Математическая таблица
Математические таблицы представляют собой списки чисел, показывающие результаты вычислений с различными аргументами. Тригонометрические таблицы использовались в древней Греции и Индии для приложений в астрономии и небесной навигации и продолжали широко использоваться до тех пор, пока в 1970-х годах электронные калькуляторы не стали дешевыми и многочисленными, чтобы упростить и значительно ускорить вычисления . Таблицы логарифмов и тригонометрических функций были распространены в учебниках математики и естественных наук, а для многочисленных приложений публиковались специализированные таблицы.
История и использование [ править ]
Известно, что первые таблицы тригонометрических функций были составлены Гиппархом (около 190–120 гг. До н.э.) и Менелаем (около 70–140 гг. н.э.), но обе они были утеряны. Наряду с сохранившейся таблицей Птолемея (ок. 90 – ок. 168 н. э.), все они представляли собой таблицы хорд, а не полухорд, то есть функции синуса . [1] Таблица , созданная индийским математиком Арьябхатой (476–550 гг. н. э.), считается первой когда-либо построенной таблицей синуса. [1] Таблица Арьябхаты оставалась стандартной таблицей синуса древней Индии. Постоянно предпринимались попытки улучшить точность этой таблицы, кульминацией которых стало открытие (ок. 1350 – ок. 1425) разложения в степенной ряд функций синуса и косинуса Мадхавой из Сангамаграмы , а также составление таблицы таблицы синуса Мадхавой. со значениями с точностью до семи или восьми десятичных знаков.
Таблицы десятичных логарифмов использовались до изобретения компьютеров и электронных калькуляторов для быстрого умножения, деления и возведения в степень, включая извлечение корней n- й степени.
Механические компьютеры специального назначения, известные как разностные машины, были предложены в 19 веке для табулирования полиномиальных аппроксимаций логарифмических функций, то есть для вычисления больших логарифмических таблиц. Это было вызвано главным образом ошибками в логарифмических таблицах, созданных человеческими компьютерами того времени. Первые цифровые компьютеры были разработаны во время Второй мировой войны частично для создания специализированных математических таблиц для прицеливания артиллерии . С 1972 года, с появлением и ростом использования научных калькуляторов , большинство математических таблиц вышли из употребления.
Одной из последних крупных попыток создания таких таблиц был проект «Математические таблицы» , который был начат в Соединенных Штатах в 1938 году как проект Управления прогресса работ (WPA), в котором 450 безработных клерков работали над составлением таблиц высших математических функций. Это продолжалось всю Вторую мировую войну. [2]
Таблицы специальных функций используются до сих пор. Например, использование таблиц значений кумулятивной функции распределения нормального распределения – так называемых стандартных нормальных таблиц – сегодня остается обычным явлением, особенно в школах, хотя использование научных и графических калькуляторов, а также персональных компьютеров делает такие таблицы лишние.
Создание таблиц, хранящихся в оперативной памяти, является распространенным методом оптимизации кода в компьютерном программировании, где использование таких таблиц ускоряет вычисления в тех случаях, когда поиск в таблице выполняется быстрее, чем соответствующие вычисления (особенно если рассматриваемый компьютер не имеют аппаратную реализацию вычислений). По сути, мы обмениваем скорость вычислений на объём памяти компьютера, необходимый для хранения таблиц.
Таблицы логарифмов [ править ]
Таблицы, содержащие десятичные логарифмы (по основанию 10), широко использовались в вычислениях до появления электронных калькуляторов и компьютеров, поскольку логарифмы превращают задачи умножения и деления в гораздо более простые задачи сложения и вычитания. Логарифмы с основанием 10 обладают дополнительным свойством, которое является уникальным и полезным: все десятичные логарифмы чисел, больших единицы, которые отличаются только в десятикратной степени, имеют одну и ту же дробную часть, известную как мантисса . Таблицы десятичных логарифмов обычно включали только мантиссы ; целая часть логарифма, известная как характеристика , может быть легко определена путем подсчета цифр исходного числа. Подобный принцип позволяет быстро вычислять логарифмы положительных чисел меньше 1. Таким образом, единую таблицу десятичных логарифмов можно использовать для всего диапазона положительных десятичных чисел. [3] см. в разделе «Дискретный логарифм» Подробную информацию об использовании характеристик и мантисс .
История [ править ]
В 1544 году Майкл Стифел опубликовал «Арифметику интеграру» , содержащую таблицу целых чисел и степеней двойки, которая считалась ранней версией логарифмической таблицы. [4] [5] [6]
Метод логарифмов был публично предложен Джоном Непером в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( «Описание чудесного правила логарифмов »). [7] Книга содержала пятьдесят семь страниц пояснительных материалов и девяносто страниц таблиц, связанных с натуральными логарифмами . Английский математик Генри Бриггс посетил Непера в 1615 году и предложил изменить масштаб логарифмов Нейпира , чтобы сформировать то, что сейчас известно как общие логарифмы или логарифмы с основанием 10. Нэпьер поручил Бриггсу вычисление исправленной таблицы. В 1617 году они опубликовали Logarithmorum Chilias Prima («Первая тысяча логарифмов»), в которой было дано краткое описание логарифмов и таблица для первых 1000 целых чисел, рассчитанных до 14-го десятичного знака. До изобретения Нэпьера существовали и другие методы аналогичного масштаба, такие как использование таблиц прогрессий, широко разработанных Йостом Бюрги около 1600 года. [8] [9]
Вычислительный прогресс, доступный благодаря десятичным логарифмам, обратным степенным числам или экспоненциальной записи , был таков, что делал вычисления вручную намного быстрее.
