Десятый логарифм

В математике десятый логарифм — это логарифм с основанием 10. ^[1] Он также известен как десятичный логарифм и как десятичный логарифм , названный в честь его основания, или логарифм Бриггса , в честь Генри Бриггса , английского математика, который первым использовал его, а также стандартный логарифм . Исторически он был известен как десятичный логарифм. ^[2] или логарифм десятилетия ^[3] Это обозначается $log(x)$ , ^[4] $журнал 10 (х)$ , ^[5] или иногда $Log(x)$ с заглавной буквы $L$ ; ^{[примечание 1]} на калькуляторах он печатается как «логарифм», но математики при написании «логарифм» обычно имеют в виду натуральный логарифм (логарифм с основанием e ≈ 2,71828), а не десятичный логарифм. Чтобы смягчить эту двусмысленность, спецификация ISO 80000 рекомендует, чтобы $log 10 (x)$ записывался $как lg(x)$ , а $log e (x)$ — как $ln(x)$ .

До начала 1970-х годов портативные электронные калькуляторы не были доступны, а механические калькуляторы, способные выполнять умножение, были громоздкими, дорогими и не были широко доступны. Вместо этого таблицы логарифмов с основанием 10 использовались в науке, технике и навигации, когда расчеты требовали большей точности, чем можно было достичь с помощью логарифмической линейки . Превратив умножение и деление в сложение и вычитание, использование логарифмов позволило избежать трудоемких и подверженных ошибкам операций умножения и деления, выполняемых карандашом и бумагой. ^[1] Поскольку логарифмы были настолько полезны, таблицы логарифмов с основанием 10 были приведены в приложениях ко многим учебникам. таблицы логарифмов тригонометрических функций . В математических и навигационных справочниках содержались также ^[6] Историю таких таблиц смотрите в таблице журналов .

Мантисса и характеристика

Важным свойством логарифмов с основанием 10, которое делает их настолько полезными в вычислениях, является то, что логарифмы чисел больше 1, отличающихся в 10-й степени, имеют одну и ту же дробную часть. Дробная часть известна как мантисса . ^{[примечание 2]} Таким образом, в таблицах журналов необходимо показывать только дробную часть. В таблицах десятичных логарифмов обычно указывается мантисса с точностью до четырех или пяти десятичных знаков или более каждого числа в диапазоне, например от 1000 до 9999.

Целую часть, называемую характеристикой , можно вычислить, просто подсчитав, на сколько знаков необходимо переместить десятичную точку, чтобы она оказалась справа от первой значащей цифры. Например, логарифм 120 определяется следующим расчетом:

\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.

Последнее число (0,07918) — дробная часть или мантисса десятичного логарифма 120 — можно найти в показанной таблице. Расположение десятичной точки в числе 120 говорит нам о том, что целая часть десятичного логарифма числа 120, характеристика, равна 2.

Отрицательные логарифмы

Положительные числа меньше 1 имеют отрицательные логарифмы. Например,

\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.

Чтобы избежать необходимости создания отдельных таблиц для преобразования положительных и отрицательных логарифмов обратно в их исходные числа, можно выразить отрицательный логарифм как отрицательную целочисленную характеристику плюс положительную мантиссу. специальная нотация, называемая штриховой нотацией Для облегчения этого используется :

\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.

Черта над характеристикой указывает на то, что она отрицательна, а мантисса остается положительной. При чтении вслух числа в тактовой записи символ ${\bar {n}}$ читается как «bar $n$ », так что ${\bar {2}}.07918$ читается как «бар 2 точка 07918...». Альтернативное соглашение - выразить логарифм по модулю 10, и в этом случае

\log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,

при этом фактическое значение результата расчета определяется знанием разумного диапазона результата. ^{[примечание 3]}

В следующем примере для расчета 0,012 × 0,85 = 0,0102 используется обозначение столбца:

{\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

* На этом этапе мантисса принимает значение от 0 до 1, так что ее антилогарифм (10 ^{мантисса}) можно посмотреть.

