Сечение (физика)

«Сечение рассеяния» перенаправляется сюда. Не путать с сечением радиолокационного рассеяния .

В физике сечение является мерой вероятности того, что при столкновении двух частиц произойдет определенный процесс. Например, резерфордовское сечение — это мера вероятности того, что альфа-частица отклонится на заданный угол при взаимодействии с атомным ядром . Поперечное сечение обычно обозначается σ ( сигма ) и выражается в единицах площади, точнее в сараях . В каком-то смысле его можно рассматривать как размер объекта, на который должно попасть возбуждение, чтобы процесс произошел, но точнее, это параметр случайного процесса .

Когда две дискретные частицы взаимодействуют в классической физике, их взаимное сечение — это площадь , поперечная их относительному движению, внутри которой они должны встретиться, чтобы разлететься друг от друга. Если частицы представляют собой твердые неупругие сферы , взаимодействующие только при контакте, то сечение их рассеяния связано с их геометрическим размером. Если частицы взаимодействуют посредством какой-либо силы, действующей на расстоянии, такой как электромагнетизм или гравитация , их сечение рассеяния обычно больше, чем их геометрический размер.

Когда сечение указывается как дифференциальный предел функции некоторой переменной конечного состояния, такой как угол частицы или энергия, оно называется дифференциальным сечением (см. подробное обсуждение ниже). Когда сечение интегрируется по всем углам рассеяния (и, возможно, по другим переменным), оно называется полным сечением или интегрированным полным сечением . Например, при рэлеевском рассеянии интенсивность, рассеянная под прямыми и обратными углами, больше, чем интенсивность, рассеянная вбок, поэтому прямое дифференциальное сечение рассеяния больше, чем перпендикулярное дифференциальное сечение, и путем сложения всех бесконечно малых сечений весь диапазон углов с помощью интегрального исчисления можно найти полное сечение.

Сечения рассеяния могут быть определены в ядерной , атомной физике и физике элементарных частиц для столкновений ускоренных пучков частиц одного типа с мишенями (неподвижными или движущимися) частиц второго типа. Вероятность возникновения любой реакции пропорциональна ее поперечному сечению. Таким образом, указание сечения данной реакции является показателем вероятности того, что произойдет данный процесс рассеяния.

Измеренная скорость реакции данного процесса сильно зависит от экспериментальных переменных, таких как плотность материала мишени, интенсивность луча, эффективность обнаружения устройства или настройка угла устройства обнаружения. Однако эти величины можно не учитывать, что позволяет измерить основное сечение двухчастичных столкновений.

Дифференциальные и полные сечения рассеяния относятся к числу важнейших измеримых величин в ядерной , атомной физике и физике элементарных частиц .

При рассеянии света на частице сечение определяет количество оптической мощности, рассеянной светом заданной освещенности (мощность на площадь). Важно отметить, что хотя поперечное сечение имеет те же единицы измерения, что и площадь, оно не обязательно может соответствовать фактическому физическому размеру цели, определяемому другими формами измерения. Нередко фактическая площадь поперечного сечения рассеивающего объекта оказывается намного больше или меньше площади сечения относительно какого-либо физического процесса. Например, плазмонные наночастицы могут иметь сечения рассеяния света для определенных частот, которые намного превышают их фактическую площадь поперечного сечения.

Столкновение частиц газа

Рисунок 1. В газе частиц индивидуального диаметра 2 r сечение столкновений σ связано с плотностью числа частиц n и длиной свободного пробега между столкновениями λ .

В газе , состоящем из частиц конечного размера, происходят столкновения между частицами, которые зависят от размера их поперечного сечения. Среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями, зависит от плотности частиц газа. Эти величины связаны соотношением

$\sigma ={\frac {1}{n\lambda }},$

где

σ — сечение столкновения двух частиц ( единица СИ : м ² ),

λ — средняя длина свободного пробега между столкновениями (единица СИ: м),

n - числовая плотность целевых частиц (единица СИ: м ⁻³ ).

Если частицы в газе можно рассматривать как твердые сферы радиуса r, которые взаимодействуют путем прямого контакта, как показано на рисунке 1, то эффективное сечение столкновения пары будет равно

$\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}$

Если частицы в газе взаимодействуют с силой, имеющей больший диапазон, чем их физический размер, то поперечное сечение представляет собой большую эффективную площадь, которая может зависеть от множества переменных, таких как энергия частиц.