Тригонометрические таблицы [ править ]
Тригонометрические расчеты сыграли важную роль в раннем изучении астрономии. Ранние таблицы были построены путем многократного применения тригонометрических тождеств (таких как тождества половинного угла и суммы углов) для вычисления новых значений на основе старых.
Простой пример [ править ]
Чтобы вычислить синусоидальную функцию 75 градусов, 9 минут, 50 секунд, используя таблицу тригонометрических функций, такую как таблица Бернеггера 1619 года, показанная выше, можно просто округлить до 75 градусов, 10 минут, а затем найти 10-минутную запись в таблице. Страница 75 градусов, показанная вверху справа, равна 0,9666746.
Однако этот ответ имеет точность только до четырех знаков после запятой. Если бы хотелось большей точности, можно было бы линейно интерполировать следующим образом:
Из таблицы Бернеггера:
- грех (75°10′) = 0,9666746
- грех (75°9′) = 0,9666001
Разница между этими значениями составляет 0,0000745.
Поскольку в минуте дуги 60 секунд, умножаем разницу на 50/60, чтобы получить поправку (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621; а затем добавьте эту поправку к греху (75° 9'), чтобы получить:
- sin (75° 9′ 50″) ≈ sin (75° 9′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622
Современный калькулятор дает sin(75°9′50″) = 0,96666219991, поэтому наш интерполированный ответ имеет точность до 7-значной точности таблицы Бернеггера.
Для таблиц с большей точностью (больше цифр на значение) для достижения полной точности может потребоваться интерполяция более высокого порядка. [10] В эпоху, когда еще не было электронных компьютеров, интерполяция табличных данных таким способом была единственным практическим способом получить значения высокой точности математических функций, необходимых для таких приложений, как навигация, астрономия и геодезия.
Чтобы понять важность точности в таких приложениях, как навигация, обратите внимание, что на уровне моря Земли одна угловая минута вдоль экватора или меридиана (действительно, любого большого круга ) равна одной морской миле (приблизительно 1,852 км или 1,151 мили).
См. также [ править ]
- Справочник Абрамовица и Стегана по математическим функциям
- BINAS , голландский научный справочник.
- Разностный двигатель
- Эфемериды
- Групповой стол
- Справочник
- История логарифмов
- Морской альманах
- Матрица
- MAOL , финский научный справочник.
- Таблица умножения
- Таблица случайных чисел
- Справочник
- Резиновая книжка Справочник по химии и физике
- Таблица (информация)
- Таблица истинности
- Юрий Вега
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (июнь 1996 г.). «Тригонометрические функции» . Проверено 4 марта 2010 г.
- ^ Грир, Дэвид Алан (1998). «Проект математических таблиц Администрации рабочих проектов: неохотное начало компьютерной эры». IEEE Энн. Хист. Вычислить . 20 (3): 33–50. дои : 10.1109/85.707573 . ISSN 1058-6180 .
- ^ Э. Р. Хедрик, Логарифмические и тригонометрические таблицы (Макмиллан, Нью-Йорк, 1913).
- ^ Стифелиус, Микаэле (1544), Arithmetica Integra , Лондон: Джон Петреиум
- ^ Бухштаб А.А.; Печаев, В.И. (2001) [1994], «Арифметика» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- ^ Вивиан Шоу Гроза и Сюзанна М. Шелли (1972), Математика предварительного исчисления , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, стр. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
- ^ Эрнест Уильям Хобсон (1914), Джон Нэпьер и изобретение логарифмов, 1614 , Кембридж: The University Press
- ^ Фолкертс, Менсо; Лаунерт, Дитер; Том, Андреас (2016), «Метод Йоста Бюрги для вычисления синусов», Historia Mathematica , 43 (2): 133–147, arXiv : 1510.03180 , doi : 10.1016/j.hm.2016.03.001 , MR 3489006 , S2CID 11932608 8
- ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Йост Бюрги (1552–1632)» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- ^ Справочник Абрамовица и Стегуна по математическим функциям, Введение §4
- Кэмпбелл-Келли, Мартин (2003), История математических таблиц: от Шумера до электронных таблиц , Оксфордская стипендия онлайн, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850841-0
Внешние ссылки [ править ]
- Чисхолм, Хью , изд. (1911). . Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
- LOCOMAT : Перепись математических и астрономических таблиц.
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
