Амплитуда рассеяния

В квантовой физике амплитуда рассеяния — это амплитуда вероятности исходящей сферической волны относительно входящей плоской волны в стационарном состоянии в процессе рассеяния . На больших расстояниях от центрально-симметричного центра рассеяния плоская волна описывается волновой функцией

$\psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,$

где $\mathbf {r} \equiv (x,y,z)$ – вектор положения; $r\equiv |\mathbf {r} |$; $e^{ikz}$ – приходящая плоская волна с волновым числом k вдоль оси z ; $e^{ikr}/r$ – исходящая сферическая волна; θ — угол рассеяния (угол между направлением падения и рассеяния); и $f(\theta )$ – амплитуда рассеяния. Размерность равна амплитуды рассеяния длине . Амплитуда рассеяния является амплитудой вероятности ; дифференциальное сечение как функция угла рассеяния определяется как квадрат его модуля ,

$d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .$

Асимптотика волновой функции в произвольном внешнем поле принимает вид

$\psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}}{r}}$

где $\mathbf {n}$ - направление падающих частиц и $\mathbf {n} '$ – направление рассеянных частиц.

Унитарное состояние

Когда во время рассеяния сохраняется сохранение числа частиц, это приводит к унитарному условию для амплитуды рассеяния. В общем случае мы имеем

$f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''$

оптическая теорема , полагая Отсюда следует $\mathbf {n} =\mathbf {n} '.$

В центрально-симметричном поле унитарное условие принимает вид

$\mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''$

где $\gamma$ и $\gamma '$ это углы между $\mathbf {n}$ и $\mathbf {n} '$ и какое-то направление $\mathbf {n} ''$. Это условие накладывает ограничение на разрешенную форму для $f(\theta )$, т. е. действительная и мнимая часть амплитуды рассеяния в этом случае не являются независимыми. Например, если $|f(\theta )|$ в $f=|f|e^{2i\alpha }$ известно (скажем, из измерения сечения), то $\alpha (\theta )$ можно определить так, что $f(\theta )$ однозначно определяется в пределах альтернативы $f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )$.

волновое

Основная статья: Частичный волновой анализ

В парциальном разложении амплитуда рассеяния представляется как сумма по парциальным волнам:

$f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )$,

где f _ℓ — частичная амплитуда рассеяния, а P _ℓ — полиномы Лежандра . парциальной S-матрицы Частичная амплитуда может быть выражена через элемент S _ℓ ( $=e^{2i\delta _{\ell }}$) и фазовый сдвиг рассеяния δ _ℓ как

$f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.$

Тогда полное сечение

$\sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega$,

можно расширить как

$\sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}$

— частичное сечение. Полное сечение также равно $\sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)$ по оптической теореме .

Для $\theta \neq 0$, мы можем написать

$f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\ell }(\cos \theta ).$

Рентгеновские снимки

Длина рассеяния рентгеновских лучей — это длина томсоновского рассеяния или классический радиус электрона r ₀ .

Нейтроны

ядерных Процесс рассеяния нейтронов включает в себя длину когерентного рассеяния нейтронов, часто описываемую b .

механический

Квантово-механический подход определяется формализмом S-матрицы .

Измерение

Амплитуда рассеяния может определяться длиной рассеяния в низкоэнергетическом режиме.

См. также

• Венецианская амплитуда
• Расширение плоской волны