Сечения можно рассчитать для атомных столкновений, но они также используются в субатомной сфере. Например, в ядерной физике «газ» нейтронов низкой энергии сталкивается с ядрами в реакторе или другом ядерном устройстве, поперечное сечение которого зависит от энергии и, следовательно, также с четко определенной средней длиной свободного пробега между столкновениями.

Ослабление пучка частиц

См. также: Затухание

Если пучок частиц попадет в тонкий слой материала толщиной d z , поток Φ пучка уменьшится на dΦ согласно закону

${\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,$

где σ — полное сечение всех событий, включая рассеяние , поглощение или превращение в другой вид. Объемная плотность рассеивающих центров обозначается n . Решение этого уравнения демонстрирует экспоненциальное затухание интенсивности луча:

$\Phi =\Phi _{0}e^{-n\sigma z},$

где Ф ₀ — начальный поток, а z — общая толщина материала. Для света это называется законом Бера-Ламберта .

Дифференциальное сечение

Рассмотрим классическое измерение, при котором одна частица рассеивается от одной неподвижной частицы-мишени. Обычно сферическая система координат используется , в которой мишень расположена в начале координат, а ось z этой системы координат совмещена с падающим лучом. Угол θ — это угол рассеяния , измеренный между падающим и рассеянным лучом, а φ — азимутальный угол .

Прицельный параметр b представляет собой перпендикулярное смещение траектории входящей частицы, а выходящая частица выходит под углом θ . Для данного взаимодействия ( кулоновского , магнитного , гравитационного , контактного и т. д.) прицельный параметр и угол рассеяния имеют определенную взаимно-однозначную функциональную зависимость друг от друга. Обычно прицельный параметр нельзя ни контролировать, ни измерять от события к событию, и предполагается, что он принимает все возможные значения при усреднении по множеству событий рассеяния. Дифференциальный размер поперечного сечения представляет собой элемент площади в плоскости прицельного параметра, т.е. d σ = b d φ d b . Дифференциальный угловой диапазон рассеянной частицы под углом θ представляет собой элемент телесного угла dΩ = sin θ d θ d φ . Дифференциальное сечение представляет собой частное этих величин: d σ / дОм .

Это функция угла рассеяния (и, следовательно, также прицельного параметра), а также других наблюдаемых величин, таких как импульс падающей частицы. Дифференциальное сечение всегда считается положительным, хотя большие параметры удара обычно вызывают меньшее отклонение. В цилиндрически симметричных ситуациях (относительно оси пучка) азимутальный угол φ не изменяется в результате процесса рассеяния, и дифференциальное сечение можно записать как

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi$.

В ситуациях, когда процесс рассеяния не является азимутально-симметричным, например, когда частицы пучка или мишени обладают магнитными моментами, ориентированными перпендикулярно оси пучка, дифференциальное сечение также должно быть выражено как функция азимутального угла.

При рассеянии частиц падающего потока F _inc на неподвижной мишени, состоящей из многих частиц, дифференциальное сечение d σ / dΩ под углом ( θ , φ ) связана с потоком регистрации рассеянных частиц F _out ( θ , φ ) в частицах в единицу времени соотношением

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.$

Здесь ΔΩ — конечный угловой размер детектора (единица СИ: ср ), n — плотность числа частиц мишени (единица СИ: м ⁻³ ), а t — толщина неподвижной цели (единица СИ: м). Эта формула предполагает, что мишень достаточно тонкая, чтобы каждая частица пучка взаимодействовала не более чем с одной частицей мишени.

Полное сечение σ можно восстановить путем интегрирования дифференциального сечения d σ / dΩ по полному телесному углу ( 4π стерадианы):

$\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

«дифференциал» обычно опускают Квалификатор , когда тип поперечного сечения можно определить из контекста. В этом случае σ можно называть интегральным сечением или полным сечением . Последний термин может сбивать с толку в контекстах, где задействовано несколько событий, поскольку «всего» также может относиться к сумме сечений по всем событиям.

Дифференциальное сечение является чрезвычайно полезной величиной во многих областях физики, поскольку его измерение может дать большой объем информации о внутренней структуре целевых частиц. Например, дифференциальное сечение резерфордовского рассеяния предоставило убедительное доказательство существования атомного ядра.

Вместо телесного угла передачу импульса в качестве независимой переменной дифференциальных сечений можно использовать .

Дифференциальные сечения неупругого рассеяния содержат резонансные пики , указывающие на создание метастабильных состояний и содержащие информацию об их энергии и времени жизни.

