Оптическая теорема

В физике оптическая теорема — это общий закон волн теории рассеяния под нулевым углом , который связывает амплитуду рассеяния с полным сечением рассеивателя. Обычно его записывают в виде

$\sigma ={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),$

где f (0) — амплитуда рассеяния на нулевой угол, т. е. амплитуда волны, рассеянной к центру дальнего экрана, а k — волновой вектор в направлении падения.

Поскольку оптическая теорема выведена с использованием только сохранения энергии или в квантовой механике из сохранения вероятности , оптическая теорема широко применима, а в механике квантовой $\sigma _{\mathrm {tot} }$ включает как упругое , так и неупругое рассеяние.

Обобщенная оптическая теорема , впервые выведенная Вернером Гейзенбергом , следует из унитарного условия и дается формулой

$f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi }}\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\Omega ''$

где $f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')$ – амплитуда рассеяния, зависящая от направления $\mathbf {n}$ падающей волны и направление $\mathbf {n} '$рассеяния и $d\Omega$ – дифференциальный телесный угол . Когда $\mathbf {n} =\mathbf {n} '$, приведенное выше соотношение дает оптическую теорему, поскольку левая часть вдвое больше мнимой части $f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} )$ и поскольку $\sigma =\int |f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')|^{2}\,d\Omega ''$. Для рассеяния в центрально-симметричном поле $f$ зависит только от угла $\theta$ между $\mathbf {n}$ и $\mathbf {n} '$, и в этом случае указанное выше соотношение сводится к

$\mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''$

где $\gamma$ и $\gamma '$ это углы между $\mathbf {n}$ и $\mathbf {n} '$ и какое-то направление $\mathbf {n} ''$.

История

Оптическая теорема была первоначально разработана независимо Вольфгангом Селлмайером. и лорд Рэлей в 1871 году. под нулевым углом Лорд Рэлей определил амплитуду рассеяния через показатель преломления как

$n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}$

(где N — плотность рассеивателей),который он использовал при исследовании цвета и поляризации неба.

оно стало известно как соотношение Бора – Пайерлса – Плачека Позже несколько человек расширили это уравнение на квантовую теорию рассеяния, и после статьи 1939 года . Впервые ее назвали «оптической теоремой» в печати в 1955 году Ганс Бете и Фредерик де Хоффманн , после того как она некоторое время была известна как «хорошо известная теорема оптики».

Вывод

Теорема может быть выведена довольно непосредственно из рассмотрения скалярной волны . Если плоская волна падает на объект вдоль положительной оси z, то амплитуда рассеяния волны на большом расстоянии от рассеивателя приблизительно равна

$\psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.$

Все высшие члены, возведенные в квадрат, исчезают быстрее, чем $1/r^{2}$, и поэтому на большом расстоянии пренебрежимо малы. Для больших значений $z$ а для малых углов разложение Тейлора дает нам

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z}}.$

Теперь мы хотели бы воспользоваться тем фактом, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды $\psi$. аппроксимация $1/r$ как $1/z$, у нас есть

${\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}$

Если мы отбросим $1/z^{2}$ термин и использовать тот факт, что $c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}$, у нас есть

$|\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right]}.$

Теперь предположим, что мы интегрируем по экрану, расположенному далеко в плоскости xy , который достаточно мал, чтобы можно было использовать приближения малых углов, но достаточно велик, чтобы мы могли интегрировать интенсивность по $-\infty$ к $\infty$ по x и y с незначительной ошибкой. В оптике это эквивалентно суммированию по множеству полос дифракционной картины. Методом стационарной фазы можно аппроксимировать $f(\theta )=f(0)$ в приведенном ниже интеграле. Мы получаем

$\int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],$

где А — площадь поверхности, проинтегрированная по ней. Хотя это несобственные интегралы, с помощью подходящих замен экспоненты можно преобразовать в комплексные гауссианы и вычислить определенные интегралы, в результате чего:

${\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{\frac {2\pi iz}{k}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{aligned}}$

Это вероятность достижения экрана, если ни один из них не был разбросан, уменьшенная на величину $(4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]$, что, следовательно, является эффективным сечением рассеяния рассеивателя.

См. также

• S-матрица

Ссылки

• Роджер Г. Ньютон (1976). «Оптическая теорема и не только». Являюсь. Дж. Физ . 44 (7): 639–642. Бибкод : 1976AmJPh..44..639N . дои : 10.1119/1.10324 .
• Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Типография Гамильтона. ISBN  0-471-30932-Х .