В следующей таблице показано, как одну и ту же мантиссу можно использовать для диапазона чисел, отличающихся степенью десяти:

Десятый логарифм, характеристика и мантисса степеней 10-кратного числа
Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Комбинированная форма
п = 5 × 10 ^я	журнал ₁₀ ( п )	я = пол (журнал ₁₀ ( n ))	журнал ₁₀ ( п ) - я
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1 .698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6 .698 970...

Обратите внимание, что мантисса является общей для всех чисел $5 \times 10. я$ . Это справедливо для любого положительного действительного числа $x$ потому что

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

Поскольку $i$ — константа, мантисса получается из $\log _{10}(x)$ , который является постоянным для данного $x$ . Это позволяет таблице логарифмов включать только одну запись для каждой мантиссы. На примере $5 \times 10 я$ , 0,698 970 (004 336 018 ...) будут указаны после индексации 5 (или 0,5, или 500 и т. д.).

Числа располагаются на шкалах логарифмических линеек на расстояниях, пропорциональных разностям их логарифмов. Механически прибавляя расстояние от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале, можно быстро определить, что

2 \times 3 = 6

.

История

Десятые логарифмы иногда также называют «бриггсовскими логарифмами» в честь Генри Бриггса , британского математика 17 века. В 1616 и 1617 годах Бриггс посетил Джона Непера в Эдинбурге , изобретателя того, что сейчас называется натуральными логарифмами (по основанию e ), чтобы предложить изменение логарифмов Непера. В ходе этих конференций было согласовано изменение, предложенное Бриггсом; а по возвращении из второго визита он опубликовал первую хилиаду своих логарифмов.

Поскольку логарифмы с основанием 10 были наиболее полезны для вычислений, инженеры обычно просто писали « $log(x)$ », когда имели в виду $log 10 (x)$ . Математики, с другой стороны, написали « $log(x)$ », когда имели в виду $log e (x)$ для натурального логарифма. Сегодня встречаются оба обозначения. Поскольку ручные электронные калькуляторы разрабатываются инженерами, а не математиками, стало общепринятым использовать инженерные обозначения. Таким образом, обозначение, согласно которому пишут « $ln(x)$ », когда подразумевается натуральный логарифм, могло быть еще более популяризировано благодаря тому самому изобретению, которое сделало использование «натуральных логарифмов» гораздо менее распространенным — в электронных калькуляторах.

Числовое значение

Числовое значение логарифма по основанию 10 можно вычислить с помощью следующих тождеств: ^[5]

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

или

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

или

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad

используя логарифмы любого доступного основания $\,B~.$

поскольку существуют процедуры для определения числового значения логарифма по основанию $e$ (см. Натуральный логарифм § Эффективное вычисление ) и логарифма по основанию 2 (см. Алгоритмы вычисления двоичных логарифмов ).

Производная

Производная логарифма с основанием b такова, что ^[7]

${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ , так ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ .

См. также

Двоичный логарифм
Кологарифм
Децибел
Логарифмическая шкала
Напиров логарифм
Мантисса (также обычно называемая мантисса)

Примечания

^ Обозначение $Log$ неоднозначно, так как оно также может означать комплексную натуральную логарифмическую многозначную функцию .
^ Такое использование слова мантисса происходит от более старого, нечислового значения: незначительное дополнение или дополнение, например, к тексту. В настоящее время слово мантисса обычно используется для описания дробной части числа с плавающей запятой на компьютерах, хотя рекомендуемое ^{[ кем? ]} термин имеет значение .
^ Например, Бессель, Ф.В. (1825 г.). «О расчете географических долгот и широт по геодезическим съемкам». Астрономические новости . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B . дои : 10.1002/asna.18260041601 . S2CID 118630614 . дает (начало раздела 8) $\log b=6.51335464$ , $\log e=8.9054355$ .Из контекста понятно, что $b=10^{6.51335464}$ , малый радиус земного эллипсоидав туазе (большое количество), тогда как $e=10^{8.9054355-10}$ , эксцентриситет земного эллипсоида(небольшое количество).