Квантовое рассеяние

В независимом от времени формализме квантового рассеяния исходной волновой функцией (до рассеяния) считается плоская волна с определенным импульсом k :

$\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},$

где z и r — относительные координаты между снарядом и целью. Стрелка указывает, что это описывает асимптотическое поведение волновой функции только тогда, когда снаряд и цель находятся слишком далеко друг от друга, чтобы взаимодействие могло иметь какой-либо эффект.

Ожидается, что после рассеяния волновая функция примет следующий асимптотический вид:

$\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},$

где f — некоторая функция угловых координат, известная как амплитуда рассеяния . Эта общая форма справедлива для любого короткодействующего энергосберегающего взаимодействия. Это неверно для дальнодействующих взаимодействий, поэтому при рассмотрении электромагнитных взаимодействий возникают дополнительные сложности.

Полная волновая функция системы асимптотически ведет себя как сумма

$\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).$

Дифференциальное сечение связано с амплитудой рассеяния:

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.$

Это имеет простую интерпретацию как плотность вероятности обнаружения рассеянного снаряда под заданным углом.

Таким образом, поперечное сечение является мерой эффективной площади поверхности, видимой падающими частицами, и поэтому выражается в единицах площади. Поперечное сечение двух частиц (т.е. наблюдаемое, когда две частицы сталкиваются друг с другом) является мерой события взаимодействия между двумя частицами. Сечение пропорционально вероятности того, что произойдет взаимодействие; например, в простом эксперименте по рассеянию число частиц, рассеянных в единицу времени (ток рассеянных частиц I _r ), зависит только от количества падающих частиц в единицу времени (ток падающих частиц I _i ), характеристик мишени ( например количество частиц на единицу поверхности N ) и тип взаимодействия. При Nσ ≪ 1 имеем

${\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{probability of interaction}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}$

Связь с S-матрицей

Если приведенные массы и импульсы сталкивающейся системы равны m _f , p _f m i , pi и до _и после столкновения _{соответственно} , дифференциальное сечение определяется выражением

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},$

на оболочке где матрица T определяется выражением

$S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}$

в терминах S-матрицы . Здесь δ — дельта-функция Дирака . Вычисление S-матрицы является основной целью теории рассеяния .

Единицы

Хотя системе СИ единицей полного сечения в является м ² на практике обычно используется меньшая единица.

В ядерной физике и физике элементарных частиц общепринятой единицей является сарай b , где 1 b = 10. ⁻²⁸ м ² = 100 Фм ² . более мелкие единицы с префиксом, такие как mb и μb Также широко используются . Соответственно, дифференциальное сечение может измеряться в таких единицах, как мб/ср.

Когда рассеянное излучение представляет собой видимый свет, длину пути принято измерять в сантиметрах . Чтобы избежать необходимости использования коэффициентов пересчета, сечение рассеяния выражается в см. ² , а числовая концентрация в см ⁻³ . Измерение рассеяния видимого света известно как нефелометрия и эффективно для частиц диаметром 2–50 мкм : как таковое оно широко используется в метеорологии и при измерении загрязнения атмосферы .

Рассеяние рентгеновских лучей также можно описать с помощью сечений рассеяния, и в этом случае квадратный ангстрем : 1 Å. удобной единицей измерения является ² = 10 ⁻²⁰ м ² = 22 000   вечера ² = 10 ⁸ б. Сумма сечений рассеяния, фотоэлектрического и образования пар (в амбарах) отображается как «коэффициент атомного ослабления» (узкий луч) в амбарах.

Рассеяние света

Для света, как и в других условиях, сечение рассеяния частиц обычно отличается от геометрического сечения частицы и зависит от длины волны света, диэлектрической проницаемости , формы и размера частицы. Общая величина рассеяния в разреженной среде пропорциональна произведению сечения рассеяния на количество присутствующих частиц.

При взаимодействии света с частицами происходит множество процессов, каждый со своим сечением, включая поглощение , рассеяние и фотолюминесценцию . Сумму сечений поглощения и рассеяния иногда называют сечением затухания или затухания.

$\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.$

Полное сечение поглощения связано с ослаблением интенсивности света посредством закона Бера-Ламберта , который гласит, что ослабление пропорционально концентрации частиц:

$A_{\lambda }=Cl\sigma ,$

где A _λ — затухание на данной длине волны λ , C — концентрация частиц как плотность числа, а l — длина пути . Поглощение излучения представляет собой логарифм ( десятичный или, чаще, натуральный ) обратной величины коэффициента пропускания T :

$A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.$

Объединение сечений рассеяния и поглощения таким образом часто обусловлено невозможностью различить их экспериментально, и много исследовательских усилий было затрачено на разработку моделей, позволяющих их различать, причем теория Кубелки-Мунка является одной из наиболее важных в эта область.

