбативных (конденсатных) расчетов.

поля

В двумерной евклидовой теории поля разложение произведения оператора представляет собой разложение в ряд Лорана, связанное с двумя операторами. Ряд Лорана является обобщением ряда Тейлора в том смысле, что к ряду Тейлора добавляется конечное число степеней обратной переменной(-ов) разложения: к ряду добавляются полюса(-и) конечного порядка(-ов).

С эвристической точки зрения в квантовой теории поля интересуют результаты физических наблюдаемых, представленных операторами . Если кто-то хочет узнать результат двух физических наблюдений в двух точках $z$ и $w$, можно упорядочить эти операторы по возрастанию времени.

Если кто-то отображает координаты конформным образом, его часто интересует радиальное упорядочение. Это аналог упорядочения времени, при котором увеличение времени отображается в некоторый увеличивающийся радиус на комплексной плоскости. Интересует также нормальный порядок операторов создания.

с радиальным упорядочением ОПЭ можно записать как ОПЭ с нормальным упорядочением за вычетом членов с ненормальным упорядочением. Термы ненормального порядка часто можно записать в виде коммутатора , и они имеют полезные упрощающие тождества. Радиальное упорядочение обеспечивает сходимость расширения.

Результатом является сходящееся разложение произведения двух операторов через некоторые члены, имеющие полюсы в комплексной плоскости (члены Лорана), и члены, которые являются конечными. Этот результат представляет собой расширение двух операторов в двух разных точках как расширение только вокруг одной точки, где полюса представляют собой то, где две разные точки являются одной и той же точкой, например

$1/(z-w)$.

С этим связано то, что оператор на комплексной плоскости обычно записывается как функция $z$ и ${\bar {z}}$. Их называют голоморфной и антиголоморфной частями соответственно, поскольку они непрерывны и дифференцируемы, за исключением (конечного числа) особенностей. На самом деле их следовало бы называть мероморфными , но голоморфны в просторечии они . В общем случае разложение операторного произведения может не разделяться на голоморфную и антиголоморфную части, особенно если существуют $\log z$ условия в расширении. Однако производные OPE часто могут разделить расширение на голоморфное и антиголоморфное. Это выражение также является OPE и в целом более полезно.

Алгебра операторного произведения

В общем случае дан набор полей (или операторов) $A^{i}(x)$ предполагается, что они оцениваются по некоторой алгебре . Например, фиксируя x , $A^{i}(x)$ можно считать охватывающим некоторую алгебру Ли . Освободив x для жизни в многообразии, операторный продукт $A^{i}(x)B^{j}(y)$ тогда это просто некоторый элемент в кольце функций . В общем, такие кольца не обладают достаточной структурой, чтобы делать осмысленные утверждения; таким образом, рассматриваются дополнительные аксиомы для усиления системы.

Алгебра операторного произведения представляет собой ассоциативную алгебру вида

$A^{i}(x)B^{j}(y)=\sum _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)$

Структурные константы $f_{k}^{ij}(x,y,z)$ должны быть однозначными функциями, а не сечениями некоторого векторного расслоения . Кроме того, поля должны охватывать кольцо функций. В практических расчетах обычно требуется, чтобы суммы были аналитическими в пределах некоторого радиуса сходимости ; обычно с радиусом сходимости $|x-y|$. Таким образом, кольцо функций можно считать кольцом полиномиальных функций .

Вышеизложенное можно рассматривать как требование, предъявляемое к кольцу функций; наложение этого требования на поля конформной теории поля известно как конформный бутстрап .

Примером алгебры операторного произведения является алгебра вершинных операторов . В настоящее время есть надежда, что алгебры произведений операторов можно использовать для аксиоматизации всей квантовой теории поля; они успешно сделали это для конформных теорий поля, и можно ли использовать их в качестве основы для непертурбативной КТП — открытая область исследований.

Расширение продукта оператора

В квантовой теории поля операторное разложение произведения ( ОПЕ ) представляет собой сходящееся разложение произведения двух полей в разных точках как сумму (возможно, бесконечную) локальных полей.

Точнее, если $y$ это точка, и $A$ и $B$ являются полями с операторным значением , то существует открытая окрестность $O$ из $y$ такой, что для всех $x\in O\setminus \{y\}$

$A(x)B(y)=\sum _{i}c_{i}(x-y)C_{i}(y)$

где сумма ведется по конечному или счетному числу членов, $C_{i}$ поля с операторными значениями, $c_{i}$ являются аналитическими функциями над $O\setminus \{y\}$ и сумма сходится в операторной топологии в пределах $O\setminus \{y\}$.

ОПЭ чаще всего используются в конформной теории поля .

Обозначения $F(x,y)\sim G(x,y)$ часто используется для обозначения того, что разность G(x,y)-F(x,y) остается аналитической в ​​точках x=y. Это отношение эквивалентности .

Внешние ссылки

• OPE в Scholarpedia