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы». Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Генри Холт и компания . п. 31.
^ Эйлер, Леонард ; Спайзер, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Спейзер, Андреас (ред.). Введение в анализ бесконечно малых (Часть 2) . 1 (на латыни). Том. 9. Б.Г. Тойбнер . {{cite book}}: |work= игнорируется ( помогите )
^ Шерффер, П. Чарльз (1772). Аналитические институты. Часть вторая исчисления бесконечно малых. Книга вторая интегрального исчисления (на латыни). Том. 2. Джон Томас Ноб. Из Траттнера. п. 198
^ «Введение в логарифмы» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Двойной логарифм» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
^ Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы . Нью-Йорк, США: Макмиллан .
^ «Производные логарифмических функций» . Математика24 . 14 апреля 2021 г. Архивировано из оригинала 01 октября 2020 г.

Библиография

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
Мёзер, Майкл (2009). Инженерная акустика: введение в контроль шума . Спрингер. п. 448. ИСБН 978-3-540-92722-8 .
Полиянин Андрей Дмитриевич; Манжиров Александр Владимирович (2007) [27.11.2006]. Справочник по математике для инженеров и ученых . ЦРК Пресс . п. 9. ISBN 978-1-58488-502-3 .

[6] Обозначение $Log$ неоднозначно, так как оно также может означать комплексную натуральную логарифмическую многозначную функцию .

[8] Такое использование слова мантисса происходит от более старого, нечислового значения: незначительное дополнение или дополнение, например, к тексту. В настоящее время слово мантисса обычно используется для описания дробной части числа с плавающей запятой на компьютерах, хотя рекомендуемое ^{[ кем? ]} термин имеет значение .

[9] Например, Бессель, Ф.В. (1825 г.). «О расчете географических долгот и широт по геодезическим съемкам». Астрономические новости . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1823 . Бибкод : 1825AN......4..241B . дои : 10.1002/asna.18260041601 . S2CID 118630614 . дает (начало раздела 8) $\log b=6.51335464$ , $\log e=8.9054355$ .Из контекста понятно, что $b=10^{6.51335464}$ , малый радиус земного эллипсоидав туазе (большое количество), тогда как $e=10^{8.9054355-10}$ , эксцентриситет земного эллипсоида(небольшое количество).

[Hall_1909-1] Jump up to: ^а ^б Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). «Глава IV. Логарифмы [23] Десятичные логарифмы». Тригонометрия . Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк: Генри Холт и компания . п. 31.

[Euler_1748-2] Эйлер, Леонард ; Спайзер, Андреас ; дю Паскье, Луи Гюстав; Брандт, Генрих ; Трост, Эрнст (1945) [1748]. Спейзер, Андреас (ред.). Введение в анализ бесконечно малых (Часть 2) . 1 (на латыни). Том. 9. Б.Г. Тойбнер . {{cite book}}: |work= игнорируется ( помогите )

[Scherffer_1772-3] Шерффер, П. Чарльз (1772). Аналитические институты. Часть вторая исчисления бесконечно малых. Книга вторая интегрального исчисления (на латыни). Том. 2. Джон Томас Ноб. Из Траттнера. п. 198

[4] «Введение в логарифмы» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 г.

[:0-5] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Двойной логарифм» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.

[Hedrick_1913-7] Хедрик, Эрл Рэймонд (1913). Логарифмические и тригонометрические таблицы . Нью-Йорк, США: Макмиллан .

[10] «Производные логарифмических функций» . Математика24 . 14 апреля 2021 г. Архивировано из оригинала 01 октября 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[примечание 1]

[6]

[примечание 2]

[примечание 3]

[7]