Поперечное сечение

Сечения, обычно рассчитываемые с использованием теории Ми, включают коэффициенты эффективности затухания. ${\textstyle Q_{\text{ext}}}$, рассеяние ${\textstyle Q_{\text{sc}}}$и поглощение ${\textstyle Q_{\text{abs}}}$ поперечные сечения. Они нормированы геометрическими сечениями частицы. ${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$ как

$$Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.$$

Сечение определяется

$\sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}$

где $\left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]$ - поток энергии через окружающую поверхность, и $\left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]$ – интенсивность падающей волны. Для плоской волны интенсивность будет равна $I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )$, где $\eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}$ – импеданс принимающей среды .

Основной подход основан на следующем. Сначала построим воображаемую сферу радиуса $r$ (поверхность $A$) вокруг частицы (рассеивателя). Чистая скорость электромагнитной энергии пересекает поверхность $A$ является

$W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA$

где ${\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$ – усредненный по времени вектор Пойнтинга. Если $W_{\text{a}}>0$ энергия поглощается внутри сферы, в противном случае энергия создается внутри сферы. Мы не будем здесь рассматривать этот случай. Если среда-хозяин не поглощает, энергия должна быть поглощена частицей. Разложим общее поле на падающую и рассеянную части. $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}$, и то же самое для магнитного поля $\mathbf {H}$. Таким образом, мы можем разложить $W_{a}$ на три термина $W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}$, где

$W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.$

где $\mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]$, $\mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]$, и $\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]$.

Все поле можно разложить на ряд векторных сферических гармоник (ВСГ) . После этого можно брать все интегралы.В случае однородной сферы радиуса $a$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$и проницаемость $\mu$, задача имеет точное решение. Коэффициенты рассеяния и экстинкции равны

$$Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})$$

$$Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$$

Где ${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$. Они связаны как

$$\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}$$

для сечения

Предположим, что частица поддерживает только электрические и магнитные дипольные моды с поляризуемостями ${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$ и ${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$ (здесь мы используем обозначения магнитной поляризуемости в духе Бекшаева и др. а не обозначения Ньето-Весперинаса и др. ), выраженный через коэффициенты Ми как

$$\alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.$$

Тогда сечения будут иметь вид

$$\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})$$

$$\sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}$$

и, наконец, сечения электрического и магнитного поглощения ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$ являются

$$\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]$$

и

$$\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]$$

В случае частицы без внутреннего усиления, т. е. частица не излучает энергию внутри ( ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$), мы имеем частный случай Оптической теоремы

$${\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]$$

Равенство имеет место для непоглощающих частиц, т.е. для ${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$.

Рассеяние света на протяженных телах

В контексте рассеяния света на протяженных телах сечение рассеяния σ _sc описывает вероятность рассеяния света макроскопической частицей. В общем, сечение рассеяния отличается от геометрического сечения частицы, поскольку оно зависит от длины волны света и диэлектрической проницаемости , а также от формы и размера частицы. Общая величина рассеяния в разреженной среде определяется произведением сечения рассеяния на количество присутствующих частиц. По площади полное сечение ( σ ) представляет собой сумму сечений поглощения , рассеяния и люминесценции :

$\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.$

Полное сечение связано с поглощением интенсивности света посредством закона Бера-Ламберта , который гласит, что поглощение пропорционально концентрации: A _λ = Clσ , где A _λ — поглощение при данной длине волны λ , C — концентрация как числовая плотность , а l — длина пути . Ослабление или поглощение излучения представляет собой логарифм ( десятичный или, чаще, натуральный ) обратной величины коэффициента пропускания T :

$A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.$

Отношение к физическому размеру

Между сечением рассеяния и физическим размером частиц нет простой связи, поскольку сечение рассеяния зависит от длины волны используемого излучения. Это можно увидеть, глядя на гало, окружающее Луну в прилично туманный вечер: фотоны красного света испытывают большую площадь поперечного сечения капель воды, чем фотоны более высокой энергии. Таким образом, гало вокруг Луны имеет периметр красного света из-за того, что фотоны с более низкой энергией рассеиваются дальше от центра Луны. Фотоны остального видимого спектра остаются в центре гало и воспринимаются как белый свет.

Метеорологический диапазон

Сечение рассеяния связано с метеорологическим диапазоном L _V :

$L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.$

Величину Cσ _scat иногда обозначают b _scat — коэффициент рассеяния на единицу длины.

Примеры

Упругое столкновение двух твердых сфер

Следующие уравнения применимы к двум твердым сферам, которые испытывают абсолютно упругое столкновение. Обозначим через R и r радиусы рассеивающего центра и рассеянной сферы соответственно. Дифференциальное сечение

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},$

а полное сечение

$\sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.$

Другими словами, полное сечение рассеяния равно площади круга (с радиусом r + R ), в пределах которого должен попасть центр масс налетающей сферы, чтобы она отклонилась.

Резерфордовское рассеяние

При резерфордовском рассеянии падающая частица с зарядом q и энергией рассеивается на неподвижной частице с зарядом Q. E Дифференциальное сечение

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}$

где $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума . Полное сечение бесконечно, если не существует обрезания при малых углах рассеяния. $\theta$ применяется. Это связано с большой дальностью действия. $1/r$ Кулоновский потенциал.

Рассеяние от двумерного круглого зеркала

В следующем примере рассматривается луч света, рассеивающийся на круге радиуса r и идеально отражающей границе. Пучок состоит из однородной плотности параллельных лучей, а взаимодействие пучка с кругом моделируется в рамках геометрической оптики . Поскольку задача действительно двумерная, поперечное сечение имеет единицу длины (например, метр). Пусть α — угол между лучом света и радиусом, соединяющим точку отражения луча с центральной точкой зеркала. Тогда увеличение длины элемента, перпендикулярного балке, равно

$\mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .$

Угол отражения этого луча по отношению к приходящему лучу равен 2α , а угол рассеяния –

$\theta =\pi -2\alpha .$

Дифференциальная связь между падающей и отраженной интенсивностью I равна

$I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .$

Таким образом, дифференциальное сечение равно ( dΩ = d θ )

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Его максимум при θ = π соответствует рассеянию назад, а минимум при θ = 0 соответствует рассеянию от края круга прямо вперед. Это выражение подтверждает интуитивные ожидания, что зеркальный круг действует как рассеивающая линза . Полное сечение равно диаметру круга:

$\sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.$

Рассеяние от трехмерного сферического зеркала

Результат предыдущего примера можно использовать для решения аналогичной задачи в трех измерениях, т. е. рассеяния на идеально отражающей сфере радиуса a .

Плоскость, перпендикулярная падающему лучу света, может быть параметризована цилиндрическими координатами r и φ . В любой плоскости входящего и отраженного луча можно написать (из предыдущего примера):

${\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}$

при этом элемент зоны воздействия

$\mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

В сферических координатах

$\mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Вместе с тригонометрическим тождеством

$\sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),$

мы получаем

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.$

Полное сечение составляет

$\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.$

См. также

• Сечение (геометрия)
• Скорость потока
• Светимость (теория рассеяния)
• Коэффициент линейного затухания
• Массовый коэффициент затухания
• Нейтронное сечение
• Ядерное сечение
• Сечение гамма-лучей
• Частичный волновой анализ
• Детектор частиц
• Радарное сечение
• Резерфордовское рассеяние
• Амплитуда рассеяния

Ссылки

Библиография

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику . Пирсон Прентис Холл. ISBN  0-13-111892-7 . OCLC   53926857 .
• Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Милл-Вэлли, Калифорния. ISBN  1-891389-22-Х . OCLC   55729992 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Дж. Д. Бьоркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая механика , 1964 г.
• П. Роман, Введение в квантовую теорию , 1969 г.
• В. Грейнер, Дж. Рейнхардт, Квантовая электродинамика , 1994 г.
• Р.Г. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц . МакГроу Хилл, 1966 год.
• Р. К. Ферноу (1989). Введение в экспериментальную физику элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-379-403 .

Внешние ссылки

• Ядерное сечение
• Сечение рассеяния
• МАГАТЭ – Службы ядерных данных
• БНЛ – Национальный центр ядерных данных
• Группа данных о частицах - Обзор физики элементарных частиц
• Золотая книга ИЮПАК – Определение: сечение реакции
• Золотая книга ИЮПАК – Определение: поперечное сечение столкновения
• Построитель поперечных сечений ShimPlotWell для ядерных данных